Для того чтобы найти базис системы векторов Av А2. А , необходимо:
1) составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений
2) привести эту систему к равносильной разрешенной системе вида
3) записать базис системы векторов Б = (АрА2, . А ), включив в него векторы, соответствующие разрешенным неизвестным;
4) записать разложения векторов по базису; коэффициентами разложения вектора А. по этому базису являются координаты соответствующего вектора
в разрешенной системе уравнений, т.е.
Система векторов, состоящая из п векторов, ранг которой равен г, может иметь несколько базисов. Число возможных базисов системы векторов определяется как число меньшее или равное числу сочетаний из п по г.
Пример 3.3. Найти ранг и базис системы векторов
разложения векторов по базису, перейти к новому базису и найти число возможных базисов системы.
Решение. Составим систему уравнений A t ay + А2х2 + . + А„хп = 0, которая в координатной записи имеет вид
Приведение данной системы уравнений с помощью преобразований Жордана к равносильной разрешенной приведено в ниже следующей таблице.
Разрешенная система имеет вид
В базис системы векторов включаем 1-й и 2-й векторы Б: = (AVA2), которые соответствуют разрешенным неизвестным х1 и х2. Ранг системы векторов равен числу векторов, вошедших в базис, т.е. г = 2.
Запишем разложения векторов по базису. Коэффициентами разложения вектора А3 являются координаты вектора А’3 = (3, -2), т.е. коэффициенты при х3 в разрешенной системе уравнений (в последних трех строках таблицы), они образуют столбец, расположенный под х3 А3 = ЗЛ1 — 2Аг Аналогично, коэффициентами разложения вектора А4 являются координаты вектора А’4 = (4, 1) А4 = 4Ау + 1 Ат
Для нахождения нового базиса необходимо выбрать новый разрешающий элемент. Пусть этим элементом будет элемент я94 = 1.
Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия, Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Вход Регистрация
Donate FAQ Правила Поиск
Правила форума
Видео:Решение "базисной системы векторов" (2)Скачать
Основы линейной алгебры
05/12/06 126 Нижний Новгород
Здраствуйте. Мне необходимо решить некоторые задания, прочитав курс теории. Сходу разобраться не удалось, и поэтому я не могу вникнуть в формулировки заданий, что вызывает сложности при решении. Итак, задание номер 1. Пусть A = — система векторов арифм. пространства. а) Найти ранг и базу системы А б) Вектора не входящие в базу выразить через векторы базы.
Во всех пунктах, кроме третьего система A отдыхает. Остальные пункты делаются за один проход гауссовыми преобразованиями в том порядке, как Вы это делали в предыдущей задаче: Назначаете ненулевой элемент ведущим и преобразованиями строк обнуляете все элементы столбца, в котором он стоит, в любой другой строке опять выбираете ведущий и опять делаете то же самое. Прцесс прекратится, когда выбор ведущего станет невозможным. В этот момент при мысленной перестановке строк и столбцов у Вас выделится единичная матрица. Выделенные ведущие укажут номера векторов одной из баз, их количество — размерность оболочки (или ранг, как сказано). Как остальные векторы выражаются через базу, скажут столбцы так же как в решённой Вами задаче.
Линейная оболочка множества векторов — это множество всех линейных комбинаций векторов из B. Линейная оболочка является пространством со всеми вытекающими отсюда понятиями: размерность, базис, .
Относительно нахождения всех баз . задача дурацкая, но из конкретных зависимостей которые Вы найдёте, выразив все векторы через одну из баз, немного покомбинаторив, обычно нетрудно найти все возможные базы.
Пункт в) странный: если ранг B окажется не равным 3, то эквивалентности заведомо нет, а если окажется, то для эквивалентности надо знать эту А.
int13
05/12/06 126 Нижний Новгород
В процессе упрощения этой системы получилась вот такая штука:
( 0 1 0 ) ( 0 9.5 5.5) ( 1 14/11 0 )
Причем направляющий элемент взял из всех столбцов кроме среднего, и когда я зануляю среднюю строку получается ( 0 0 0 ), то есть это как понимать.. Либо я не правильно решил, либо любые вектора являются решением?
Добавлено спустя 2 минуты 50 секунд:
Вдогонку, прошу расшифровать мне вот такое задание: Для данной матрицы А а) Найти столбцовую базу. Остальные столбцы выразить через нее. б) Найти строчечную базу. Остальные столбцы выразить через нее. в) Найти базисный минор.
(-2 1 7 3 ) ( 2 6 3 6 ) ( 1 5 -2 7) ( -1 2 12 2)
Когда читал теорию, мне показалось, что я видел такое высказывание, что столбцовая и строчечная базы неквадратной матрицы равны, и равны этому же базисному минору. Про конкретно квадратную не помню. Так вот, что здесь нужно сделать? Решить. Транспонировать, и снова решить?
Brukvalub
Заслуженный участник
01/03/06 13620 Москва
Страница 1 из 1
[ Сообщений: 6 ]
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей
