Видео:§20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать
Найти объем параллелепипеда построенного векторах
№ 1
Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах 
, 
, 
.
Решение
Объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c численно равен модулю смешанного произведения этих векторов.
V = | abc |
V = | -7 | = 7
№ 2
Найти объём пирамиды, построенной на векторах , , .
Решение
Объём пирамиды, построенной на векторах a, b, c равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c численно равен модулю смешанного произведения этих векторов.
V = | abc |/6
V = | -7 | /6= 7/6
№ 3
Найти объём тетраэдра ABCD.
Решение
Построим векторы AB, AC, AD.
, 
, 
.
Объём тетраэдра, построенного на векторах AB, AC, AD равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Объём параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD численно равен модулю смешанного произведения этих векторов.
V = | AB · AC· AD |/6
V = | 12 | /6 = 12/6 = 2
Видео:Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать
Объём параллелепипеда
Объём параллелепипеда, построенного на трех векторах
где координаты векторов в соответствии с рисунком
вычисляются следующим образом
Знак плюс берется, когда определитель третьего порядка положителен, а минус наоборот – знак отрицателен.
Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a1=, a2= и a3=
$ = pm left( <2cdotleft( <left( right)cdot2 — 1cdot3> right) — 3left( <left( right)cdot2 — 3cdot3> right) + 2left( <left( right)cdot1 — 3cdotleft( right)> right)> right) = -33$
Так как определитель отрицателен, берем перед ним знак « − ».
Тогда объём параллелепипеда построенного на векторах равен V=33
Видео:Решение, вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 4Скачать
Вектор. Смешанное произведение векторов.
Также его называют тройным скалярным произведением векторов, скорее всего это связано с тем,
что результат — это скаляр (точнее — псевдоскаляр).
Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора 
на векторное произведение векторов 
и 
.
Или другими словами:
Смешанным произведением векторов 
является число 
, состоящее из скалярного произведения вектора на векторное произведение векторов и . Смешанное произведение
векторов записывается следующим образом:
Геометрический смысл смешанного произведения векторов.
Геометрический смысл смешанного произведения векторов: если три вектора 
правые, то их
смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на них:
.
В случае левой тройки , смешанное произведение указанных векторов равно объему
параллелепипеда со знаком “–“:
.
Если , и компланарны, то их смешанное произведение = 0.
Вывод: объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного
произведения этих векторов:
Объем пирамиды, построенной на этой тройке этих векторов, находим по формуле:
Геометрические свойства смешанного произведения векторов.
1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему 
параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение 
будет со знаком плюс, если
тройка векторов — правая, и будем иметь отрицательный знак, если тройка — левая,
2. Смешанное произведение =0 тогда и только тогда, когда векторы компланарны:
векторы компланарны.
Алгебраические свойства смешанного произведения векторов.
1. При перемене мест двух множителей смешанное произведение меняет знак на противоположный:
При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение остается без изменений:
2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.
Первое свойство следует из первого геометрического свойства и свойств ориентации троек векторов, так
как от перестановки двух множителей местами, модуль смешанного произведения остается прежним, а
изменяется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки
остается без изменений.
Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и первого свойства.
Формула вычисления смешанного произведения векторов.
Теорема (формула вычисления смешанного произведения векторов):
Если у векторов в правом ортонормированном базисе 
координаты
, 
,
соответственно, то смешанное произведение их вычисляется по следующей формуле:
Из определения следует:
что и требовалось доказать.
Еще некоторые свойства смешанного произведения векторов.
1. 
2. 
3 .Три вектора компланарны в том случае, если 
4. Тройка векторов будет правой только если 
. Ежели 
, то векторы, и
создают левую тройку векторов.
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. Тождество Якоби: 
Если векторы 
, 
и 
заданы своими координатами, то их
смешанное произведение можно найти по формуле, приведенной ниже:
🎦 Видео
как найти площадь параллелограмма построенного на векторахСкачать
Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать
Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторахСкачать
Решение, найдите объем параллелепипеда, построенной на векторах a, b, c пример 7. Высшая математикаСкачать
Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
Найдите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a=(1;-1;-4) и b=(-5;3;8)Скачать
Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах.Скачать
Площадь параллелограмма по векторамСкачать
Площадь треугольника, построенного на векторахСкачать
Решение, вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 11Скачать
1. Векторы и параллелограмм задачи №1Скачать
Найти угол между векторами и площадь параллелограмма, построенного на этих векторахСкачать
Решение, найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 17 Высшая математикаСкачать
18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать
Высшая математика. 4 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление объема тетраэдра.Скачать
Как найти объем. Принцип Кавальери | Ботай со мной #050 | Борис Трушин |Скачать
Нахождение объема параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с. пример 2Скачать
