Знание — сила. Познавательная информация
- По сторонам и медиане найти сторону треугольника
- Найти сторону треугольника через медиану и стороны
- Определение и свойства медианы равностороннего треугольника
- Определение медианы
- Свойства медианы равностороннего треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
- Свойство 7
- Примеры задач
- 🎬 Видео
Видео:Длина медианы треугольникаСкачать
По сторонам и медиане найти сторону треугольника
Чтобы по сторонам и медиане найти сторону треугольника, достаточно знать ход решения задачи. Учить дополнительную формулу не обязательно.
По двум сторонам и медиане найти третью сторону треугольника — задача, обратная нахождению медианы треугольника по трем его сторонам .
Сначала рассмотрим, как по сторонам и медиане найти сторону треугольника, в общем виде.
Пусть в треугольнике ABC известны стороны AB=c, AC=b и медиана BF=m.
На луче BF отложим отрезок FD, FD=BF и соединим точку D с точками A и C.
Поскольку в полученном четырехугольнике ABCD диагонали точкой пересечения делятся пополам, то ABCD — параллелограмм (по признаку). А значит, мы можем применить свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Имеем: AC²+BD²=2(AB²+BC²). Отсюда b²+(2m)²=2(c²+BC²), b²+4m²=2c²+2BC², BC²=(b²+4m²-2c²)/2.
Переходим к решению конкретной задачи.
По двум сторонам 6 см и 8 см и медиане,проведенной к третьей стороне, найти неизвестную сторону треугольника. Длина медианы равна √46 см.
Пусть AB=6 см, BC=8 см, BF=√46 см. Рассуждая аналогично, получаем: AC²+BD²=2(AB²+BC²), AC²+(2√46)²=2(6²+8²), AC²+4∙46=200, AC²=200-184=16, AC=4 см.
Видео:Задача найти сторону равностороннего треугольника по медианеСкачать
Найти сторону треугольника через медиану и стороны
Найти сторону треугольника через медиану и стороны — задача, обратная нахождению медианы через стороны.
Решается она аналогично, то есть с помощью дополнительного построения и применения свойства диагоналей параллелограмма.
Стороны треугольника равны 6 см и 8 см. Медиана, проведенная к его третьей стороне, равна √46 см. Найти неизвестную сторону треугольника.
BO — медиана, BO=√46 см.
1) На луче BO отложим отрезок OD,
2) Соединим точку D с точками A и C.
3) AO=CO (так как BO — медиана по условию), OD=BO (по построению).
Так как диагонали четырехугольника ABCD в точке пересечения делятся пополам, то ABCD — параллелограмм (по признаку).
Если ввести обозначения BC=a, AB=c, AC=b, BO=mb, то получим формулу для нахождения стороны треугольника через медиану и две другие стороны:
Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Определение и свойства медианы равностороннего треугольника
В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы равностороннего треугольника, а также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.
Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
Определение медианы
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны.
Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны (AB = BC = AC).
Видео:Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольникаСкачать
Свойства медианы равностороннего треугольника
Свойство 1
Любая медиана в равностороннем треугольнике одновременно является и высотой, и серединным перпендикуляром, и биссектрисой угла, из которого проведена.
- BD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AC, а также биссектриса угла ABC;
Свойство 2
Все три медианы в равностороннем треугольнике равны между собой. Т.е. AF = BD = CE.
Свойство 3
Медианы в равностороннем треугольнике пресекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1.
Свойство 4
Любая медиана равностороннего треугольника делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника. Т.е. S1 = S2.
Свойство 5
Равносторонний треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих прямоугольных треугольников. Т.е. S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6.
Свойство 6
Точка пересечения медиан в равностороннем треугольнике является центром описанной вокруг и вписанной окружностей.
- r – радиус вписанной окружности;
- R – радиус описанной окружности;
- R = 2r (следует из Свойства 3).
Свойство 7
Длину медианы равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:
a – сторона треугольника.
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Примеры задач
Задача 1
Вычислите длину медианы равностороннего треугольника, если известно, что его сторона равна 6 см.
Решение
Для нахождения требуемого значения применим формулу выше:
Задача 2
Самая большая сторона одного из треугольников, образованных в результате пересечения трех медиан в равностороннем треугольнике, равняется 8 см. Найдите длину стороны данного треугольника.
Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.
Из Свойства 5 мы знаем, что в результате пересечения всех медиан образуются 6 прямоугольных треугольников.
- BG = 8 см (самая большая сторона, является гипотенузой △BFG);
- FG = 4 см (катет △BFG, в 2 раза меньше гипотенузы BG – следует из Свойства 3).
Применяем теорему Пифагора, чтобы найти длину второго катета BF:
BF 2 = BG 2 – FG 2 = 8 2 – 4 2 = 48 см 2 .
Следовательно, BF ≈ 6,93 см.
BF равняется половине стороны BC (т.к. медиана делит сторону треугольника пополам), следовательно, BC ≈ 13,86 см.
🎬 Видео
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать
Как найти медиану треугольника по его сторонамСкачать
Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать
Как найти медиану, зная стороны треугольника? Удвоение медианы.Скачать
№158. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная к боковой сторонеСкачать
ЗАДАЧА ДЛЯ ОТЛИЧНИКОВ | Как найти медиану треугольника через стороныСкачать
Формулы для медианы треугольникаСкачать
7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Задание 9 ОГЭ от ФИПИСкачать
Построение медианы в треугольникеСкачать
Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать
Треугольник с перпендикулярными медианами. Как найти третью сторону по известным двум?Скачать