Найти 3 пары параллельных прямых 3 пары скрещивающихся прямых 3 пары пересекающихся прямых в кубе

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

D C A B Параллельные прямые в пространстве

Устная работа. А В С Д А1 В1 С1 Д1 α Дано: куб АВСДА1В1С1Д1 Найдите: Несколько точек, которые лежат в плоскости α; Несколько точек, которые не лежат в плоскости α; Несколько прямых, которые лежат в плоскости α; Несколько прямых, которые не лежат в плоскости α; Несколько прямых которые пересекают прямую ВС; Несколько прямых, которые не пересекают прямую ВС.

Параллельные прямые в пространстве 1 Каково может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости? (совпадают, пересекаются, параллельны) 2 Дайте определение параллельных прямых на плоскости. Параллельными называются прямые, не имеющие общих точек. a b a ∩ b

Параллельные прямые в пространстве Параллельными прямыми в пространстве называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются(не имеют общих точек). Определение ( ) a b a  ,   b a ∩ b

Так как две прямые в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются и лежат в одной плоскости. Значит, через две параллельные прямые можно провести плоскость и только одну. a b a ΙΙ b

Теорема о параллельных прямых Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и только одну. Если даны пр. a, M є a , то : 1. через пр. a можно провести пр. b ΙΙ a. 2. пр. b -единственная a β M b

Параллельные прямые в пространстве Дан куб. Являются ли параллельными прямые: D C A B D1 C1 A1 B1 1) АА1 и DD1, АА1 и СС1? Ответ обоснуйте. 2) АА1 и DС? Они пересекаются? В пространстве есть прямые, которые не пересекаются, но и не являются параллельными.

Параллельные прямые в пространстве Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Признак скрещивающихся прямых Если b є α, a ∩ α = M, M є b, то прямые a и b скрещиваются. a b α M

Найти: 3 пары параллельных прямых, 3 пары скрещивающихся прямых, 3 пары пересекающихся прямых. Пересекаются ли прямые B1D и BC? B1D и A1C1? A B C D A1 B1 C1 D1

Параллельные прямые в пространстве По рисункам назовите: 1) пары скрещивающихся ребер; 2) пары параллельных ребер. D C A B K L N K1 L1 N1

Параллельные прямые в пространстве Алгоритм распознавания взаимного расположения двух прямых в пространстве Лежат ли в одной плоскости? Имеют хотя бы одну общую точку? Имеют более одной общей точки? а и в а = в а  в а в а в Да Да Да Нет Нет Нет .

Лемма Дано: a ΙΙ b, Если a ∩ α, то b∩α a b α β M N

Теорема Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. bιιс , аιιс Значит аιιb Параллельность трех прямых с а b β

Задача. Точки Е,F,M,N – середины рёбер.Установите вид четырёхугольника ЕМNF и найдите его периметр ,еслиDB=12 см , АС=14 см. 12 14 A B C D E F M N

Параллельные прямые в пространстве 1 Всегда ли две непересекающиеся прямые в пространстве параллельны? 2 Какие две прямые в пространстве называются параллельными? 3 4 Сколько можно провести в пространстве прямых, проходящих через данную точку, параллельных данной прямой? Какие прямые называются скрещивающимися?

Параллельность прямой и плоскости в пространстве

Параллельность прямой и плоскости Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

1. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то прямая пересекает эту плоскость.

2. Прямая и плоскость имеют две общие точки.

3. Прямая и плоскость не имеют общих точек.

Определение Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. β а а ∩ β а // β

Признак параллельности двух прямых. Если прямая, лежащая в одной из пересекающихся плоскостей, параллельна другой плоскости, то она параллельна их линии пересечения. Если aєα, allβ, α ∩ β = c, то allc α β a c

Параллельность прямой и плоскости (устно) E и F — середины AD и CD P и K — середины AB и BC Доказать: EF ll (ABC) PK (ADC). A B C D E F K P

Задача Средняя линия трапеции лежит в некоторой плоскости. Докажите, что основания трапеции параллельны данной плоскости. A B C D E F α

ЗАДАЧА Дано: Δ АВС ,АС// α АС = 10 см АВ ∩ α = К ВС ∩ α = D ВК : КА = 2 : 3 Найти: КD

ЗАДАЧА Дано: Δ АВС ,АС//α АС = 10 см АВ ∩ α = К ВС ∩ α = D ВК : КА = 2 : 3 Найти: КD С В К D α А

Признак параллельности двух плоскостей. Пусть даны пл-ти α и β, a ∩ b, a1∩b1, a , b є α, a1 , b1 є β, Если а// a1 ; b // b1 ,то α II β Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. a b α b1 a1 β

Свойства.__________ 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения плоскостей параллельны. Если α II β, γ ∩ α = a, γ ∩ β = b, то a II b α β γ a b

2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. Если α II β, AD II BC, то AD = BC α β А B C D

Задача. 5 4 3 6 ? ? . . * * » » a b O α β A B A1 B1

ЗАДАЧА Дано: ∆ АВС ; α // β АВ ∩ α=D;АВ ∩ β=Е ВС ∩ α=К;ВС ∩ β=Р ВD:ВЕ=2:3 ВК=4см Найти: ВР и ВЕ

ЗАДАЧА А В С D Е К Р α β Дано: ∆ АВС ; α // β АВ ∩ α=D;АВ ∩ β=Е ВС ∩ α=К;ВС ∩ β=Р ВD:ВЕ=2:3 ВК=4см Найти: ВР и ВЕ 4

Используемая литература: 1. Геометрия: Учебник для средней школы. 10–11 классы./ Под ред. Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева и др. – М.: Просвещение, 1992. 2. Геометрия. 10 класс. Поурочные планы / Авт.-сост. Г.И. Ковалева – Волгоград: Учитель, 2004 Презентацию подготовила: Седова Оксана Михайловна преподаватель математики ГАОУ МО СПО «Печенгский политехнический техникум» 2016 год Параллельные прямые в пространстве

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 971 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 333 человека из 71 региона

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 693 человека из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

• Седова Оксана МихайловнаНаписать 2315 22.12.2016

Номер материала: ДБ-044801

22.12.2016 239

22.12.2016 568

22.12.2016 361

22.12.2016 1706

22.12.2016 3707

22.12.2016 727

22.12.2016 509

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января

Время чтения: 1 минута

ОНФ планирует решить проблему с низкими зарплатами водителей школьных автобусов в России

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения готовит рекомендации по построению «идеальной школы»

Время чтения: 1 минута

Число участников РДШ за 2021 год выросло в три раза

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

Контрольная работа по геометрии 10 класс «Взаимное расположение прямых в пространстве»

Проверочная работа по геометрии 10 класс «Взаимное расположение прямых в пространстве» составлена из 3 заданий, позволяет проверить знание практического и теорретического материалов по теме.

Работа составлена в 5 вариантах

Просмотр содержимого документа
«Контрольная работа по геометрии 10 класс «Взаимное расположение прямых в пространстве»»

1.Выполните чертеж куб АВСДА₁В₁С₁Д₁ . По чертежу укажите:

а) прямые параллельные для прямой АД;

б) прямые скрещивающиеся с прямой ;

в) плоскости параллельные прямой АВ.

г)Пересекаются ли прямые

д)Найти: 3 пары параллельных прямых,

3 пары скрещивающихся прямых,

3 пары пересекающихся прямых ;

е)А₁В₁ линией пересечения каких плоскостей является;

ж)Найти S_∆ECF если Е – середина СС1, F-середина ВС, а сторона куба равна

3. Дано: ABCD — пространственный четырехугольник; L — середина АВ; К — середина ВС; N — средина DC; М — средина DA , BD=34 AC=26. Доказать: LKNM – параллелограмм, найти P _LKNM

1. Выполните чертеж куба MKLPM₁K₁L₁P₁. По чертежу укажите:

а) прямые параллельные для прямой MK;

б) прямые скрещивающиеся с прямой LL₁;

в) плоскости параллельные прямой PL.

Пересекаются ли прямые

KL линией пересечения каких плоскостей является

3 пары параллельных прямых,

3 пары скрещивающихся прямых,

3 пары пересекающихся прямых.

2. Точка М лежит на отрезке АВ. Отрезок АВ пересекается с плоскостью α в точке В. Через А и М проведены параллельные прямые, пересекающие α в точках А1 и M1.

а) Докажите, что А1, М1 и В лежат на одной прямой.

б) Найдите длину отрезка АВ, если АА1 : ММ1 = 3 : 2, AM = 6.

3. Дано: ABCD — пространственный четырехугольник; L — середина АВ; К — средина ВС; N — средина DC; М — середина DA, BD=70 AC=56. Доказать: LKNM – параллелограмм, найти P _LKNM

1.Выполните чертеж куба MKLPM₁K₁L₁P₁. По чертежу укажите:

а) прямые параллельные для прямой KL;

б) прямые скрещивающиеся с прямой PP₁;

в) плоскости параллельные прямой L₁L.

Пересекаются ли прямые

MK линией пересечения каких плоскостей является

3 пары параллельных прямых,

3 пары скрещивающихся прямых,

3 пары пересекающихся прямых. Найти S_∆AKB, S_{∆MKL =} 16 где A – середина MK, B-середина KL

По чертежу укажите: а) прямые параллельные для прямой ВС; б) прямые скрещивающиеся с прямой АД; в) плоскости параллельные прямой С₁Д₁

Пересекаются ли прямые

B₁D и A₁C₁? ДА₁ линией пересечения каких плоскостей является

3 пары параллельных прямых,

3 пары скрещивающихся прямых,

3 пары пересекающихся прямых; ; Найти S_∆ECF где Е – середина СС1, F-середина ВС, а S_∆BCC1=64

3. Дано: ABCD — пространственный четырехугольник; L — середина АВ; К — средина ВС; N — средина DC; М — средина DA, BD=70 AC=56. Доказать: LKNM – параллелограмм, найти P _LKNM

1. Выполните чертеж куб АВСДА₁В₁С₁Д₁ . По чертежу укажите: а) прямые параллельные для прямой АД; б) прямые скрещивающиеся с прямой ; в) плоскости параллельные прямой АВ.

3 пары параллельных прямых,

3 пары скрещивающихся прямых,

3 пары пересекающихся прямых ; А₁В₁ линией пересечения каких плоскостей является; Найти S_∆ECF где Е – середина СС1, F-середина ВС, а измерения куба

2. Дано: ABCD — параллелограмм; АВЕК — трапеция: ЕК — основание; ЕК ∉ (ABCD) а) Выясните взаимное расположение прямых CD и ЕК.

б) Найти: Р(ABEK), если известно, что в нее можно вписать окружность, АВ = 7,5 см; ЕК = 14,5 см.

3. Дано: ABCD — пространственный четырехугольник; L — середина АВ; К — средина ВС; N — средина DC; М — средина DA , BD=52, AC=20. Доказать: LKNM – параллелограмм, найти P _LKNM

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Геометрия

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

Понятие скрещивающихся прямых

В пространстве можно построить две прямые так, что они не будут пересекаться, но и параллельными они также являться не будут. Для этого достаточно, чтобы прямые НЕ находились в одной плоскости. В этом случае их именуют скрещивающимися прямыми.

Здесь ребра ВС и АЕ как раз лежат на двух скрещивающихся прямых. Поэтому их можно так и называют – скрещивающиеся отрезки. По аналогии можно ввести понятие и скрещивающихся лучей.

Существует теорема, представляющая собой признак скрещивающихся прямых.

Действительно, пусть есть две прямые, НК и РМ. Обозначим как α плос-ть, проходящую через НК и точку М. Если РМ пересекает α, то это означает, что М – единственная общая точка у α и РМ. Получается, что Н, К, М и Р – это точки в различных плос-тях, и через них нельзя провести одну плос-ть. Значит, и прямые НК и РМ – скрещивающиеся.

Таким образом, в стереометрии возможно всего три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:

1) прямые пересекаются, и тогда они обязательно находятся в одной плос-ти;

2) прямые располагаются в одной плос-ти, но не пересекаются – случай параллельных прямых;

3) прямые находятся в разных плос-тях – случай скрещивающихся прямых.

Докажем одну теорему:

Для доказательства возьмем произвольные скрещивающиеся прямые m и n. Отметим на n точку К и проведем через К прямую р, параллельную m:

Через пересекающиеся прямые nи p можно провести единственную плос-тьα. По признаку параллельности прямой и плос-ти можно заключить, что m||α.

Покажем, что кроме α нет других плос-тей, проходящих через n и параллельных m. Действительно, если бы такая плос-ть β существовала, то р имела бы с ней общую точку К, но полностью в β она бы не могла находиться, иначе α и β совпадали бы. Значит, р пересекала бы β. Но тогда ее обязательно пересекала бы и m по одну из свойств параллельных прямых. В этом случае m и β не были бы параллельными.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Сонаправленные лучи

В планиметрии существует понятие сонаправленных лучей. Пусть на плос-ти есть два луча О₁А и О₂В. Проведем прямую О₁О₂. Она, как и всякая прямая, разделит плос-ть на две полуплоскости. Для того, чтобы лучи О₁А и О₂В считались сонаправленными, необходимо выполнение двух условий:

1) они должны оказаться в одной полуплоскости;

2) они должны быть параллельными.

Здесь мы рассмотрели случай, когда лучи О₁А и О₂В находятся на разных прямых. Возможен частный случай, когда они располагаются на одной прямой. В таком случае для сонаправленности лучей достаточно, чтобы один из них полностью лежал на другом:

Рассмотрим теорему, касающуюся сонаправленных лучей, причем она верна не только в планиметрии, но и в стереометрии.

В доказательстве сразу рассмотрим случай углов, располагающихся в разных плос-тях. Пусть есть углы О₁ и О₂, стороны которых образуют попарно сонаправленные лучи. На одной паре лучей отметим точки А₁ и А₂ так, чтобы отрезки О₁А₁ и О₂А₂ были одинаковыми. На другой паре лучей аналогично отложим точки В₁ и В₂ так, чтобы одинаковыми были отрезки О₁В₁ и О₂В₂:

Заметим, что лучи О₁А₁ и О₂А₂ как сонаправленные должны располагаться в одной плос-ти, иначе они не будут параллельными. Тогда О₁А₁А₂О₂ – плоский четырехугольник. Отрезки О₁А₁ и О₂А₂ параллельны и одинаковы. Это значит, что О₁А₁А₂О₂ – параллелограмм. Аналогично легко убедиться, что параллелограммом является и четырехугольник О₁В₁В₂О₂. Это значит, что

Отсюда вытекает (по свойству транзитивности), что отрезки А₁А₂ и В₁В₂ также одинаковы и параллельны, а потому А₁А₂В₂В₁ – также параллелограмм. Значит, стороны А₁В₁ и А₂В₂ одинаковы. Получается, что у ∆О₁А₁В₁ и ∆О₂А₂В₂ одинаковы все стороны, поэтому ∆О₁А₁В₁ и ∆О₂А₂В₂ равны. Отсюда вытекает и равенство углов ∠А₁О₁В₁ и ∠А₂О₂В₂, ч. т. д.

Видео:Параллельность прямых. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми

Напомним, какая величина считается углом между пересекающимися прямыми. При пересечении прямых образуется 4 угла. Зная один из них, легко вычислить и остальные углы. Понятно, что хотя бы один из углов будет не превышать 90°. Именно такой угол и принимается за угол между прямыми:

Теперь покажем, как определить угол между скрещивающимися прямыми. Пусть прямые m и n скрещиваются. Выберем в пространстве произвольную точку К. Через нее можно построить такие прямые m₁ и n₁, что m₁||m и n₁||n. Угол между m₁ и n₁ как раз и принимается за угол между скрещивающимися прямыми m и n:

Возникает вопрос – зависит ли величина измеренного таким образом угла от того, какая именно точка К выбрана? Оказывается, что не зависит, и это можно доказать. Выберем две произвольные точки К₁ и К₂. Через К₁ проведем прямые n₁ и m₁, а через К₂ проведем n₂ и m₂, которые будут соответственно параллельны исходным прямым m и n.

Так как n₁||n и n₂||n, то по свойству транзитивности параллельности и n₁||n₂. Аналогично и m₁||m₂. Получается, что стороны углов в точках К₁ и К₂ соответственно сонаправлены. Значит, они одинаковы, ч. т. д.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Задачи на скрещивающиеся прямые

Теоретический материал закончился, осталось научиться применять полученные знания. Перед просмотром решения постарайтесь самостоятельно решить каждую задачу.

Задание. Точка D находится вне плос-ти ∆АВС. Середины отрезков АD, BD и СD обозначены буквами M, N и P соответственно. Точка K располагается на отрезке BN (и не совпадает с концами этого отрезка). Определите, как относительно друг друга располагаются прямые:

Решение. Сначала важно построить правильный рисунок по описанию задачи:

Теперь можно рассмотреть по отдельности каждый пункт.

а) АВ и DN. Прямая DN совпадает с прямой BD. Она в свою очередь пересекается с АВ в точке В. Значит, в данном случае прямые пересекаются.

б) РК и ВС. Рассмотрим плос-ть треугольника ∆ВСD. Рассматриваемые прямые как раз находятся в ней. То есть они уже точно не скрещиваются. Могут ли они быть параллельны? Обратите внимание на отрезок NP. Это средняя линия в ∆ВСD, поэтому NP||ВС. Через Р может быть проведена лишь одна прямая, параллельная ВС (по аксиоме параллельности), и это NP. Значит, KP пересекает ВС.

в) MN и АВ. В ∆АВDMN является средней линией, поэтому MN||АВ.

г) МР и АС. МР – это средняя линия в ∆АСD, значит, МР||АС.

д) KN и АС. Прямая KN совпадает с прямой BD. Она пересекает плос-ть АСВ, но точка пересечения (это В) не находится на АС. Тогда по признаку скрещивающихся прямых можно утверждать, что KN и АС скрещиваются.

е) MD и ВС. MD пересекается с плос-тью АСВ в точке А. Тогда из признака скрещивающихся прямых вытекает, что MD и DC скрещиваются.

Задание. Через точку Р, не находящуюся на прямой m, проведены две различные прямые, не пересекающиеся с m. Верно ли, что хотя бы одна из них точно скрещивается с m?

Решение. Каждая из этих двух прямых с m не пересекается. Тогда они либо параллельны m, либо скрещиваются с ней. Но обе прямые параллельны m не могут быть параллельны m, ведь тогда через Р будет проведено сразу две прямые, параллельные m, что невозможно. Значит, хотя бы одна из прямых действительно скрещивается с m.

Задание. MК и РН – скрещивающиеся прямые.Скрещиваются ли прямые МН и КР?

Решение. Ясно, что точки М, К, Р, Н располагаются в различных плос-тях. В противном случае, если бы существовала плос-ть α, в которой находились бы М, К, Р и Н, то в α также находились бы прямые МК и РН, и тогда они уже по определению не были бы скрещивающимися.

Теперь рассмотрим плос-ть КРН. В ней находится прямая КР. А прямая МН ее пересекает в точке К. Тогда, по признаку скрещивающихся прямых, МН и КР скрещиваются.

Задание. Прямые m и n скрещиваются. M – точка на m, N – точка на n. Через m и N проведена плос-ть α, а через n и M – плос-ть β. Пересекаются ли плос-ти α и β, и если да, то по какой линии?

Посмотрим, есть ли у α и β общие точки. Плос-ть α проходит через n, то есть и через точку N тоже. Плос-ть β также проходит через N. Значит, N – общая точка. Аналогично можно показать, что и М – это общая точка. В итоге α и β пересекаются, причем на линии пересечения находятся точки M и N. Значит, именно прямая МN является границей этих двух плос-тей.

Задание. Известно, что MНКЕ – параллелограмм, а МНРТ – трапеция (РТ – её основание), причем они располагаются в разных областях. Каково расположение отрезков КЕ и РТ друг относительно друга.

Решение. Задачу можно решить и без рисунка. Если РТ – основание трапеции, то второе основание – это МН, и МН||РТ. В параллелограмме МНКЕ параллельны стороны МН и КЕ, ведь они противоположные. Тогда по свойству транзитивности параллельности из того факта, что МН||РТ и МН||КЕ, вытекает, что и РТ||КЕ.

Задание. Известно, что ОА и СD – скрещивающиеся прямые, а ОВ||CD. Чему равен угол между ОА и CD, если

Если CD||ОВ, то угол между CD и ОА совпадает с углом между ОВ и ОА. В задании а) он совпадет с ∠АОВ и составляет 40°. В случае б) угол не может составлять 135°, так как он не должен превышать 90°. Поэтому он равен

Наконец, в случае в) он составит 90°.

Ответ: а) 40°; б) 45°; в) 90°.

Задание. Дан куб, вершины которого обозначены так, как это показано на рисунке:

Найдите угол между прямыми:

Решение. Во всех трех случаях нам даны скрещивающиеся прямые. Для вычисления угла надо найти такие параллельные им прямые, которые будут пересекаться.

а) AD и GH. Заметим, что GH||СD, ведь это противоположные стороны квадрата СDHG, поэтому мы можем определить угол между AD и CD. Другими словами, мы просто заменяем в задаче GH на CD, так как эти отрезки параллельны. Так как отрезки AD и CD в свою очередь являются уже смежными сторонами в квадрате АВСD, то ∠ADC, который нам надо найти, составляет 90°.

б) BD и FG. Здесь уже уместно заменить FG на ВС. Это можно сделать, ведь FG||ВС (это стороны квадрата). Тогда нам необходимо вычислить ∠СВD. Он составляет 45°, ведь диагональ квадрата делит его угол пополам.

в) BD и AF. Здесь есть смысл AF заменить на GD. Но для этого надо сначала показать, что AF||DG.Рассмотрим отрезки AD и FG. Каждый из них параллелен ВС (по свойству квадратов ABCD и ВСGH). Значит, по свойству транзитивности AD||FG, то есть эти отрезки располагаются в одной плос-ти. Тогда AFGD – плоский четырехугольник.

Заметим, что отрезки AD и FG ещё и одинаковы, так каждый из них равен ВС (вообще в кубе все ребра одинаковы). Получается, что в четырехугольнике AFGD стороны AD и FG одинаковы и параллельны, а потому AFGD – параллелограмм, по одному из его признаков. Отсюда и вытекает, что AF||DG.

Мы поняли, искомый нами угол между прямыми равен∠BDG. Как его вычислить? Для этого надо рассмотреть ∆BDG. Можно заметить, что он равносторонний. Действительно, отрезки BG, GD и BD – это диагонали в равных квадратах ВСGH, СDHG, АВСD, поэтому и сами эти диагонали также одинаковы. В любом равностороннем треугольнике все углы составляют по 60°, поэтому и ∠BDG равен этому же значению, то есть 60°.

Ответ: а) 90°; б) 45°; в) 60°.

Задание (стереометрическая задача из ЕГЭ). Точки А, В, С и D в пространстве располагаются так, что расстояния между любыми двумя из этих точек одинаковы. Можно доказать (попробуйте сделать это самостоятельно), что такая ситуация возможна лишь в случае, когда точки не располагаются в одной плос-ти. М – середина ВС, а L – середина АВ. Найдите косинус угла между прямыми МD и CL.

Решение. Из условия вытекает, что ∆АВС, ∆ВСD, ∆ABD – равносторонние и притом равные друг другу. Проведем в ∆АВС отрезок такой отрезок MF, что MF||СL. Тогда нам необходимо вычислить ∠DMF (точнее, его косинус). Это можно сделать, используя теорему косинусов применительно к ∆MDF, но для этого сперва надо найти все стороны в этом треугольнике:

Для удобства обозначим длину отрезков АВ, ВС, АС, BD, AD и CD буквой R. Так как L– середина АВ, то CL– медиана в ∆АВС. Но в равностороннем треугольнике она одновременно будет и высотой. Тогда ∆АСL – прямоугольный. Запишем для него теорему Пифагора:

Аналогичным образом легко определить, что длина медианы DМ в ∆ВСD равна этому же значению:

Теперь исследуем ∆ВСL. Так как MF||CL и М – середина ВС, то MF оказывается средней линией в ∆ВСL. Значит, ее длина вдвое меньше, чем у СL:

Также из того факта, что МF – средняя линия, вытекает то, что F – середина LВ. Тогда можно вычислить FB:

Далее обратим внимание на ∆ВFD. ∠В в нем составляет 60°, ведь это одновременно и угол в равностороннем ∆АВD. Стороны FB и BD нам известны, а потому с помощью теоремы косинусов можно вычислить и FD:

Теперь можно составить и для ∆МDF уравнение на основе теореме косинуса, из которого удастся выяснить интересующий нас косинус ∠DMF:

В ходе сегодняшнего урока мы познакомились с новым понятием – скрещивающимися прямыми. Также мы узнали, как вычислять угол между ними. Подобные задачи могут встречаться и на ЕГЭ.

💡 Видео

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

6 часов стереометрии для 10-классника | Математика 10 класс | УмскулСкачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

Перпендикулярные прямыеСкачать

10 класс - Геометрия - Скрещивающиеся прямыеСкачать

СТЕРЕОМЕТРИЯ. ВСЕ ЗАДАЧИ НА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬСкачать

Найти в кубе угол между двумя прямымиСкачать

Скрещивающиеся прямыеСкачать

ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать