Как посчитать площадь пересечения двух окружностей

Пересечение двух окружностей

Этот онлайн калькулятор находит точки пересечения двух окружностей, если они существуют

Чтобы использовать калькулятор, введите координаты x и y центра и радиус каждой окружности.

Формулы для расчета приведены под калькулятором.

Как посчитать площадь пересечения двух окружностей

Точки пересечения двух окружностей

Первая окружность

Вторая окружность

Видео:Теорема о числе точек пересечения двух окружностейСкачать

Теорема о числе точек пересечения двух окружностей

Пересечение окружностей

Сама по себе задача нахождения точек пересечения двух окружностей достаточно проста, однако предварительно надо проанализировать если ли вообще точки пересения у данных двух окружностей. Поэтому начать надо с вычисления расстояния d в декартовых координатах между центрами окружностей и сравнения его с радиусами окружностей r1 и r2.

При этом возможно следующие случаи (расстояние между центрами показано красным отрезком):

Как посчитать площадь пересечения двух окружностей

Как посчитать площадь пересечения двух окружностей

Как посчитать площадь пересечения двух окружностей

Как посчитать площадь пересечения двух окружностей

Как посчитать площадь пересечения двух окружностей

Как посчитать площадь пересечения двух окружностей

СлучайОписаниеУсловие
Тривиальный случай — окружности совпадают (это одна и та же окружность)
Окружности не касаются друг другаr1 + r2″ />
Одна окружность содержится внутри другой и не касается ее
Окружности пересекаются в двух точкахНе выполнено ни одно из условий выше
Окружности соприкасаются в одной точкеЧастный случай предыдущего

Если окружности действительно пересекаются, калькулятор использует следующие формулы (в-основном выведенные из теоремы Пифагора), проиллюстрированные рисунком ниже:

Сначала калькулятор находит отрезок a

Чтобы найти точку P3, калькулятор использует следующую формулу (в векторном виде):

И наконец, чтобы найти точки пересечения, калькулятор использует следующие уравнения:
Первая точка:

Обратите внимание на разные знаки перед вторым слагаемым

По теме также можно посмотреть следующие ссылки (на английском языке): Circle-Circle Intersection и Circles and spheres

Видео:Пересечение двух окружностейСкачать

Пересечение двух окружностей

Как посчитать площадь пересечения двух окружностей

Позволяет рассчитать площадь пересечения двух окружностей произвольных радиусов.

Используются достаточно простые формулы, которые элементарно доказываются.

Дополнительно есть калькулятор, который высчитывает координаты пересечения двух окружностей

Как посчитать площадь пересечения двух окружностей

Площадь пересечения двух окружностей состоит из двух сегментов FDG и FBG

Вывести формулу расчета площади пересечения двух окружностей можно из двух общеизвестных формул и знаний решения треугольника:

Формулы сектора окружности

и длина хорды окружности

По известным сторонам треугольника AFС определяем высоту на сторону AC.

Удвоением этой высоты мы получаем длину хорды, после этого узнаем угол альфа по второй формуле.

По известным сторонам треугольника AFG узнаем его площадь. Вычитаем её из площади сектора окружности, ведь угол альфа нам уже известен.

И получаем площадь сегмента FBG

Подобным образом вычисляем FDG

Это лишь один из способов решения задачи вычисления площади пересечения двух окружностей.

Как посчитать площадь пересечения двух окружностей— радиус первой окружности

Как посчитать площадь пересечения двух окружностей— радиус второй окружности

Как посчитать площадь пересечения двух окружностей— расстояние между центрами окружностей

Видео:Найти площадь пересечения кругов. Задача для тех, кто учился в школе на пятеркиСкачать

Найти площадь пересечения кругов. Задача для тех, кто учился в школе на пятерки

Пример

Хотим узнать площадь пересечения двух окружностей радиусом в 1 и расстоянием между центрами 0.8079455

Пишем okr 1 1 0.8079455

Площадь двух пересекающихся окружностей равна = 1.5707963388681

Первая окружность радиус 4, вторая окружность радиус 2, расстоянием между центрами 3

Пишем okr 4 2 3

Площадь двух пересекающихся окружностей равна = 9.5701994729833

Первая окружность радиус 4, вторая окружность радиус 2, расстоянием между центрами 0

Видео:Лучший способ найти площадь кругаСкачать

Лучший способ найти площадь круга

Расчет площади пересечения окружностей методом Монте-Карло

Как посчитать площадь пересечения двух окружностейЭта статья родилась как логическое продолжение пятничного поста о методе Бутстрапа, а особенно, комментариев к нему. Не защищая метод Бутстрапа, стоит уделить внимание методам Монте-Карло. Здесь я хочу поделиться своим опытом применения Монте-Карло в одной из своих практических задач, а также обоснованием законности этого применения.

Итак, моя задача заключалась в необходимости вычисления площади фигуры, являющейся пересечением окружностей, с последующей реализацией на языке JavaScript. Площадь под графиком – это интеграл. Интегрирование методом Монте-Карло достаточно широко известно, но, как многие верно заметят, его применение требует некоторого обоснования. За подробностями прошу под кат.

Обоснование

Задача расчета площади пересечения двух окружностей является тривиальной геометрической задачей (координаты центров окружностей и их радиусы нам известны). Площадь пересечения двух окружностей – это сумма площадей соответствующих сегментов этих окружностей. Есть решения для расчета площади пересечения двух, трех, четырех окружностей в различных частных случаях.

А вот решения общего случая для пересечения даже трех окружностей уже далеко не так тривиальны. В процессе поиска я нашел даже исследования по расчету площади пересечения N окружностей, однако они настолько же интересны, насколько и сложны.

Здесь на сцену выходит метод Монте-Карло. Благодаря современным компьютерным мощностям этот метод позволяет провести большое количество статистических испытаний, на основе результатов которых делается обобщение.

Итак, алгоритм расчета площади любой фигуры методом Монте-Карло сводится к следующему:

  1. Фигура вписывается в прямоугольник. Координаты сторон прямоугольника известны, значит, известна его площадь.
  2. Псевдослучайным образом внутри прямоугольника генерируется большое количество точек. Для каждой точки определяется, попала ли точка внутрь исходной фигуры или нет.
  3. В результате площадь исходной фигуры вычисляется исходя из обычной пропорции: отношение количества точек, попавших в фигуру, к общему количеству сгенерированных точек равно отношению площади фигуры к площади ограничивающего ее прямоугольника.

Последняя проблема, которую надо решить, заключается в том, что каким-то образом необходимо определять, попала ли точка внутрь исходной фигуры. В моем случае данная задача решается достаточно просто, поскольку моя фигура состоит из окружностей, координаты центров и радиусы которых известны.

Реализация задачи на JavaScript

Как посчитать площадь пересечения двух окружностей

Пара гвоздей в метод Бутстрапа

Если говорить именно о методе Бутстрапа, то мое личное мнение заключается в том, что случайная генерация набора данных по имеющемуся набору в общем случае не может служить для оценки закономерностей, поскольку сгенерированная информация не является достоверной. В общем, это же, только более умными (и нередко более резкими) словами, говорят и многие авторы, например, Орлов в своем учебнике по Эконометрике.

🔥 Видео

Найдите площадь фигуры между тремя касающимися окружностямиСкачать

Найдите площадь фигуры между тремя касающимися окружностями

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностей

Точка пересечения двух окружностей равноудалена ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Точка пересечения двух окружностей равноудалена ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Геометрия В точках пересечения двух окружностей с радиусами 4 и 8 см касательные к ним взаимноСкачать

Геометрия В точках пересечения двух окружностей с радиусами 4 и 8 см касательные к ним взаимно

Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Площадь круга. Математика 6 класс.

Алгоритмы. Пересечение окружностейСкачать

Алгоритмы. Пересечение окружностей

Пересечение двух окружностейСкачать

Пересечение двух окружностей

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shorts

Взаимное расположение окружностей. Точки пересечения окружностейСкачать

Взаимное расположение окружностей. Точки пересечения окружностей

1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

1 2 4  сопряжение окружностей

Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.

Геометрия 9 класс (Урок№10 - Взаимное расположение двух окружностей.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№10 - Взаимное расположение двух окружностей.)

Параметр. Серия 13. Решение задач с окружностями. Касание двух окружностейСкачать

Параметр. Серия 13. Решение задач с окружностями. Касание двух окружностей
Поделиться или сохранить к себе: