Найти длину дуги кардиоиды находящейся внутри окружности

Уравнения кривых. Кардиоида. Улитка Паскаля.

Если применить две окружности с равными радиусами и вращать одну вокруг другой, то образуется кардиоида(греч. кардиа — сердце) — математики считают, что сформированная кривая отдаленно схожа с сердцем.

Если брать точку не на самой катящейся окружности, а внутри ее, сместив в сторону от центра, тогда будет образована кривая, получившая название Улитка Паскаля или лимакона.

Пусть a диаметр исходной окружности, а l расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус – вектора. Тогда возможны такие варианты улитки Паскаля: а > l, a = l и a 2 + у 2 +2аx) 2 – 4a 2 (х 2 + у 2 ) = 0;

в полярных координатах:

В прямоугольных координатах (параметрическая запись):

x = 2a cos t – a cos 2t;

Длина дуги одного витка кардиоиды, определяется формулой:

Площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, определяется формулой:

Найти длину дуги кардиоиды находящейся внутри окружности.

Улитка Паскаля характеризуется уравнениями:

Площадь, ограниченная улиткой Паскаля:

Найти длину дуги кардиоиды находящейся внутри окружности.

При а > l площадь внутренней петли при вычислении по этой формуле считается дважды.

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Кардиоида

1. Уравнение. Кардиоиду можно определить как траекторию точки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по окружности неподвижного круга с таким же радиусом. Она будет представлять собой, таким образом, эпициклоиду с модулем m, равным 1.

Это обстоятельство позволяет сразу же записать параметрические уравнения кардиоиды, заменяя в ранее приведенных параметрических уравнениях эпициклоид модуль m единицей. Будем иметь:

Найти длину дуги кардиоиды находящейся внутри окружности

Чтобы получить полярное уравнение кардиоиды, удобно принять за полюс точку А (рис.7), а полярную ось направить по оси абсцисс. Так как четырехугольник AOO1M будет равнобедренной трапецией, то полярный угол точки М окажется равным углу поворота производящего круга, т. е. параметру t. Учитывая это обстоятельство, заменим во втором уравнении системы (1) у через sin t. Сокращая полученное таким образом равенство на sin t, получим полярное уравнение кардиоиды

Найти длину дуги кардиоиды находящейся внутри окружности

По виду этого уравнения

можно заключить, что кардиоида является одной из улиток Паскаля. Она может быть определена, следовательно, как конхоида круга.

Переводя уравнение (2) в прямоугольную систему координат, получим:

Из этого уравнения следует, что кардиоида является алгебраической кривой 4-го порядка.

2. Свойства. Прежде всего, поскольку кардиоида является эпициклоидой с m=1, на нее можно перенести все свойства рассмотренных нами в предыдущем параграфе эпициклоид.

Вот эти свойства и характеристики.

  • 1. Касательная в произвольной точке кардиоиды проходит через точку окружности производящего круга, диаметрально противоположную точке касания кругов, а нормаль — через точку их касания.
  • 2. Угол , составляемый касательной к кардиоиде с радиусом-вектором точки касания, равен половине угла, образуемого этим радиусом-вектором с полярной осью.
  • 3. Радиус кривизны в произвольной точке кардиоиды определится по формуле

Найти длину дуги кардиоиды находящейся внутри окружности

  • 4. Эволюта кардиоиды, согласно общему свойству эволют эпициклоид, будет также кардиоидой, подобной данной, с коэффициентом подобия, равным 1/3, и повернутой относительно данной на угол 180°.
  • 5. Длина дуги кардиоиды от точки А до произвольной точки М определится по формуле

Если длину дуги отсчитывать от точки А1, диаметрально противоположной точке А, то формула для определения длины дуги может быть записана в виде

Найти длину дуги кардиоиды находящейся внутри окружности

6. Натуральное уравнение кардиоиды получится, если из равенств (4) и (6) исключить параметр. Оно будет иметь вид

7. Площадь, ограниченная кардиоидой, определится по формуле

Найти длину дуги кардиоиды находящейся внутри окружности

и, как видно, равна ушестеренной площади производящего круга.

Длина всей кардиоиды определится по формуле

Найти длину дуги кардиоиды находящейся внутри окружности

и, как видно, равна восьми диаметрам производящего круга. Объем тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси, равен

Поверхность тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси, равняется

Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Длина дуги кривой — определение и вычисление с примерами решения

Длина дуги кривой:

Определение 1. Рассмотрим простую кривую L на плоскости (см. § 30), заданную параметрически в виде
Найти длину дуги кардиоиды находящейся внутри окружности

Разобьем отрезок Найти длину дуги кардиоиды находящейся внутри окружности

Найти длину дуги кардиоиды находящейся внутри окружности

Кривая называется спрямлякмой, если множество Найти длину дуги кардиоиды находящейся внутри окружности– длин всевозможных вписанных в кривую ломаных – ограничено, при этом Найти длину дуги кардиоиды находящейся внутри окружности– называется длиной кривой L.

Замечание. Эквивалентное утверждение: число l называется длиной кривой L, если Найти длину дуги кардиоиды находящейся внутри окружноститакое, что ∀ разбиения Найти длину дуги кардиоиды находящейся внутри окружностидиаметром Δ

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📹 Видео

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.Скачать

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкам

КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

Нахождение длины дуги кривойСкачать

Нахождение длины дуги кривой

Видеоуроки Компас 3D. Листовое тело. Команда Размер дуги окружностиСкачать

Видеоуроки Компас 3D. Листовое тело. Команда Размер дуги окружности

Длина дуги кривойСкачать

Длина дуги кривой

Площадь кардиоиды.КардиоидаСкачать

Площадь кардиоиды.Кардиоида

Нахождение длины дуги кривой.Скачать

Нахождение длины дуги кривой.

Астроида: найдем площадь и длину через определенный интегралСкачать

Астроида: найдем площадь и длину через определенный интеграл

Построение кривой в полярной системе координатСкачать

Построение кривой в полярной системе координат

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатах

История возникновения формул для площади круга и длины окружности.Скачать

История возникновения формул для площади круга и длины окружности.

Математический анализ, 27 урок, Геометрическое приложение определенного интегралаСкачать

Математический анализ, 27 урок, Геометрическое приложение определенного интеграла

Площадь круга через интегралСкачать

Площадь круга через интеграл

ТОП-5 ПЛОХИХ КОМБИНАЦИЙ ОТ ГИПЕРТОНИИ! КАК ВРЕДНО ЛЕЧИТЬ ГИПЕРТОНИЮ?!Скачать

ТОП-5 ПЛОХИХ КОМБИНАЦИЙ ОТ ГИПЕРТОНИИ! КАК ВРЕДНО ЛЕЧИТЬ ГИПЕРТОНИЮ?!

Определенный интеграл. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать

Определенный интеграл. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математика

Длина линии на плоскостиСкачать

Длина линии на плоскости

Приложения определенного интеграла: длина дуги кривой, объем тела вращенияСкачать

Приложения определенного интеграла: длина дуги кривой, объем тела вращения
Поделиться или сохранить к себе: