Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

Онлайн калькулятор. Вычисление угла между векторами

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти угол между двумя векторами (косинус угла между векторами) для плоских и пространственных задач.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление угла между векторами и закрепить пройденный материал.

Видео:Как находить угол между векторамиСкачать

Как находить угол между векторами

Калькулятор для вычисления угла между векторами

Инструкция использования калькулятора для вычисления угла между векторами

Ввод даных в калькулятор для вычисления угла между векторами

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления угла между векторами

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

Теория. Вычисление угла между векторами

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

Угол между двумя векторами a и b можно найти использовав следующую формулу:

cos α =a · b
| a || b |

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Угол между двумя векторами

Пусть в n-мерном пространстве задан ортонормированный базис

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

Как известно скалярное произведение ненулевых векторов x и y называется произведение

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

Если x=0 или y=0, то скалярное произведение равно нулю.

Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.

Так как рассматривается пространство с ортонормированным базисом, то скалярное произведение можно вычислить также из выражения

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисНайдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисНайдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

координаты векторов x и y соответственно.

Из выражений (1) и (2) следует, что косинус угла между двумя векторами равен

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисНайдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

И, следовательно, угол между двумя векторами будет равен

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.

Пусть заданы векторы x= AB и y= CD, где Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис,Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис,Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис,Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис.

Переместим параллельно векторы x и y так, чтобы начальные точки векторов совпали с началом координат. Получим векторы x’ и y’ с координатами (т.е. с конечными точками):

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисНайдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисНайдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисНайдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

При таком перемещении угол между векторами x и y равен углу между векторами x’ и y’. Следовательно косинус угла между двумя векторами равен:

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисНайдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

Угол между двумя векторами будет равен:

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

Видео:Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

Нахождение угла между векторами  через координаты. 9 класс.

Примеры вычисления угла между двумя векторами

Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.

Пример . Найти угол между векторами x=(7,2) и y=(4,5).

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

На рисунке Рис. 1 в двухмерном пространстве представлены векторы x=(7,2) и y=(4,5).

Для вычисления угла между векторами x и y, вычислим нормы векторов x и y:

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

Косинус угла между векторами x и y, будет равен:

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисНайдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

Из выражения (5) вычисляем угол φ:

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.

Пример . Найти угол между векторами x= AB и y= CD, где A(-1,1), B(3, 7), C(3,2), D(12,5).

На рисунке Рис. 2 в двухмерном пространстве представлены векторы x= AB и y= CD.

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

Переместим параллельно векторы x и y так, чтобы начальные точки векторов совпали с началом координат. Получим векторы x’ и y’ с координатами (т.е. с конечными точками): x’=(3-(-1),7-1)=(4,6), y’=(12-3,5-2)=(9,3).

Угол φ между векторами x и y равен углу φ’ между векторами x’ и y’. Поэтому вычисляя угол φ’ , получим угол между векторами x и y.

Вычислим норму векторов x’ и y’:

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

Косинус угла между векторами x’ и y’:

Видео:Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОЙСТВ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Свойство первое следует из определения скалярного произведения: Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис.

Второе и третье свойства следуют из линейных свойств проекции вектора на ось (направление): Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис(эти свойства проекции доказываются при рассмотрении вектора в ортонормированном базисе). Используя линейные свойства проекции, получим: Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисНайдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

СКАЛЯРНЫЙ КВАДРАТ

Скалярным квадратом называется скалярное произведение Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базиси обозначается символом Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис; по определению Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис.

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ

Из определения Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисследует Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис.

УСЛОВИЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Теорема. Векторы Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базиси Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисортогональны тогда и только тогда, когда Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис.

Доказательство необходимости. Пусть Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, тогда Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис.

Доказательство достаточности. Пусть Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисили Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, тогда, либо хотя бы один из множителей есть нулевой вектор и Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, так как направление нулевого вектора неопределенно, либо Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базистогда Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис.

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

Теорема. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базиси Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисравно сумме произведений одноименных координат множителей.

Доказательство. Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базиси векторы Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базиси Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисимеют в этом базисе координаты соответственно Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базиси Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, т.е. Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис. Тогда, используя свойства скалярного произведения, будем иметь Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисНайдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

Так как Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, то окончательно получим:

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

МОДУЛЬ ВЕКТОРА В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

Из формулы для скалярного произведения при Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисполучим Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис.

УСЛОВИЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ В

Если Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, то необходимое и достаточное условие ортогональности Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисзапишется в виде Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисНайдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ ВЕКТОРА

Определение. Направляющими косинусами вектора Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисв заданном базисе называются косинусы углов между вектором Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базиси базисными векторами.

Пусть Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис– базисные векторы ортонормированного базиса и Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис– углы между вектором Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базиси векторами Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базиссоответственно.

Направляющими косинусами вектора Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисбудут Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис. Если Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, то из Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, так как Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис. Аналогично имеем

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис.

Замечание. Для любого вектора Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисимеем Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

ЛИНЕЙНЫЕ СВОЙСТВА ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСЬ

В ортонормированном базисе координаты вектора равны проекциям этого вектора на направления соответствующих базисных векторов.

Действительно, если Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис,то Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, но Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, следовательно, Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис. Аналогично Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис.

Если Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, то из суммы векторов Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базиси произведения вектора на число Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисследует, что проекция вектора обладает свойствами линейности. Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

1. Дайте определение скалярного произведения векторов.

2. Выведите условие ортогональности двух векторов.

3. Докажите формулу скалярного произведения векторов в ортогональном базисе.

4. Напишите формулу модуля вектора в ортонормированном базисе.

5. Выведите условие ортогональности двух векторов в ортогональном базисе.

§6. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Векторным произведением вектора Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисна вектор Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисназывается новый вектор Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, удовлетворяющий условиям:

1. Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис;

2. Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базиси Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис;

3. Упорядоченная тройка векторов Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисобразует правую тройку (с конца вектора Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисповорот на наименьший угол от первого сомножителя ко второму виден совершающимся против часовой стрелки (рис. 14)).

Векторное произведение Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисна Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисобозначается символом Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисили Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис.

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисD C Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисA Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисB Рис. 15. Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисРис. 14.

Замечания. 1. Модуль Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисчисленно равен площади параллелограмма, построенного на векторах Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базиси Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис(рис. 15). Действительно, площадь параллелограмма ABCD равна Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис

Векторы Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базиси Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисколлинеарны тогда и только тогда, когда Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис. Необходимость и достаточность этого условия следует из определения векторного произведения.

СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1. Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис(антикоммутативность);

2. Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис(ассоциативность относительно числового множителя);

3. Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис(дистрибутивность относительно суммы векторов).

Это свойство примем без доказательства.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОЙСТВ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1. Пусть Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, тогда из Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис. Векторы Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базиси Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисортогональны плоскости, в которой лежат векторы Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базиси Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, следовательно, Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис.

По определению с конца вектора Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисповорот от вектора Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базиск вектору Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисвиден совершающимся против часовой стрелки, а с конца вектора Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисповорот от вектора Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базиск вектору Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисвиден совершающимся против часовой стрелки, а это возможно при Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис.

Следовательно, имеем, что Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базиси Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, т. е. Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисили Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис.

Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисРис. 16.

2. Пусть Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис. По определению векторного произведения имеем Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис; при Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис(рис.16), при Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисимеем Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, откуда Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, т.е. Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис. Наконец, Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, где Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис. Так как Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисили Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, то в любом случае Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, следовательно, Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис. Итак, получим, что Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базиси Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис, т. е. Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базисили Найдите косинус угла между векторами ортонормированный базис.

🎥 Видео

Задача 3. Найти косинус угла между векторами.Скачать

Задача 3. Найти косинус угла между векторами.

Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Косинус угла между векторами. Коллинеарность векторовСкачать

Косинус угла между векторами.  Коллинеарность векторов

11 класс, 5 урок, Угол между векторамиСкачать

11 класс, 5 урок, Угол между векторами

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

Вывод формулы скалярного произведения векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе.Скачать

Вывод формулы скалярного произведения векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе.

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Найти угол между векторами и площадь параллелограмма, построенного на этих векторахСкачать

Найти угол между векторами и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах

§7 Направляющие косинусы вектораСкачать

§7 Направляющие косинусы вектора

100 тренировочных задач #135 Угол между векторамиСкачать

100 тренировочных задач #135 Угол между векторами

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

найти угол между единичными векторамиСкачать

найти угол между единичными векторами

§48 Ортонормированный базис евклидова пространстваСкачать

§48 Ортонормированный базис евклидова пространства

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: