Найти объем и высоту параллелепипеда построенного на векторах (2 видео)

Объем параллелепипеда, построенного на векторах онлайн

Объём параллелепипеда равен смешанному произведению векторов на которых он построен:

Поскольку смешанное произведение векторов, может быть отрицательным числом, а объём геометрического тела — всегда число положительное, то при вычислении объёма параллелепипеда, построенного на векторах, результат смешанного произведения берется по модулю:

Таким образом, для того, чтобы вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах, нужно найти смешанное произведение данных векторов, и полученный результат взять по модулю.

Наш онлайн калькулятор, найдет площадь параллелепипеда с описанием подробного хода решения на русском языке.

Видео:Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать

Смешанное, векторное и скалярное произведение векторов

Задача:

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, построен на векторах AB(4,3,0), AD(2,1,2) и AA₁(-3,-2,5).
Найти:

Решение:

а) Объем параллелепипеда будем искать через смешанное произведение векторов (AB AD AA₁). Мы знаем, что модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенному на этих векторах.

(AB AD AA₁)

4	3	0
2	1	2
-3	-2	5

20 — 18 + 0 — 0 — 30 + 16

-12

Мы нашли смешанное произведение, ещё надо его взять по модулю и найдём объем параллелепипеда:
V_{ABCDA₁B₁C₁D₁}=12.
б) Площадь, как мы уже знаем, можно искать через векторное произведение векторов. Грань ABCD построена на векторах AB и AD, найдём их векторное произведение. S_ABCD= |[AB AD]|.

[AB AD]

i	j	k
4	3	0
2	1	2

6i — 8j — 2k

Теперь найдём модуль этого вектора:

S_ABCD= \|[AB AD]\|=√	(36+64+4)	=2√(26).

[AD AA₁]

i	j	k
2	1	2
-3	-2	5

9i — 16j — k

S_ADD₁A₁= |[AD AA₁]|=√(81+256+1)=13√2.

в) Что бы найти длину высоты, проведенной из вершины A₁ на грань ABCD, используем формулу для нахождения объема параллелепипеда V=h S_ABCD. С этой формулы видим:

V
S_ABCD

12
2√(26)

6
√(26)

3√(26)
13

г) Косинус угла λ₁, между ребром AB и диагональю B₁D будем высчитывать с помощью скалярного произведения векторов

cos(λ₁)

(AB B₁D)
\|AB\| * \|B₁D\|

Координаты вектора AB мы имеем, от вектор B₁D надо найти. Для этого используем следующую формулу:
B₁D = B₁A₁ + A₁A + AD = — AB — AA₁ + AD₁ = — (4, 3, 0) — (-3, -2, 5) + (2, 1, 2); (Не забывайте, что всё это векторы, надо сложить их соответствующие координаты. )
Сделав вычисления по этой формуле, мы найдём, что вектор B₁D имеет координаты (1, 0, -3). Теперь надо найти длину векторов AB и B₁D:
|AB|=√(16+9+0)=5, |B₁D|=√(1+0+9)=√(10).
Найдём скалярное произведение векторов AB и B₁D, (AB B₁D)=4*1 + 3*0 + 0*(-3)=4.
Теперь, имея все данные мы можем подставить их в нашу формулу:

cos(λ₁)

4
5√(10)

2√(10)
25

д) Что бы найти cos(λ₂), мы используем то, что угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярами до этих плоскостей. А как мы знаем, векторное произведение — это и есть перпендикуляр до плоскости перемножаемых векторов. Поэтому в роле перпендикуляра к плоскости ADD₁A₁ мы можем взять вектор [AD AA₁], который мы нашли в пункте б), и знаем, что его координаты (9, -16, -1), точно также и для плоскости ABCD — вектор [AB AD] с координатами (6, -8, -2).
Теперь нам остаётся, как в предыдущем варианте найти только косинус угла между двумя векторами, координаты которых нам известны.

cos(λ₂)

69 + (-8)(-16) + (-2)*(-1)
2√(26) * 13√(2)

46√(13)
169

Вот таким не хитрым способом мы и нашли косинус угла между гранями ABCD и ADD₁A₁.

Видео:§20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать

Найти объем и высоту параллелепипеда построенного на векторах

№ 1
Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах , , .

Решение

Объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c численно равен модулю смешанного произведения этих векторов.

V = | abc |

V = | -7 | = 7

№ 2
Найти объём пирамиды, построенной на векторах , , .

Решение

Объём пирамиды, построенной на векторах a, b, c равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на этих векторах.

V = | abc |/6

V = | -7 | /6= 7/6

№ 3

Найти объём тетраэдра ABCD.

Решение

Построим векторы AB, AC, AD.

, , .

Объём тетраэдра, построенного на векторах AB, AC, AD равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Объём параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD численно равен модулю смешанного произведения этих векторов.

V = | AB · AC· AD |/6

V = | 12 | /6 = 12/6 = 2

🎥 Видео

Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторахСкачать

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Решение, найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 17 Высшая математикаСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах a=(2; 1; 3) b=(1; 2; 1) с=(1; 3; 1) пример 20Скачать

Найдите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a=(1;-1;-4) и b=(-5;3;8)Скачать

Площадь треугольника, построенного на векторахСкачать

Решение, вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 4Скачать

Решение, найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 19 Высшая математикаСкачать

как найти площадь параллелограмма построенного на векторахСкачать

Решение, вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 11Скачать

Решение, найдите объем параллелепипеда, построенной на векторах a, b, c пример 7. Высшая математикаСкачать

1. Векторы и параллелограмм задачи №1Скачать

Высшая математика. 4 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление объема тетраэдра.Скачать

Площадь параллелограмма по векторамСкачать

Решение, найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 18 Высшая математикаСкачать

Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах.Скачать

Решение, вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 16Скачать