Найти диагональ параллелепипеда по векторам (4 видео)

Смешанное, векторное и скалярное произведение векторов

Задача:

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, построен на векторах AB(4,3,0), AD(2,1,2) и AA₁(-3,-2,5).
Найти:

Решение:

а) Объем параллелепипеда будем искать через смешанное произведение векторов (AB AD AA₁). Мы знаем, что модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенному на этих векторах.

(AB AD AA₁)

4	3	0
2	1	2
-3	-2	5

20 — 18 + 0 — 0 — 30 + 16

-12

Мы нашли смешанное произведение, ещё надо его взять по модулю и найдём объем параллелепипеда:
V_{ABCDA₁B₁C₁D₁}=12.
б) Площадь, как мы уже знаем, можно искать через векторное произведение векторов. Грань ABCD построена на векторах AB и AD, найдём их векторное произведение. S_ABCD= |[AB AD]|.

[AB AD]

i	j	k
4	3	0
2	1	2

6i — 8j — 2k

Теперь найдём модуль этого вектора:

S_ABCD= \|[AB AD]\|=√	(36+64+4)	=2√(26).

[AD AA₁]

i	j	k
2	1	2
-3	-2	5

9i — 16j — k

S_ADD₁A₁= |[AD AA₁]|=√(81+256+1)=13√2.

в) Что бы найти длину высоты, проведенной из вершины A₁ на грань ABCD, используем формулу для нахождения объема параллелепипеда V=h S_ABCD. С этой формулы видим:

V
S_ABCD

12
2√(26)

6
√(26)

3√(26)
13

г) Косинус угла λ₁, между ребром AB и диагональю B₁D будем высчитывать с помощью скалярного произведения векторов

cos(λ₁)

(AB B₁D)
\|AB\| * \|B₁D\|

Координаты вектора AB мы имеем, от вектор B₁D надо найти. Для этого используем следующую формулу:
B₁D = B₁A₁ + A₁A + AD = — AB — AA₁ + AD₁ = — (4, 3, 0) — (-3, -2, 5) + (2, 1, 2); (Не забывайте, что всё это векторы, надо сложить их соответствующие координаты. )
Сделав вычисления по этой формуле, мы найдём, что вектор B₁D имеет координаты (1, 0, -3). Теперь надо найти длину векторов AB и B₁D:
|AB|=√(16+9+0)=5, |B₁D|=√(1+0+9)=√(10).
Найдём скалярное произведение векторов AB и B₁D, (AB B₁D)=4*1 + 3*0 + 0*(-3)=4.
Теперь, имея все данные мы можем подставить их в нашу формулу:

cos(λ₁)

4
5√(10)

2√(10)
25

д) Что бы найти cos(λ₂), мы используем то, что угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярами до этих плоскостей. А как мы знаем, векторное произведение — это и есть перпендикуляр до плоскости перемножаемых векторов. Поэтому в роле перпендикуляра к плоскости ADD₁A₁ мы можем взять вектор [AD AA₁], который мы нашли в пункте б), и знаем, что его координаты (9, -16, -1), точно также и для плоскости ABCD — вектор [AB AD] с координатами (6, -8, -2).
Теперь нам остаётся, как в предыдущем варианте найти только косинус угла между двумя векторами, координаты которых нам известны.

cos(λ₂)

69 + (-8)(-16) + (-2)*(-1)
2√(26) * 13√(2)

46√(13)
169

Вот таким не хитрым способом мы и нашли косинус угла между гранями ABCD и ADD₁A₁.

Содержание

Найти диагональ параллелепипеда по векторам
Правило параллелепипеда. Разложение вектора
Правило параллелепипеда
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
💡 Видео

Видео:№361. Диагонали параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. Разложите векторыСкачать

Найти диагональ параллелепипеда по векторам

4.6. Задачи с решениями

1. В параллелепипеде обозначим . Выразить через векторы a, b, с диагонали параллелепипеда и диагонали граней.

Решение. Сделаем чертёж. Пользуясь правилом сложения векторов, получаем:

AC = AB + AD = b + с, AC1 = AA1 + AC = a + b + с .

Из того же треугольника AA1C получаем: A1C = AC — AA1 = b + с — a.

Чтобы найти B1C, заметим, что B1C = A1D, так как у этих векторов совпадают и длины, и направления. Поэтому B1C = A1D = AD — AA1 = с — a.

Аналогично: DC1 = AB1 = AA1 + AB = a + b .

2. Найти длину и направляющие косинусы вектора AB, если его начало и конец находятся в точках A(7, 6), B(2 — 6).

Решение. Так как каждая точка задана двумя координатами, то рассматривается вектор на плоскости. Находим его координаты, вычитая из координат точки B (конца вектора) координаты точки A (начала вектора): AB = (2 — 7, —6 — 6) = (—5, —12). Находим длину: |AB | = 13, направляющие косинусы: .

3. Найти координату z вектора a = (1, —3, z), если известно, что она отрицательна, а модуль |a| = . Где окажется конец вектора a, если его отложить из точки M(5, —2, 1)?

Решение. По условию, . поэтому ZN = —8.

4. Найти расстояние между точками A(5, —2, 4) и B( —1, 0, 6).

Решение. Расстояние равно длине вектора AB. Найдём:

5. При каких p, q векторы a = (2,p, — 1), b = qi + 9j + 3k будут коллинеарными?

Видео:Найдите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a=(1;-1;-4) и b=(-5;3;8)Скачать

Правило параллелепипеда. Разложение вектора

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:§20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать

Правило параллелепипеда

Для правила сложения трех векторов рассмотрим следующую задачу.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Доказать, что $overrightarrow+overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$

Доказательство.

Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:

Так как $overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow$

Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения сложения трех векторов. Чтобы найти сумму трех векторов $overrightarrow,overrightarrow и overrightarrow$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $overrightarrow=overrightarrow$, $overrightarrow=overrightarrow$ и $overrightarrow=overrightarrow$ и построим параллелепипед на этих векторах. Тогда вектор диагонали $overrightarrow$ и будет суммой этих трех векторов. Это правило называется правилом параллелепипеда для сложения трех векторов.

Видео:Площадь параллелограмма по векторамСкачать