Найдите угол между векторами в кубе

Нахождение угла между векторами: онлайн калькулятор

Два вектора всегда образуют угол. Чтобы найти угол между двумя векторами на плоскости или в пространстве, нужно использовать формулу для скалярного произведения и знать длины векторов. Сначала вычисляется косинус угла между векторами, затем находится и сам угол.

Чтобы найти угол между векторами онлайн, не нужно самостоятельно производить громоздкие вычисления. Достаточно просто задать два вектора в удобной форме (точки или координаты) и нажать кнопку «рассчитать».

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Как найти угол между векторами с помощью онлайн-калькулятора

Для нахождения угла между векторами с помощью нашего онлайн-калькулятора выполните несколько простых действий:

  1. Укажите размерность векторов. Это может быть плоскость или пространство.
    Найдите угол между векторами в кубе
  2. Определитесь с формой представления векторов. Их можно задать координатами либо точками:
    Найдите угол между векторами в кубе
  3. В соответствующие поля введите значения векторов и нажмите «Рассчитать».
    Рассмотрим наглядный пример с произвольными значениями. Пусть у нас есть два вектора на плоскости, заданные координатами:
    Найдите угол между векторами в кубе
    После того, как мы нажмем «Рассчитать», калькулятор выдаст решение с пояснением:
    Найдите угол между векторами в кубе
    Найдите угол между векторами в кубе
    Найдите угол между векторами в кубе

Видео:Найти в кубе угол между двумя прямымиСкачать

Найти в кубе угол между двумя прямыми

Онлайн калькулятор. Вычисление угла между векторами

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти угол между двумя векторами (косинус угла между векторами) для плоских и пространственных задач.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление угла между векторами и закрепить пройденный материал.

Видео:Как находить угол между векторамиСкачать

Как находить угол между векторами

Калькулятор для вычисления угла между векторами

Инструкция использования калькулятора для вычисления угла между векторами

Ввод даных в калькулятор для вычисления угла между векторами

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления угла между векторами

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Видео:Задание №441 — ГДЗ по геометрии 11 класс (Атанасян Л.С.)Скачать

Задание №441 — ГДЗ по геометрии 11 класс (Атанасян Л.С.)

Теория. Вычисление угла между векторами

Найдите угол между векторами в кубе

Угол между двумя векторами a и b можно найти использовав следующую формулу:

cos α =a · b
| a || b |

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Готовимся к ЕГЭ. Стереометрия. Базовые задачи. Угол между прямыми. КубСкачать

Готовимся к ЕГЭ. Стереометрия. Базовые задачи. Угол между прямыми. Куб

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Найдите угол между векторами в кубе

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Найдите угол между векторами в кубе

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Найдите угол между векторами в кубе
Найдите угол между векторами в кубе

Длина вектора Найдите угол между векторами в кубев пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Найдите угол между векторами в кубе

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Найдите угол между векторами в кубе

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Найдите угол между векторами в кубе

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы Найдите угол между векторами в кубеи Найдите угол между векторами в кубе.

Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

Произведение вектора на число:

Найдите угол между векторами в кубе

Скалярное произведение векторов:

Найдите угол между векторами в кубе

Косинус угла между векторами:

Найдите угол между векторами в кубе

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Найдите угол между векторами в кубе

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами Найдите угол между векторами в кубеи Найдите угол между векторами в кубе. Для этого нужны их координаты.

Найдите угол между векторами в кубе

Запишем координаты векторов:

Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

и найдем косинус угла между векторами Найдите угол между векторами в кубеи Найдите угол между векторами в кубе:

Найдите угол между векторами в кубе

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Найдите угол между векторами в кубе

Координаты точек A, B и C найти легко:

Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

Из прямоугольного треугольника AOS найдем Найдите угол между векторами в кубе

Координаты вершины пирамиды: Найдите угол между векторами в кубе

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

Найдем координаты векторов Найдите угол между векторами в кубеи Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

и угол между ними:

Найдите угол между векторами в кубе

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Найдите угол между векторами в кубе

Запишем координаты точек:

Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдите угол между векторами в кубе

Найдем координаты векторов Найдите угол между векторами в кубеи Найдите угол между векторами в кубе, а затем угол между ними:

Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:11 класс, 5 урок, Угол между векторамиСкачать

11 класс, 5 урок, Угол между векторами

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Найдите угол между векторами в кубе

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Найдите угол между векторами в кубе

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Найдите угол между векторами в кубе

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Найдите угол между векторами в кубе

То есть A + C + D = 0.

Найдите угол между векторами в кубеНайдите угол между векторами в кубе

Аналогично для точки K:

Найдите угол между векторами в кубе

Получили систему из трех уравнений:

Найдите угол между векторами в кубе

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Найдите угол между векторами в кубе

Решив систему, получим:

Найдите угол между векторами в кубе

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Найдите угол между векторами в кубе

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Найдите угол между векторами в кубе

Вектор Найдите угол между векторами в кубе— это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Найдите угол между векторами в кубеимеет вид:

Найдите угол между векторами в кубе

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Найдите угол между векторами в кубе

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Найдите угол между векторами в кубе

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Найдите угол между векторами в кубе

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор Найдите угол между векторами в кубеперпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: Найдите угол между векторами в кубе

Напишем уравнение плоскости AEF.

Найдите угол между векторами в кубе

Берем уравнение плоскости Найдите угол между векторами в кубеи по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Найдите угол между векторами в кубеНайдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF: Найдите угол между векторами в кубе

Нормаль к плоскости AEF: Найдите угол между векторами в кубе

Найдем угол между плоскостями:

Найдите угол между векторами в кубе

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Найдите угол между векторами в кубе

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор Найдите угол между векторами в кубеили, еще проще, вектор Найдите угол между векторами в кубе.

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

Координаты вектора Найдите угол между векторами в кубе— тоже:

Найдите угол между векторами в кубе

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Найдите угол между векторами в кубе

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Найдите угол между векторами в кубе

Получим:
Найдите угол между векторами в кубе

Ответ: Найдите угол между векторами в кубе

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть Найдите угол между векторами в кубе— вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), Найдите угол между векторами в кубе— нормаль к плоскости α.

Найдите угол между векторами в кубе

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

Найдите угол между векторами в кубе

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

Находим координаты вектора Найдите угол между векторами в кубе.

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор Найдите угол между векторами в кубе.

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Найдите угол между векторами в кубе

Ответ: Найдите угол между векторами в кубе

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

Найдите угол между векторами в кубе

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = Найдите угол между векторами в кубе, AD = Найдите угол между векторами в кубе. Высота параллелепипеда AA1 = Найдите угол между векторами в кубе. Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

Найдите угол между векторами в кубе

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

Найдите угол между векторами в кубеНайдите угол между векторами в кубе

Решим эту систему. Выберем Найдите угол между векторами в кубе

Тогда Найдите угол между векторами в кубе

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Найдите угол между векторами в кубе

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

Найдите угол между векторами в кубе

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

📹 Видео

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AD1 и В1D1. Ответ дайте в градусах.Скачать

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AD1 и В1D1. Ответ дайте в градусах.

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

Классика для начинающих ★ Найдите угол между двумя диагоналями граней куба на рисункеСкачать

Классика для начинающих ★ Найдите угол между двумя диагоналями граней куба на рисунке

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

№1039. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) АВ и АССкачать

№1039. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) АВ и АС

100 тренировочных задач #135 Угол между векторамиСкачать

100 тренировочных задач #135 Угол между векторами

105. Угол между векторамиСкачать

105. Угол между векторами

Угол между прямыми!Скачать

Угол между прямыми!

Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

Нахождение угла между векторами  через координаты. 9 класс.

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.

Задание 3 ЕГЭ профиль #121Скачать

Задание 3 ЕГЭ профиль #121
Поделиться или сохранить к себе: