Найти годограф вектор функции

Видео:Метод годографа и центростремительное ускорениеСкачать

Переменные векторы. Вектор-функции и их дифференцирование

• Переменный вектор. Векторные функции и их различие № 1. Переменный вектор. Функция вектора Годограф. Представьте себе точку M (x, y, z) t, движущуюся в пространстве вдоль определенной кривой K (рис. 293). Выберите единицу времени и первый момент. И любой момент времени характеризуется числом т.

Непрерывность векторной функции. Их дифференциация № 3. Непрерывность векторной функции. Различать их. Дай мне а = а (и) Функция вектора и скалярного аргумента. Как и в случае обыкновенных дифференциальных вычислений, если бесконечно малое приращение аргумента соответствует бесконечно малому приращению функции, a (n) называется непрерывным. lirn [a (u + Lee) -a (//)] = 0. (7) к- * 0 Равенство (7) также может быть описано в следующем формате: lim a (u — — di) = a (u). Где u0, a, — <Aw по n заменяет определение непрерывности. lim a (n) = a (a0). a- + io

Поэтому гл. II, свойство непрерывности вектор-функции означает, что предел (и u0) этой функции равен значению из предела аргумента. Далее поясняется операция дифференцирования непрерывной вектор-функции. Дай мне а = а (и) -Такую функцию. Давайте сделаем пять вещей: 1) Исправьте значение аргумента и найдите соответствующее значение функции a (s). 2) Дайте аргументу приращение A и найдите новое значение функции a (u — <- Au); 3) Найдите приращение Da = a (u + A «)

a (u). .v да (s + Dy) -a (s) 4) Настройте отношение -m— = —1-! -r1, -;

б) (s) и обозначается одним из символов. , T, h da a, a ‘(s), g. Нахождение ‘(u) называется производной функции a (u). *) Конечно, этого может и не быть.

Поверните A на ноль и ищите пределы *) lim * Джим Ли 0 Ли Аа 0 Ли Это ограничение называется производной функции a Людмила Фирмаль

Легко найти геометрический смысл производной a ‘(u). Для этого представим годограф векторной функции. Если (см. Рисунок 295) a (u) -OM, a (n-dY) = ON, тогда A a = LSH Отношение-вектор в том же направлении А Ды]> 0 для ММ, Di 0 и о = МП, Вы можете видеть, что вектор MP направлен на годограф по секущей линии.

Если Да -О (из-за непрерывности вектор-функции), точка N стремится соответствовать точке М. Поэтому предельное положение вектора MP направлено на годограф по касательной MQ. Однако эта предельная позиция n является производной от o ‘(u). Следовательно, производная вектор-функции направлена ​​по касательной к годографу этой функции. Пример. Переместить точку М в пространстве, r = r (t)

Векторное уравнение для этого движения. Годограф радиус-вектора r (0 — траектория точки М. Производная / (t) называется скоростью точки М. Следовательно, скорость точки — это вектор, который касается траектории этой точки. Этот вектор является направлением движения. И характеризуем скорость: r ‘(0 — предел длины вектора г (/ + ac-g (0 ат Учитывая ясность,Однако (рис. 296) DO-g (01 — длина кода MN, Включает в себя минимальную дугу MN точечной траектории. Как вы знаете, эти коды и дуги эквивалентны друг другу Поэтому друзья if’wi-lim, x, 1 w / a rW / r (t + AtJ

• Другими словами, длина вектора скорости является пределом отношения пути, по которому течет ток через бесконечно короткие промежутки времени. 296.Время этого периода Gap. Это скалярное значение — скорость точки. Направление вектора / (t) указывает направление движения. № 4. Формулы и правила дифференцирования векторных функций. Правила дифференцирования векторных функций полностью аналогичны правилам обыкновенных дифференциальных вычислений.

Они использованы в следующей таблице. a = a (u), b = b (u) -: векторная функция скалярного аргумента и вектор c-константы? (O) -скалярная функция и k-константа, v-скалярный аргумент, связанный с выражением q = u (m>): 1) ду * 6) рфа-дурь 2) d (a — — b) du da | du 1 db du * 7) rfu и i

. -A * + e du db du ‘8) rf (ffl) du 4) dfoa) du rfa. du * 9) d [ab] du б) д (ка) __ ду ■ к да • * ду ’10) да дв ‘да ду ду дв’ Формула 1) понятна. Положите s-a — — b, чтобы доказать 2). Тогда s + bs = (a — — Да) + отсюда D $ = Да + Db и AL, AB Я Ли 1 Ли

Когда вы достигнете предела Di 0, вы получите 2). Формула 3) тоже доказана. Дальше давайте

0, *) получается уравнение 4). Формулы 5) и 6) являются частными случаями 4). Уравнение 7) доказывается так же, как 4). Частные случаи 8) -7) и 9) такие же, как 4). Наконец, 10) доказывается точно так же, как и скалярный анализ.

Пусть ax, ay> ar — проекция вектор-функции a = a (n). тогда a = axi — — ay] — — атака. Используя уравнения 2) и 6) da_dax. , День da2- «Du

du J ^ Ifa Da Da Однако, когда вектор разлагается на векторы единичных координат, коэффициент единичного вектора i является проекцией разрешимого вектора на ось * Ox. так дакс н да du — iip * du 9

То есть проекция векторной производной на ось равна производной этой проекции на эту ось. Людмила Фирмаль

Пример. r = r (0 — радиус-вектор движущейся точки) М (х, у, z). Введите u =. Как вы уже знаете, v это скорость Точка М. Как сказано, vx = ^

-t. Но Tx = х. о Следовательно, проекция векторов на другие оси одинакова. Вот так дз дт *

То есть спроецированная скорость движущейся точки (на оси координат) равна производной соответствующей координаты по времени. Например, если точка движется как x = 8t * -1, = = z = tz + 1, vx = 16 /, r> y = 4, vz = 3Отс Выше называется «скорость движения®» и равна г / — = Y * 2LY * — — 1 () -) — 9/4 В момент времени t = 1, y = 16,8. *) Поскольку предполагается, что функция a (s) непрерывна, litnAa = 6 для Ли 0.

Равен длине временного интервала, отделяющего этот момент от первого момента. В этом случае знак присваивается номеру t. Или это зависит от того, следует ли момент интереса или предшествует первому моменту. Радиус-вектор r = OM в каждый конкретный момент t имеет определенную длину и направление. Однако их длина и направление со временем изменятся *). Итак, здесь мы имеем дело с переменными векторами. Как правило, переменные векторы — это векторы, которые различаются по длине или направлению.

Однако мы рассматриваем постоянные векторы как частный случай переменных (аналогично использованию констант в скалярном анализе). Скалярный анализ различал индивидуальные постоянные значения при работе с переменными. Фактически, переменная задача состояла из задачи этого набора значений. Аналогичным образом определим переменную вектор а Вы определите набор постоянных векторов — индивидуальное значение. В процессе изменения a принимает одно из этих значений. Если a является переменным вектором, его проекция ayt ax также является (скалярной!) Переменной. Установка вектора a эквивалентна установке переменных ay и av.

Если a принимает одно из своих значений, ay ay1 также принимает соответствующее постоянное значение. Очень важным примером переменного вектора является скалярная функция-вектор аргумента. Они говорят, что переменная vector a является векторной функцией скалярных аргументов, и каждое значение связано с определенным значением a. В этом случае они пишут а = а (к). г » И м Рисунок 293.

Если a = a (u), проекционный топор и ar ag являются (скалярными!) Аргументными функциями, ax = ax (u), y = a y (u), ax = ax (u). *) Длина r не изменяется, если кривая K находится на поверхности шара с центром в начале координат. Точно так же, если K — луч, происхождение которого является источником, это может быть в определенном направлении r.

Пример вектор-функции показан для радиус-вектора r = OM в точке M перемещения, описанной выше. Здесь, поскольку аргумент — время U, g = g (0- (1) Это уравнение называется векторным уравнением движения для точки М. Поскольку координаты точки M (x, y, r) являются проекциями ее радиус-вектора r, уравнение (1) можно заменить тремя скалярными уравнениями движения. x = x (t), y = y (f), z = z (t). Например, равенство x = Py y = 7t + 2, z = s nt Движение точки происходит. Их можно заменить одним векторным уравнением r = t4 — — (7t-2) / + sin tk.

Годограф определенного вектора переменных — это геометрическое положение конечных точек всех значений, если каждое значение откладывается от общей начальной точки. Годограф вектор-функции a (u) представляет собой (как правило, пространственную) кривую. Если все значения a (u) установлены на что-то отличное от источника, уравнение x = ax (u), y = ay (u), z = az (u) Представляет параметрическое уравнение вышеуказанной линии. Если вектор a (u) постоянен, годограф — это линия на поверхности шара.

Постоянный векторный годограф — это точка. Годограф радиус-вектора r = OM движущейся точки M является ее точкой. n ° 2. Векторное ограничение. Рассмотрим переменный вектор a, который изменяется в соответствии с законом *).Определение 1. Переменный вектор a называется бесконечно малым, если он имеет тенденцию быть нулевым по длине. Определение 2. Постоянный вектор I называется пределом переменного вектора a.

Разница между ними — бесконечно малый вектор. •) Например, a является векторной функцией скалярного аргумента a = a (s) и имеет определенные ограничения. Или, в более простом случае, пронумерованная последовательность постоянных значений alt at) atl …

Запишите с любой формулой Лима = /, а- + Л (Рис. 294) Приведите векторы / и a к общему началу координат 0 и приведите их в соответствие с началом координат. Далее разность I-a представлена ​​вектором AL. Если длина этого вектора стремится к нулю, точка A стремится соответствовать точке L, поэтому X A XV Однако, в конце концов (поскольку 0 соответствует началу координат), xA и xL являются проекциями векторов a и / на ось Ox. Таким образом, предыдущие отношения Я, — * / *.

Эта ситуация аналогична проекции векторов на другие оси. 80М это правда Рисунок 294. Теорема 1. Связь (2) (3) 1g lim a = 1 Это предполагает тройные отношения. 1G a9 Покажем, что обратное также верно в соответствии с теоремой 2. (3) — (2). Фактически, переместите векторы a и / к общему началу координат 0. Это совпадает с происхождением. В то же время конечными точками векторов a и I являются точки A и ξ. a = OAt 1 = O b

В понятной нотации * «= * # Ay = ul ‘*» = * # (3) чк

+ ги Откуда Y (XA- + (YA-Y0 * + (* A- * jf- * ° — и Последнее соотношение можно записать как AL — + 0, Это означает, что по определению 2 (2) верно. Таким образом, векторное соотношение (2) эквивалентно скалярному отношению тройка (3). Эта эквивалентность позволяет легко переносить наиболее важные свойства скалярных переменных в вектор.

Например, теорема 3I верна. а * л * т (4) тогда a + a * a-a * -> l-l * t (5) м. е. Предел суммы (разности) ограниченных векторов равен сумме пределов (разности). Конечно, это из (4) * * *! * ….. AJ-WJ. тогда i * -faj + ^ -f>> / j, -f l> 9 + + (6) Для простоты Если a — — a * = b, 1 + 1 * = m, (6) можно переписать в следующем формате bx-> tx% by —► tu, bg- * mt> По теореме 2 Lim 6 = / I Это эквивалентно первому соотношению (5). Второе доказывается аналогично. Подобные рассуждения доказывают еще две теоремы. Теорема 4. С (4)

(A, a *) — * (/, / *), [a, a *) -> — [/, / *], / я. д. Предел скалярного (векторного) произведения двух векторов с ограничениями равен (соответствующему) произведению этих ограничений. Теорема б. если И это = /, l p скалярная переменная с конечными ограничениями q> then lim (pa) = 0 /.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Мама, я Гейне! #26 Вектор-функцииСкачать

Вектор-функции

Видео:Годограф вектор функцииСкачать

Предел и непрерывность вектор-функции.

Понятие вектор-функции.

Если каждому значению (tin E), где (Esubsetmathbb), поставлен в соответствие вектор (r(t)) трехмерного пространства, то говорят, что на множестве (E) задана векторная функция (r(t)) скалярного аргумента (t).

Пусть в пространстве фиксирована прямоугольная система координат (Oxyz). Тогда задание вектор-функции (r(t), tin E), означает задание координат (x(t), y(t), z(t)) вектора (r(t), tin E). Если (i,j,k) — единичные векторы координатных осей, то
$$
r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k,qquad tin E,nonumber
$$
или
$$
r(t)=(x(t),y(t),z(t)).nonumber
$$
Если (z(t)=0) при всех (tin E), то вектор-функцию (r(t)) называют двумерной.

В случае, когда начало каждого из векторов (r(t)) совпадает с началом координат (рис. 21.1), эти векторы называют радиус-векторами, а множество их концов — годографом вектор-функции (r(t)), (tin E), который можно рассматривать как траекторию точки (M(t)) конца вектора (r(t)), если считать, что (t) — время.

Предел вектор-функции.

Вектор (a) называют пределом вектор-функции (r(t)) в точке (t_0) и пишут (displaystyle lim_<trightarrow t_>r(t)=a) или (r(t)rightarrow a) при (trightarrow t_0), если
$$
lim_<trightarrow t_> |r(t)-a|=0,label
$$
то есть длина вектора (r(t)-a) стремится к нулю при (trightarrow t_0).

Рис. 20.1

Если заданы (r(t)=(x(t),y(t),z(t))) и (a=(a_,a_,a_)), то
$$
lim_<trightarrow t_>r(t)=alabel
$$
тогда и только тогда, когда
$$
x(t)rightarrow a_1, y(t)rightarrow a_2, z(t)rightarrow a_3quad при trightarrow t_0.label
$$

Поэтому, если (r(t)rightarrow a) при (trightarrow t_0), то есть выполняется условие eqref, то выполняется условие eqref.

Обратно: если выполняются условия eqref, то из равенства eqref следует, что выполнено условие eqref. (bullet)

При доказательстве свойств предела вектор-функции удобно использовать следующее очевидное утверждение: условие eqref выполняется в том и только том случае, когда
$$
r(t)=a+alpha(t),nonumber
$$
где (alpha(t)) — бесконечно малая вектор-функция, то есть
$$
alpha(t)rightarrow 0quad mbox trightarrow t_.nonumber
$$

Свойства пределов вектор-функций.

(circ) Это свойство следует из неравенства
$$
||r(t)|-|a|| leq |r(t)-a|.qquad bulletnonumber
$$

Если (r(t)rightarrow a) при (trightarrow t_), а скалярная функция (f(t)) такова, что (f(t)rightarrow A) при (trightarrow t_), то (f(t)r(t)rightarrow Aa) при (trightarrow t_), то есть
$$
lim_f(t)r(t)=lim_<trightarrow t_>f(t)lim_r(t).label
$$

(circ) Из определений пределов скалярной функции и вектор-функции следует, что (r(t)=a+alpha(t), f(t)=A+beta(t)), где (alpha(t)) — бесконечно малая вектор-функция, (beta(t)) — бесконечно малая функция при (trightarrow t_0). Поэтому (f(t)r(t)=Aa+gamma(t)), где (gamma(t)=Aalpha(t)+beta(t)a+beta(t)alpha(t)) — бесконечно малая вектор-функция при (trightarrow t_0), откуда получаем равенство eqref. (bullet)

(circ) По условию (r_(t)=a_+alpha_), где (a_i(t)rightarrow 0) при (trightarrow t_ (i=1,2)). Поэтому (r_1(t)+r_2(t)=a_1+a_2+beta(t)), где (beta(t)=alpha_(t)+alpha_2(t)rightarrow 0) при (trightarrow t_), откуда следует eqref. Докажем формулу eqref. В силу свойств скалярного произведения
$$
(r_(t),r_2(t))-(a_1,a_2)=(alpha_(t),a_)+(alpha_(t),a_1)+(alpha_1(t),alpha_2(t)),nonumber
$$
причем в правой части этого равенства — бесконечно малая функция, так как (alpha_(t),alpha_(t)) — бесконечно малые вектор-функции и (|(p,q)| leq |p|cdot|q|) для любых векторов (p) и (q).

Аналогично доказывается формула eqref, в этом случае следует воспользоваться неравенством (|[p,q]| leq |p|cdot|q|). (bullet)

Непрерывность вектор-функции.

Вектор-функцию (r(t)) называют непрерывной при (t=t_), если
$$
lim_<trightarrow t_>r(t)=r(t_0).label
$$
Непрерывность вектор-функции (r(t)=(x(t),y(t),z(t))) при (t=t_) в силу эквивалентности условий eqref и eqref означает, что ее координаты (x(t),y(t),z(t)) непрерывны в точке (t_).

Назовем вектор-функцию (Delta r=r((t_0+Delta t)-r(t_0)) приращением вектор-функции (r(t)) в точке (t_). Тогда условие eqref означает, что
$$
Delta rrightarrow 0quad приquad Delta trightarrow 0.label
$$

Из определения непрерывности вектор-функции и свойств пределов векторных функций следует, что сумма, векторное и скалярное произведения вектор-функций (r_1(t)) и (r_2(t)) являются непрерывными функциями при (t=t_), если вектор-функции (r_1(t)) и (r_2(t)) непрерывны в точке (t_).

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Производная и дифференциал вектор-функции.

Производная вектор-функции.

Если существует (displaystyle lim_frac) где (Delta r=r(t_0+Delta t)-r(t_0)), то этот предел называют производной вектор-функции (r(t)) в точке (t_0) и обозначают (r'(t_0)) или (dot(t_0)).

Таким образом,
$$
r'(t_)=lim_frac<r(t_+Delta t)-r(t_)>.label
$$
Аналогично вводится понятие второй производной
$$
r″(t_)=lim_frac<r'(t_+Delta t)-r'(t_)>nonumber
$$
и производной порядка (n > 2) вектор-функции. Заметим, что если (r(t)=(x(t),y(t),z(t))), то
$$
r'(t_)=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))label
$$
Утверждение eqref следует из определения eqref и свойств пределов вектор-функций.

Аналогично, если существует (r″(t_)), то
$$
r″(t_)=(x″(t_0),y″(t_0),z″(t_0)).nonumber
$$
Из определения производной следует, что (Delta r=r'(t_0)Delta t+alpha(Delta t)Delta t), где (alpha(Delta t)rightarrow 0) при (Delta trightarrow 0), и потому (Delta rrightarrow 0) при (Delta trightarrow 0). Таким образом, выполняется условие eqref, то есть вектор-функция (r(t)), имеющая производную в точке (t_), непрерывна при (t=t_).

(circ) Формулы eqref-eqref справедливы в точке (t), если в этой точке соответствующие функции имеют производные. Ограничимся доказательством формулы eqref. Пусть (Delta r_) — приращение вектор-функции (r_k(t)), соответствующее приращению аргумента (Delta t), то есть (Delta r_k=r_k(t+Delta t)-r_k(t), k=1,2). Тогда, используя свойства скалярного произведения и свойства пределов вектор-функций, получаем
$$
begin
(r_,r_)’=displaystylelim_frac<(r_(t+Delta t),r_(t+Delta t))-(r_(t),r_(t))>=\
=lim_left[left(r_(t),frac<Delta r_(t)>right)+left(frac<Delta r_(t)>,r_2(t)right)+left(frac<Delta r_(t)>,Delta r_2(t)right)right]=\
=(r_1,r_2′)+(r_1′,r_2),
endnonumber
$$
так как (displaystyle frac<triangle mathrm_>rightarrow r_‘(t)) при (Delta trightarrow 0 (i=1,2)) и (Delta r_2rightarrow 0) при (Delta trightarrow 0). (bullet)

Пусть существует (r'(t)) для всех (tin(alpha,beta)) и пусть (|r(t)|=C=const) для всех (tin(alpha,beta)).

Доказать, что ((r(t),r'(t))=0), то есть векторы (r(t)) и (r'(t)) ортогональны.

(triangle) Используя формулу (|r(t)|^2=(r(t),r(t))), правило дифференцирования скалярного произведения (формула eqref) и условие (|r(t)|=C), получаем ((r(t),r(t))’=2(r'(t),r(t))=0), так как (|r(t)|^)’=(C^)’=0). Итак,
$$
|r(t)|=CRightarrow (r(t),r'(t))=0.quadblacktrianglenonumber
$$

Дифференциал вектор-функции.

Вектор-функцию (r(t)), определенную в некоторой окрестности точки (t_), называют дифференцируемой при (t=t_), если ее приращение (Delta r=r(t_+Delta t)-r(t_)) в точке (t_) представляется в виде
$$
Delta r=aDelta t+Delta talpha(Delta t),label
$$
где вектор (a) не зависит от (Delta t), (alpha(Delta t)rightarrow 0) при (Delta trightarrow 0).

Полагая (dt=Delta t), запишем равенство eqref в виде
$$
dr=r’dt,nonumber
$$
где опущено обозначение аргумента функции (r’). Отсюда получаем
$$
r’=frac

.label (21)
$$

Замена переменного.

Если функция (t=t(s)) дифференцируема при (s=s_, t(s_)=t_), а вектор-функция (r(t)) дифференцируема в точке (t_), то вектор-функция (rho(s)=r(t(s))) дифференцируема в точке (s_), а производная этой функции выражается формулой
$$
rho’ (s_0)=r_s'(t(s_0))=r_'(t_)t_‘(s_),label
$$

где индекс указывает, по какому переменному производится дифференцирование.

(circ) Функция (alpha(Delta(t))) в формуле eqref не определена при (Delta t=0). Доопределим ее при (Delta t=0), полагая (alpha(0)=0).

Так как (t=t(s)) — функция, дифференцируемая при (s=s_0), то (Delta t=t(s_+Delta s)-t(s_)rightarrow 0) при (Delta srightarrow 0). Разделив обе части равенства eqref на (Delta sneq 0), получим
$$
frac=r'(t_0)frac+alpha(Delta t)frac.label
$$
Правая часть eqref имеет при (Delta srightarrow 0) предел, равный (r'(t_0)t'(s_0)), так как (Delta trightarrow 0) при (Delta srightarrow 0) и (alpha(Delta t)rightarrow 0) при (Delta trightarrow 0). Следовательно, существует предел в левом части eqref, и справедливо равенство eqref. Формулу eqref запишем кратко в виде равенства
$$
r_’=r_’t_’,label
$$
выражающего правило дифференцирования вектор-функции при замене переменного. (bullet)

Видео:Вектор функцииСкачать

Теорема Лагранжа и локальная формула Тейлора для вектор-функции.

Формула Лагранжа, то есть формула
$$
r(beta)-r(alpha)=r'(xi)(beta-alpha),quad xiin(alpha,beta),label
$$
для вектор-функции, вообще говоря, неверна.

(circ) В самом деле, пусть формула eqref верна, и пусть (r(t)=(cos t,sin t)), тогда (r'(t)=(-sin t,cos t), |r'(t)|=1). Полагая (alpha=0,beta=2pi), получим из равенства eqref (0=r(2pi)-r(0)=r'(xi)2pi), что невозможно, так как (|r'(xi)|=1). (bullet)

Если вектор-функция (r(t)) непрерывна на отрезке ([alpha,beta]) и дифференцируема на интервале ((alpha,beta)), то
$$
existsxiin(alpha,beta): |r(beta)-r(alpha)|leq|r'(xi)|(beta-alpha).label
$$

(circ) Рассмотрим скалярную функцию
$$
varphi(t)=(r(beta)-r(alpha),r(t)).nonumber
$$
эта функция непрерывна на отрезке ([alpha,beta]), так как вектор-функция (r(t)) непрерывна на этом отрезке. Кроме этого, функция (varphi(t)) дифференцируема на интервале ((alpha,beta)), так как функция (r(t)) дифференцируема этом интервале, причем в силу правила дифференцирования скалярного произведения
$$
varphi'(t)=(r(beta)-r(alpha),r'(t)).nonumber
$$
По теореме Лагранжа
$$
existsxiin(alpha,beta): varphi(beta)-varphi(alpha)=varphi'(xi)(beta-alpha)label
$$
Преобразуем левую часть неравенства eqref:
$$
begin
varphi(beta)-varphi(alpha)=(r(beta)-r(alpha),r(beta))-(r(beta)-r(alpha),r(alpha))=\
=(r(beta)-r(alpha),r(beta)-r(alpha))=|r(beta)-r(alpha)|^2
endnonumber
$$
Тогда равенство eqref примет вид
$$
|r(beta)-r(alpha)|^=(r(beta)-r(alpha),r'(xi))(beta-alpha).label
$$
Если (r(beta)=r(alpha)), то неравенство eqref справедливо при любом (xiin in(alpha,beta)). Если (r(beta)neq r(alpha)), то (|r(beta)-r(alpha)| > 0). Тогда, используя неравенство (|(a,b)|leq|a|cdot|b|), из формулы eqref получим
$$
|r(beta)-r(alpha)|^leq|r(beta)-r(alpha)|cdot |r'(xi)|(beta-alpha),nonumber
$$
откуда, разделив обе части неравенства на (|r(beta)-r(alpha)| > 0), получим неравенство eqref. (bullet)

Для вектор-функции (r(t)) справедлива локальная формула Тейлора
$$
r(t)=sum_^frac<r^(t_)>(t-t_)^+varepsilon(t-t_),label
$$
где (varepsilon(t-t_0)=o((t-t_)^)) — вектор-функция такая, что (varepsilon(t-t_0)=(t-t_)^varepsilon_(t-t_)), где (varepsilon_(t-t_)rightarrow 0) при (trightarrow t_).Эта формула справедлива в предположении, что существует (r^(t_0)). Для доказательства формулы eqref достаточно воспользоваться локальной формулой Тейлора для компонент вектор-функции (r(t)).

💡 Видео

Производная векторной функции скалярного аргументаСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

АО МФТИ 2021-2022 | Производная, интеграл, вектор-функцияСкачать

Вектор-функции многих переменных, факультет химии, лекция 21 04 20Скачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Производная векторной функции. Вторая производная ВФСА, векторное произведение ВФСАСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

2 42 Ортогональность векторовСкачать

Математический анализ 22. Свойства пределов вектор-функций. Кривые в R^nСкачать

Годограф НайквистаСкачать

Математический анализ 21. Компактность. Вектор-функцииСкачать

Оператор набла (оператор Гамильтона) и оператор ЛапласаСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать