Найдите построением векторы суммы и разности векторов а и б

В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.

Сумма векторов

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.

Геометрическая интерпретация:

Суммой a и b является вектор c , начало которого совпадает с началом a , а конец – с концом b . При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b .

Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.

Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c , совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.

Формула сложения векторов

Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b .

<table data-id="250" data-view-id="250_55602" data-title="Формулы сложения векторов" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <a_x + b_x; a_y + b_y> » data-order=» a + b = <a_x + b_x; a_y + b_y> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> a + b = <a_x + b_x; a_y + b_y>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z> » data-order=» a + b = <a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z> «> a + b = <a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <a₁ + b₁; a₂ + b₂; . a_n + b_n> » data-order=» a + b = <a₁ + b₁; a₂ + b₂; . a_n + b_n> «> a + b = <a₁ + b₁; a₂ + b₂; . a_n + b_n>

Свойства сложения векторов

1. Коммутативность: a + b = b + a

2. Ассоциативность: ( a + b ) + c = a + ( b + c )

3. Прибавление к нулю: a + 0 = a

4. Сумма противоположных векторов: a + (- a ) = 0

Примечание: Вектор – a коллинеарен и равен по длине a , но имеет противоположное направление, из-за чего называется противоположным.

Разность векторов

Для вычитания векторов также применяется правило треугольника.

Если из вектора a вычесть b , то получится c , причем должно соблюдаться условие:

Формула вычитания векторов

Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b .

<table data-id="251" data-view-id="251_83403" data-title="Формулы вычитания векторов" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <a_x — b_x; a_y — b_y> » data-order=» a — b = <a_x — b_x; a_y — b_y> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> a — b = <a_x — b_x; a_y — b_y>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <a_x — b_x; a_y — b_y; a_z — b_z> » data-order=» a — b = <a_x — b_x; a_y — b_y; a_z — b_z> «> a — b = <a_x — b_x; a_y — b_y; a_z — b_z>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <a₁ — b₁; a₂ — b₂; . a_n — b_n> » data-order=» a — b = <a₁ — b₁; a₂ — b₂; . a_n — b_n> «> a — b = <a₁ — b₁; a₂ — b₂; . a_n — b_n>

Примеры задач

Задание 1
Вычислим сумму векторов и .

Задание 2
Найдем разность векторов и .

Сложение и вычитание векторов

Теорема 1 От любой точки ( K ) можно отложить вектор единственный ( overrightarrow ) .

Существование: Имеем два следующих случая:

Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором ( overrightarrow ) .

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Суммой нескольких векторов ( vec ) , ( vec ) , ( vec,;ldots ) называется вектор ( vec ) , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
( vec + vec = left( <+ , + , + > right) )

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

Для произвольного вектора ( overrightarrow ) выполняется равенство

Для произвольных точек ( A, B и C ) справедливо следующее равенство

Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

Разность векторов. Вычитание векторов

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
( vec — vec = vec )

Длина нулевого вектора равна нулю:
( left| vec right| = 0 )

Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
( vec — vec = left( <- , — , — > right) )

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор ( overrightarrow ) и действительное число ( k ) .

Определение Произведением вектора ( overrightarrow ) на действительное число ( k ) называется вектор ( overrightarrow ) удовлетворяющий следующим условиям:

Длина вектора ( overrightarrow ) равна ( left|overrightarrowright|=left|kright||overrightarrow| ) ;

Векторы ( overrightarrow ) и ( overrightarrow ) сонаправлены, при ( kge 0 ) и противоположно направлены, если ( kle 0 )

Обозначение: ( overrightarrow=koverrightarrow ) .

Сложение и вычитание векторов

Формулы сложения и вычитания векторов

Формулы сложения и вычитания векторов для плоских задач

В случае плоской задачи сумму и разность векторов a = < a_x ; a_y > и b = < b_x ; b_y > можно найти, воспользовавшись следующими формулами:

Формулы сложения и вычитания векторов для пространчтвенных задач

В случае пространственной задачи сумму и разность векторов a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < b_x ; b_y ; b_z > можно найти, воспользовавшись следующими формулами:

Формулы сложения и вычитания n -мерных векторов

В случае n -мерного пространства сумму и разность векторов a = < a ₁ ; a ₂ ; . ; a_n > и b = < b ₁ ; b ₂ ; . ; b_n > можно найти, воспользовавшись следующими формулами:

Примеры задач на сложение и вычитание векторов

Примеры плоских задач на сложение и вычитание векторов

Примеры пространственных задач на сложение и вычитание векторов

Примеры задач на сложение и вычитание векторов с размерностью большей 3

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

🎥 Видео