Найти объем тетраэдра построенного на векторах и высоту

Объём треугольной пирамиды (тетраэдра) равен (1/6) от величины смешанного произведения векторов на которых она построена:

Так как значение смешанного произведения векторов может быть числом отрицательным, а объём тетраэдра — только положительным, то при вычислении объёма треугольной пирамиды (тетраэдра), построенной на векторах, результат смешанного произведения берется по модулю:

Вычислить объём треугольной пирамиды (тетраэдра), построенной на векторах поможет наш онлайн калькулятор с описанием хода решения на русском языке.

Видео:Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Онлайн калькулятор. Объем пирамиды (объем тетраэдра) построенной на векторах.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти объем пирамиды или объем тетраэдра построенных на векторах.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление объема пирамиды построенной на векторах и закрепить пройденый материал.

Видео:Высшая математика. 4 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление объема тетраэдра.Скачать

Калькулятор для вычисления объема пирамиды (объема тетраэдра) построенной на векторах

Выберите каким образом задается пирамида (тетраэдр):

Введите значения векторов: Введите координаты вершин пирамиды:

Инструкция использования калькулятора для вычисления объема пирамиды (объема тетраэдра) построенной на векторах

Ввод данных в калькулятор для вычисления объема пирамиды (объема тетраэдра) построенной на векторах

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления объема пирамиды (объема тетраэдра) построенной на векторах

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Теория. Объем пирамиды (объем тетраэдра) построенной на векторах

Определение Объем пирамиды (объем тетраэдра) построенной на векторах a , b и c равен шестой части модуля смешанного произведения векторов составляющих пирамиду:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать

Вектора найти объем тетраэдра

Видео:Решение, вычислить объем тетраэдра, построенного на векторах a, b, c пример 14 Высшая математикаСкачать

Онлайн калькулятор. Объем пирамиды (объем тетраэдра) построенной на векторах.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти объем пирамиды или объем тетраэдра построенных на векторах.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление объема пирамиды построенной на векторах и закрепить пройденый материал.

Видео:Решение, найдите объем тетраэдра, построенного на векторах a, b, c пример 10 Высшая математикаСкачать

Калькулятор для вычисления объема пирамиды (объема тетраэдра) построенной на векторах

Выберите каким образом задается пирамида (тетраэдр):

Введите значения векторов: Введите координаты вершин пирамиды:

Инструкция использования калькулятора для вычисления объема пирамиды (объема тетраэдра) построенной на векторах

Ввод данных в калькулятор для вычисления объема пирамиды (объема тетраэдра) построенной на векторах

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления объема пирамиды (объема тетраэдра) построенной на векторах

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Видео:Задача 6. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на граньСкачать

Теория. Объем пирамиды (объем тетраэдра) построенной на векторах

Определение Объем пирамиды (объем тетраэдра) построенной на векторах a , b и c равен шестой части модуля смешанного произведения векторов составляющих пирамиду:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:§20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать

Объем треугольной пирамиды (тетраэдра), построенной на векторах онлайн

Объём треугольной пирамиды (тетраэдра) равен (1/6) от величины смешанного произведения векторов на которых она построена:

Так как значение смешанного произведения векторов может быть числом отрицательным, а объём тетраэдра — только положительным, то при вычислении объёма треугольной пирамиды (тетраэдра), построенной на векторах, результат смешанного произведения берется по модулю:

Вычислить объём треугольной пирамиды (тетраэдра), построенной на векторах поможет наш онлайн калькулятор с описанием хода решения на русском языке.

Видео:как найти площадь параллелограмма построенного на векторахСкачать

Объем тетраэдра

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC . В результате получим треугольники ADC , CDB , ABD . Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC , ADC , CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC .
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

• S – площадь любой грани,
• H – высота, опущенная на эту грань

Видео:Площадь параллелограмма по векторамСкачать

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:

• Все грани равны.
• Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
• Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
• Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a . DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна
Рассмотрим треугольник BDM , где DH , являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

, где
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим

Вынесем 1/2a. Получим

Применим формулу разность квадратов

После небольших преобразований получим


Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
,
где ,

Подставив эти значения, получим

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

где a –ребро тетраэдра

Видео:Площадь треугольника, построенного на векторахСкачать

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра

Из вершины проведем векторы , , .
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим

Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

📺 Видео

Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторахСкачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Решение, найдите объем пирамиды, построенной на векторах a, b, c пример 6Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

Найти угол между векторами и площадь параллелограмма, построенного на этих векторахСкачать

Решение, найти объем пирамиды, построенной на векторах a, b, c пример 15 Высшая математикаСкачать

Решение задач на векторное и смешанное произведения векторовСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Решение, вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 4Скачать