Через 2 параллельные прямые можно провести бесконечно много плоскостей (5 видео)

X класс: Тема I. Параллельность в пространстве (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3

Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми: Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то вторая прямая также пересекает эту плоскость.

Доказать:

1. Проведем через прямые a и b плоскость p (рисунок 27). Сразу отметим, что плоскости p и a не совпадают (если бы они совпадали, то прямая a лежала бы в плоскости a, что противоречит условию).

2. Т. к. у несовпадающих плоскостей a и p есть общая точка A (A Î a по условию, A Î p по построению), Þ по аксиоме А3 a Ç p = l: A Î l.

3. По теореме о существовании и единственности прямой, параллельной данной, через точку A проходит единственная прямая, параллельная b; а это по условию прямая a. Следовательно, l b, а т. к. прямые l и b лежат в одной плоскости, Þ l Ç b = ! B.

4. B Î l Ì a, B Î b, Þ B – общая точка прямой b и плоскости a. Значит, прямая b либо лежит в плоскости a, либо пересекает ее в точке B. Если b Ì a, то через прямую b и не лежащую на ней точку A проходят 2 несовпадающие плоскости p и a, что невозможно. А значит, b Ç a = ! B. #

Пользуясь доказанной леммой, докажем теорему о параллельности трех прямых:

Теорема о параллельности трех прямых: Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Доказать: a÷çb.

1. Сразу заметим, что прямые a и b не имеют общих точек: если бы у них была общая точка, то через нее проходили бы сразу 2 прямые, параллельные c, что невозможно по теореме о существовании и единственности прямой, параллельной данной.

2. Выберем на прямой b произвольную точку B и проведем плоскость a = (a; B) (рисунок 28). Т. к. т. B Î b, B Î a, Þ прямая b имеет общую точку B с плоскостью a, т. е. прямая b либо пересекает плоскость a, либо лежит в ней. Докажем, что b Ì a.

3. Допустим, что b Ç a = ! B. b÷çc, Þ по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми c также пересекает плоскость a. А т. к. a÷çc, Þ по той же лемме прямая a пересекает плоскость a. Но по построению a Ì a. Пришли к противоречию, Þ предположение неверно, т. е. b Ì a.

4. Итак, прямые a и b лежат в одной плоскости a и не имеют общих точек (см. п. 1), Þ a÷çb по определению. #

Замечание: Теорему о параллельности трех прямых часто называют свойством транзитивности параллельности прямых.

6. Параллельность прямой и плоскости

Напомним, что прямая a и плоскость a называются параллельными, если они не имеют общих точек: a÷ça Û a Ç a = Æ.

Замечание: Через точку, лежащую вне данной плоскости, можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной плоскости (к примеру, всякая прямая, лежащая в плоскости потолка комнаты, параллельна плоскости ее пола).

Докажем признак, позволяющий устанавливать параллельность прямой и плоскости.

Признак параллельности прямой и плоскости: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то прямая и плоскость параллельны (рисунок 29).

Доказать: b÷ça.

Допустим, что b Ç a. Тогда по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми a Ç a (т. к. a÷çb). Пришли к противоречию с условием (a Ì a), Þ b÷ça. #

Сформулируем и докажем несколько элементарных утверждений о параллельности прямой и плоскости:

1. Если одна из двух пересекающихся плоскостей содержит прямую, параллельную второй плоскости, то эта прямая параллельна линии пересечения данных плоскостей (рисунок 30).

Доказать: a÷çl.

Поскольку прямые a и l лежат в одной плоскости a, они либо параллельны, либо пересекаются. Если бы они пересекались, прямая a имела бы общую точку с плоскостью b, что противоречит условию. Значит, a÷çl. #

Следствие: Если прямая a параллельна плоскости b, то в этой плоскости найдется бесконечно много прямых, параллельных a (через прямую a можно провести бесконечно много плоскостей, каждая из которых будет пересекать плоскость b по прямой, параллельной a).

2. Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, и эти плоскости пересекаются, то линия пересечения плоскостей параллельна каждой из этих прямых (рисунок 31).

Доказать: a÷çl; b÷çl.

1. a÷çb Ì b; Þ по признаку параллельности прямой и плоскости a÷çb.

2. Плоскость a содержит прямую a, параллельную плоскости b, Þ по утверждению 1, a÷çl.

3. b÷ça÷çl, Þ по теореме о параллельности трех прямых, b÷çl. #

3. Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна линии их пересечения (рисунок 32).

Доказать: с÷çl.

1. с÷ça; Þ по следствию из утверждения 1, в плоскости a найдется прямая a, параллельная c (рисунок 32). Аналогично $ b Ì b: с÷çb.

2. a÷çс÷çb, Þ по теореме о параллельности трех прямых, a÷çb.

4. c÷ça÷çl, Þ по теореме о параллельности трех прямых, с÷çl. #

7. Скрещивающиеся прямые

Как известно, две прямые, лежащие в одной плоскости, либо параллельны, либо пересекаются. Но оказывается, что не через всякие 2 прямые в пространстве можно провести плоскость. К примеру, через прямые, содержащие ребра AB и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 нельзя провести плоскость (рисунок 33). Такие прямые называются скрещивающимися.

Две прямые называются скрещивающимися, если через них нельзя провести плоскость. Для скрещивающихся прямых a и b используется следующее обозначение: .

Замечание 1: Поскольку как через две пересекающиеся, так и через две параллельные прямые в пространстве можно провести плоскость, скрещивающиеся прямые не являются ни пересекающимися, ни параллельными. Таким образом, две прямые в пространстве могут быть либо пересекающимися, либо параллельными, либо скрещивающимися.

Замечание 2: Не следует ориентироваться на чертеж, устанавливая характер взаимного расположения двух прямых (к примеру, на рисунке 33 изображения прямых AB и CC1 пересекаются, в то время как сами прямые являются скрещивающимися).

Поскольку чертеж не позволяет доказать, что прямые являются скрещивающимися, а напротив, может создать иллюзию их пересечения, для доказательства того, что через две данные прямые нельзя провести плоскость, используется следующий признак скрещивающихся прямых: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые являются скрещивающимися.

Доказать: .

1. Допустим, что через прямые a и b можно провести плоскость b. Тогда т. B Î b Ì b, Þ плоскость b проходит через прямую a и не лежащую на ней точку B. Но т. к. плоскость a также содержит прямую a и точку B, плоскости a и b совпадают.

2. b Ì b º a, Þ b Ì a, что противоречит условию. Значит, предположение неверно, т. е. через прямые a и b нельзя провести плоскость Û . #

С помощью сформулированного только что признака легко доказать, к примеру, что прямые AB и CC1 на рисунке 33 – скрещивающиеся: Þ .

Замечание: Если в задаче идет речь о скрещивающихся прямых, не «привязанных» к какой-либо геометрической конструкции, удобно изображать их на чертеже в виде противоположных ребер тетраэдра (на рисунке 35 , поскольку a Ì (ABC), b Ç (ABC) = ! C Ï a).

Оказывается, что каковы бы ни были две скрещивающиеся прямые, через каждую из них можно провести плоскость, параллельную второй прямой. Это утверждает следующая теорема:

Теорема о существовании и единственности плоскости, параллельной данной прямой: Через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести единственную плоскость, параллельную второй прямой.

Доказать:

$: 1. Возьмем произвольную т. B Î b и проведем через нее прямую a¢÷ça (рисунок 36; это можно сделать согласно теореме о существовании и единственности прямой, параллельной данной).

2. Проведем через пересекающиеся прямые a¢ и b плоскость a (это можно сделать согласно теореме о задании плоскости двумя пересекающимися прямыми).

3. a – искомая плоскость: a÷ça¢ Ì a, Þ по признаку параллельности прямой и плоскости, a÷ça; b Ì a по построению.

!: 4. Допустим, что через прямую b можно провести еще одну плоскость p, параллельную a. Тогда т. к. B Î b Ì p, B Î a¢, Þ прямая a¢ имеет с плоскостью p как минимум одну общую точку B. Следовательно, прямая a¢ либо лежит в плоскости p, либо пересекает ее в точке B.

5. Если a¢ Ç p = ! B, то поскольку a¢÷ça, прямая a также пересекает плоскость p по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми. Это противоречит тому, что a÷çp, Þ a¢ Ì p.

6. Т. к. a¢ Ì p, то плоскость p проходит через пересекающиеся прямые a¢ и b, а значит, совпадает с плоскостью a по теореме о задании плоскости двумя пересекающимися прямыми. Следовательно, a – единственная.

7. Аналогично можно доказать, что $ ! b÷çb: a Ì b. #

8. Угол между прямыми

Напомним, что углом между пересекающимися прямыми называется наименьший из четырех углов, образованных при их пересечении, а угол между параллельными прямыми считается равным нулю. Дадим определение угла между скрещивающимися прямыми.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным прямым и проведенными через произвольную точку O пространства (на рисунке 37 Ð(a, b) = Ð(a¢, b¢)). Можно доказать, что величина угла между прямыми не зависит от выбора точки O, через которую проводятся параллельные им прямые. В частности, можно провести прямую через произвольную точку одной прямой параллельно второй прямой (на рисунке 37 через точку C прямой b проведена прямая a²÷ça, и Ð(a, b) = Ð(a², b)).

Из определения угла между прямыми следует, что он может лежать в пределах [0; 90°]. Две прямые в пространстве (не обязательно пересекающиеся), угол между которыми равен 90°, называются перпендикулярными. Позже понятие перпендикулярных прямых будет рассмотрено подробнее.

9. Параллельность плоскостей

Напомним, что две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Замечание: Из определения параллельных плоскостей следует, что всякая прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, параллельна второй плоскости.

Докажем признак параллельности двух плоскостей: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказать: a÷çb.

1. a÷ça¢ Ì b, Þ прямая a либо принадлежит плоскости b, либо параллельна ей по признаку параллельности прямой и плоскости. Аналогично прямая b либо принадлежит плоскости b, либо параллельна ей.

2. Если a Ì b (рисунок 38а), то a = a Ç b, Þ M Î a Ì b, Þ прямая b имеет с плоскостью b общую точку M. Но из п. 1 прямая b либо лежит в плоскости b, либо параллельна ей, а поскольку она имеет с плоскостью b общую точку M, Þ b Ì b. Но тогда b = a Ç b = a, т. е. прямые a и b совпадают, что противоречит условию. Значит, a Ë b, т. е. a÷çb. Аналогично b÷çb.

3. Допустим, что плоскости a и b непараллельны; тогда по аксиоме А3 a Ç b = m (рисунок 38б). , Þ согласно утверждению 1 о параллельности прямой и плоскости, a÷çm (эти прямые лежат в одной плоскости a и не могут пересекаться, т. к. прямая a не имеет общих точек с плоскостью b). Аналогично b÷çm. Получилось, что через точку M проходят сразу 2 прямые, параллельные m, что противоречит теореме о существовании и единственности прямой, параллельной данной. Следовательно, предположение неверно, т. е. a÷çb. #

Параллельные плоскости обладают следующими свойствами:

1. (Теорема о линиях пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью): Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то их линии пересечения параллельны (рисунок 39).

Доказать: a÷çb.

Прямые a и b лежат в одной плоскости p, Þ они либо параллельны, либо пересекаются. Если они пересекаются, то у плоскостей a и b есть общая точка, что противоречит условию. Значит, a÷çb. #

2. (Теорема о пересечении параллельных плоскостей прямой): Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и вторую плоскость.

Доказать: l Ç b = ! B.

1. Выберем в плоскости b произвольную точку C Ï l и проведем плоскость p = (l; C) (рисунок 40).

2. Плоскости p и a имеют общую точку A, Þ по аксиоме А3, p Ç a = a: A Î a.

3. Плоскости p и b имеют общую точку C, Þ по аксиоме А3 p Ç b = b: C Î b.

4. По свойству 1 параллельных плоскостей, a÷çb. В плоскости p l Ç a = A, a÷çb; Þ l Ç b = B.

5. B Î b Ì b, B Î l, Þ B – общая точка прямой l и плоскости b, Þ прямая l либо лежит в плоскости b, либо пересекает ее в точке B. Если бы l Ì b, то у плоскостей a и b была бы общая точка A, что противоречит условию. Значит, l Ç b = ! B. #

3. (Теорема о пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью): Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и вторую плоскость.

Доказать: p Ç b = b.

1. Проведем в плоскости p произвольную прямую l, пересекающую a: l Ç a = A (рисунок 41). Тогда A Î a Ì a, A Î l, Þ l Ç a = A.

2. По предыдущему свойству l Ç b = B; Þ B Î l Ì p, B Î b, Þ у плоскостей p и b есть общая точка B. Значит, по аксиоме А3, p Ç b = b. #

4. (Теорема об отрезках параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями): Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Доказать: A1A2 = B1B2.

1. Проведем через параллельные прямые a и b плоскость p (рисунок 42). Согласно аксиоме А3, p Ç a = A1B1, p Ç b = A2B2.

2. По свойству 1 параллельных плоскостей, A1B1÷çA2B2; по условию A1A2÷çB1B2; Þ A1A2B2B1 – параллелограмм; Þ по свойству параллелограмма, A1A2 = B1B2. #

Докажем теорему о существовании и единственности плоскости, параллельной данной: Через точку, не принадлежащую данной плоскости, можно провести единственную плоскость, параллельную данной.

Доказать:

$: 1. Выберем в плоскости a произвольную точку A и проведем через нее прямые a Ì a и b Ì a (рисунок 43).

2. Проведем через точку M прямые a1÷ça и b1÷çb (это можно сделать по теореме о существовании и единственности прямой, параллельной данной).

3. Через пересекающиеся прямые a1 и b1 проведем плоскость b. Эта плоскость – искомая: M Î a1 Ì b по построению; b÷ça по признаку параллельности плоскостей.

!: 4. Допустим, что через точку M проходит еще одна плоскость g÷ça. Поскольку плоскости b и g имеют общую точку M, они пересекаются. Но т. к. a÷çg, g Ç b, Þ по теореме о пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью, a Ç b, что противоречит условию. Значит, плоскость b – единственная. #

Следствие (теорема о транзитивности параллельности плоскостей): Две плоскости, параллельные третьей, параллельны между собой.

Доказательство: Пусть b÷ça, g÷ça. Если предположить, что b g, то у плоскостей b и g есть общая точка, а значит, через эту точку проходят сразу 2 плоскости b и g, параллельные a, что противоречит доказанной только что теореме. Следовательно, b÷çg. #

Докажем теорему о существовании и единственности пары параллельных плоскостей, проходящих через две скрещивающиеся прямые: Через всякую пару скрещивающихся прямых можно провести единственную пару параллельных плоскостей.

Доказать:

$: 1. Выберем на прямой a произвольную точку A и проведем через нее прямую b1÷çb (рисунок 44а).

2. Проведем через пересекающиеся прямые a и b1 плоскость a. Тогда по признаку параллельности прямой и плоскости, b÷ça.

3. Выберем на прямой b произвольную точку B и проведем через нее плоскость b÷ça (это можно сделать по теореме о существовании и единственности плоскости, параллельной данной).

4. Допустим, что b Ç b = ! B. Тогда b Ç a по теореме о пересечении параллельных плоскостей прямой, что противоречит п.2. Значит, b Ì b.

5. Плоскости a и b – искомые: a Ì a по построению (п. 2), b Ì b (п. 4), a÷çb по построению (п. 3).

!: 6. Допустим, что через прямые a и b можно провести еще одну пару параллельных плоскостей a¢ и b¢: a Ì a¢, b Ì b¢: a¢÷çb¢ (рисунок 44б).

7. Проведем плоскость p = (b; A). Тогда т. к. b Ì b¢, b Ì p, Þ p Ç b¢ = b.

8. Þ по свойству параллельных плоскостей, p Ç a¢ = b¢÷çb: A Î b¢ (т. к. A Î p, A Î a Ì a¢). Но т. к. через т. A можно провести единственную прямую, параллельную b, то прямые b¢ и b1 совпадают, т. е. p Ç a¢ = b1.

9. Þ плоскость a¢ проходит через пересекающиеся прямые a и b1. Но т. к. через две пересекающиеся прямые можно провести! плоскость, то a¢ º a.

10. Т. к. плоскости a¢ и a совпадают, то через прямую b проходят сразу 2 плоскости b и b¢, параллельные a. Значит, и через точку B проходят 2 плоскости, параллельные a, что противоречит теореме о существовании и единственности плоскости, параллельной данной. Следовательно, предположение неверно, т. е. пара плоскостей a и b – единственная. #

10. Дальнейшие сведения о многогранниках

Содержание

Параллельность в пространстве с примерами решения
Параллельность в пространстве
Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии
Пространственные фигуры
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Параллельность прямой и плоскости
Параллельность плоскостей
Параллельное проектирование
Параллельность прямых
Определение параллельности прямых
Свойства и признаки параллельных прямых
Задача 1
Задача 2
📹 Видео

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность в пространстве с примерами решения

Содержание:

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельность в пространстве

В этом параграфе вы ознакомитесь с основными понятиями стереометрии, аксиомами стереометрии и следствиями из них. Расширите свои представления о многогранниках. Вы узнаете о взаимном расположении двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве. Ознакомитесь с правилами, по которым изображают пространственные фигуры на плоскости.

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии

Изучая математику, вы со многими понятиями ознакомились с помощью определений. Так, из курса планиметрии вам хорошо знакомы определения четырехугольника, трапеции, окружности и др.

Определение любого понятия основано на других понятиях, содержание которых вам уже известно. Например, рассмотрим определение трапеции: «Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны». Видим, что определение трапеции основано на таких уже введенных понятиях, как четырехугольник, сторона четырехугольника, параллельные и непараллельные стороны и др. Итак, определения вводятся по принципу «новое основано на старом». Тогда ясно, что должны существовать первоначальные понятия, которым определений не дают. Их называют основными понятиями (рис. 27.1).

В изученном вами курсе планиметрии определения не давали таким фигурам, как точка и прямая. В стереометрии, кроме них, к основным понятиям отнесем еще одну фигуру — плоскость.

Наглядное представление о плоскости дают поверхность водоема в безветренную погоду, поверхность зеркала, поверхность полированного стола, мысленно продолженные во всех направлениях.

Используя понятие плоскости, можно считать, что в планиметрии мы рассматривали только одну плоскость, и все изучаемые фигуры принадлежали этой плоскости. В стереометрии же рассматривают бесконечно много плоскостей, расположенных в пространстве.

Как правило, плоскости обозначают строчными греческими буквами

Плоскость, так же как и прямая, состоит из точек, то есть плоскость — это множество точек.

Существует несколько случаев взаимного расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве. Приведем примеры.

На рисунке 27.4 изображена точка А, принадлежащая плоскости . Также говорят, что точка А лежит в плоскости или плоскость проходит через точку А. Кратко это можно записать так: .

На рисунке 27.5 изображена точка В, не принадлежащая плоскости . Кратко это можно записать так: .

На рисунке 27.6 изображена прямая , принадлежащая плоскости . Также говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую . Кратко это можно записать так:

Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что прямая пересекает плоскость. На рисунке 27.7 изображена прямая , пересекающая плоскость в точке А. Записывают:

В дальнейшем, говоря «две точки», «три точки», «две плоскости» и т.п., будем иметь в виду, что это разные точки, разные прямые и разные плоскости. Если две плоскости имеют общую точку, то говорят, что эти плоскости пересекаются.

На рисунке 27.8 изображены плоскости , пересекающиеся по прямой . Записывают:

На начальном этапе изучения стереометрии невозможно доказывать теоремы, опираясь на другие утверждения, поскольку этих утверждений еще нет. Поэтому первые свойства, касающиеся точек, прямых и плоскостей в пространстве, принимают без доказательства и называют аксиомами. Отметим, что ряд аксиом стереометрии по формулировкам дословно совпадают со знакомыми вам аксиомами планиметрии.

какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей;
через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Мы не будем знакомиться со строгим аксиоматическим построением стереометрии. Рассмотрим лишь некоторые утверждения, выражающие основные свойства плоскостей пространства, основываясь на которых обычно строят курс стереометрии в школе.

Аксиома А1. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.

Если в любой плоскости пространства выполняются аксиомы планиметрии, то выполняются и следствия из этих аксиом, то есть теоремы планиметрии. Следовательно, в стереометрии можно пользоваться всеми известными нам свойствами плоских фигур.

Аксиома А2. Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Рисунки 27.9-27.11 иллюстрируют эту аксиому.

Из этой аксиомы следует, что три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость, про ходящую через эти точки. Поэтому для обозначения плоскости можно указать любые три ее точки, не лежащие на одной прямой.

Например, на рисунке 27.12 изображена плоскость АВС. Запись означает, что точка М принадлежит плоскости АВС. Запись означает, что прямая MN принадлежит плоскости АВС (рис. 27.12).

Аксиома АЗ. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

Например, на рисунке 27.13 точки А, В и С принадлежат плоскости АВС. Тогда можно записать: Из этой аксиомы следует, что если прямая не принадлежит плоскости, то она имеет с данной плоскостью не более одной общей точки.

Утверждение, сформулированное в аксиоме АЗ, часто используют на практике, когда хотят проверить, является ли данная поверхность ровной (плоской). Для этого к поверхности в разных местах прикладывают ровную рейку и проверяют, есть ли зазор между рейкой и поверхностью (рис. 27.14).

Аксиома А4. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Эту аксиому можно проиллюстрировать с помощью согнутого листа бумаги или с помощью вашего учебника (рис. 27.15).

Пример:

Докажите, что если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Решение:

Пусть точка А является общей для двух плоскостей , то есть (рис. 27.16). По аксиоме А4 плоскости пересекаются по прямой. Пусть Тогда все общие точки плоскостей принадлежат прямой . Точка А является общей для плоскостей . Следовательно, Кроме аксиом, есть и другие свойства, описывающие взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве. Опираясь на аксиомы, можно доказать, например, следующие утверждения (следствия из аксиом стереометрии).

Теорема 27.1. Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость, и притом только одна (рис. 27.17).

Теорема 27.2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна (рис. 27.18).

Из аксиомы А2 и теорем 27.1 и 27.2 следует, что плоскость однозначно определяется:

тремя точками, не лежащими на одной прямой;
прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой;
двумя пересекающимися прямыми.

Таким образом, мы указали три способа задания плоскости.

Пространственные фигуры

Начальные сведения о многогранниках. В стереометрии, кроме точек, прямых и плоскостей, рассматривают пространственные фигуры, то есть фигуры, не все точки которых лежат в одной плоскости. Некоторые из пространственных фигур вам уже знакомы. Так, на рисунке 28.1 изображены цилиндр, конус и шар. Подробно эти фигуры вы будете изучать в 11 классе.

На рисунке 28.2 изображена еще одна знакомая вам пространственная фигура — пирамида. Эта фигура является частным видом многогранника. Примеры многогранников показаны на рисунке 28.3.

Поверхность многогранника состоит из многоугольников. Их называют гранями многогранника. Стороны многоугольников называют ребрами многогранника, а вершины — вершинами многогранника (рис. 28.4).

На рисунке 28.5 изображена пятиугольная пирамида FABCDE.

Поверхность этого многогранника состоит из пяти треугольников, которые называют боковыми гранями пирамиды, и одного пятиугольника, который называют основанием пирамиды. Вершину F, общую для всех боковых граней, называют вершиной пирамиды.

Ребра FA, FB, FC, FD и FE называют боковыми ребрами пирамиды, а ребра А В, ВС, CD, DE и ЕА — ребрами основания пирамиды.

На рисунке 28.6 изображена треугольная пирамида DABC. Треугольную пирамиду называют также тетраэдром.

Еще одним частным видом многогранника является призма. На рисунке 28.7 изображена треугольная призма . Этот многогранник имеет пять граней, две из которых — равные треугольники АВС и Их называют основаниями призмы.

Остальные грани призмы — параллелограммы. Их называют боковыми гранями призмы. Ребра называют боковыми ребрами призмы.

На рисунке 28.8 изображена четырехугольная призма . Ее поверхность состоит из двух равных четырехугольников ABCD и (основания призмы) и четырех параллелограммов (боковые грани призмы).

Вы знакомы также с частным видом четырехугольной призмы — прямоугольным параллелепипедом. На рисунке 28.9 изображен прямоугольный параллелепипед . Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

В свою очередь, частным видом прямоугольного параллелепипеда является куб. Все грани куба — равные квадраты (рис. 28.10).

Четырехугольную призму, основанием которой является параллелограмм, называют параллелепипедом.

В курсе геометрии 11 класса вы более подробно ознакомитесь с многогранниками и их частными видами.

Пример:

На ребрах и куба отметили соответственно точки М и N так, что (рис. 28.11). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью АВС.

Решение:

Точки М и N принадлежат плоскости . Тогда по аксиоме АЗ прямая MN принадлежит этой плоскости. Аналогично прямая AD также принадлежит плоскости . Из планиметрии известно, что прямые, лежащие в одной плоскости, или параллельны, или пересекаются. Поскольку , то прямые AD и MN пересекаются. Пусть X — точка их пересечения (рис. 28.12). Точки А и D принадлежат плоскости АВС. Тогда по аксиоме АЗ прямая AD принадлежит этой же плоскости. Точка X принадлежит прямой AD. Следовательно, точка X принадлежит плоскости АВС. Поскольку точка X также принадлежит прямой MN, то прямая MN пересекает плоскость АВС в точке X.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Из курса планиметрии вы знаете, что две прямые называют пересекающимися, если они имеют только одну общую точку. Такое же определение пересекающихся прямых дают и в стереометрии. Вам также известно, что две прямые называют параллельными, если они не пересекаются. Можно ли это определение перенести в стереометрию?

Обратимся к рисунку 29.1, на котором изображен куб . Каждая из прямых АВ и не имеет с прямой DC общих точек. При этом прямые АВ и DC лежат в одной плоскости — в плоскости АВС, а прямые и DC не лежат в одной плоскости, то есть не существует плоскости, которая проходила бы через эти прямые. Этот пример показывает, что в стереометрии для двух прямых, не имеющих общих точек, возможны два случая взаимного расположения: прямые лежат в одной плоскости и прямые не лежат в одной плоскости. Для каждого из этих случаев дадим соответствующее определение.

Определение. Две прямые в пространстве называют параллельным и, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые параллельны, то записывают:

Определение. Две прямые в пространстве называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Например, на рисунке 29.1 прямые АВ и DC — параллельные, а прямые и DC — скрещивающиеся.

Наглядное представление о параллельных прямых дают колонны здания, корабельный лес, бревна сруба (рис. 29.2).

Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают провода линий электропередачи, различные элементы строительных конструкций (рис. 29.3). Итак, существуют три возможных случая взаимного расположения двух прямых в пространстве (рис. 29.4):

прямые пересекаются;
прямые параллельны;
прямые скрещиваются.

Два отрезка называют параллельными (скрещивающимися), если они лежат на параллельных (скрещивающихся) прямых. Например, ребра и треугольной призмы (рис. 29.5) являются параллельными, а ребра АС и — скрещивающимися.

Теорема 29.1. Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство. Пусть даны параллельные прямые Докажем, что существует единственная плоскость такая, что

Существование плоскости , проходящей через прямые , следует из определения параллельных прямых.

Если предположить, что существует еще одна плоскость, проходящая через прямые , то через прямую а и некоторую точку прямой будут проходить две различные плоскости, что противоречит теореме 27.1.

Существует три способа задания плоскости. Теорему 29.1 можно рассматривать как еще один способ задания плоскости — с помощью двух параллельных прямых.

Установить параллельность двух прямых, лежащих в одной плоскости, можно с помощью известных вам из курса планиметрии признаков параллельности двух прямых. А как установить, являются ли две прямые скрещивающимися? Ответить на этот вопрос позволяет следующая теорема.

Теорема 29.2 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые — скрещивающиеся (рис. 29.6).

На рисунке 29.7 ребра АВ и DC тетраэдра DABC являются скрещивающимися. Действительно, прямая DC пересекает плоскость АВС в точке С, не принадлежащей прямой АВ. Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых прямые АВ и DC являются скрещивающимися.

Параллельность прямой и плоскости

Вам уже известны два возможных случая взаимного расположения прямой и плоскости:

прямая принадлежит плоскости, то есть все точки прямой принадлежат плоскости;
прямая пересекает плоскость, то есть прямая имеет с плоскостью только одну общую точку.

Понятно, что возможен и третий случай, когда прямая и плоскость не имеют общих точек. Например, прямая, содержащая ребро куба , не имеет общих точек с плоскостью АВС (рис. 30.1).

Определение. Прямую и плоскость называют параллельными, если они не имеют общих точек.

Если прямая и плоскость параллельны, то записывают: Также принято говорить, что прямая параллельна плоскости , а плоскость параллельна прямой .

Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости, дают некоторые спортивные снаряды. Например, брусья параллельны плоскости пола (рис. 30.2). Другой пример — водосточная труба: она параллельна плоскости стены (рис. 30.3).

Выяснять, параллельны ли данные прямая и плоскость, с помощью определения затруднительно. Гораздо эффективнее пользоваться следующей теоремой.

Теорема 30.1 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не принадлежащая данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости.

Например, на рисунке 30.1 прямые и содержат противолежащие стороны квадрата . Эти прямые параллельны.

Поскольку , то по признаку параллельности прямой и плоскости

Отрезок называют параллельным плоскости, если он принадлежит прямой, параллельной этой плоскости. Например, ребро АВ куба параллельно плоскости (рис. 30.1).

Вы умеете устанавливать параллельность двух прямых с помощью теорем-признаков, известных из планиметрии. Рассмотрим теоремы, описывающие достаточные условия параллельности двух прямых в пространстве.

Теорема 30.2. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

На рисунке 30.4 прямая параллельна плоскости . Плоскость проходит через прямую и пересекает плоскость по прямой . Тогда

Теорема 30.3. Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются по прямой, отличной от двух данных, то эта прямая параллельна каждой из двух данных прямых.

На рисунке 30.5 прямые параллельны, плоскость проходит через прямую , а плоскость — через прямую Тогда

Теорема 30.4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Пример:

Докажите, что если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна прямой их пересечения.

Решение:

Пусть даны прямая и плоскости такие, что (рис. 30.6). Докажем, что В плоскостях найдутся соответственно такие прямые , что Если хотя бы одна из прямых совпадает с прямой , то утверждение задачи доказано. Если же каждая из прямых отлична от прямой , то по теореме 30.4 Воспользовавшись теоремой 30.3, приходим к выводу, что . Но , следовательно,

Параллельность плоскостей

Рассмотрим варианты возможного взаимного расположения двух плоскостей. Вы знаете, что две плоскости могут иметь общие точки, то есть пересекаться. Понятно, что две плоскости могут и не иметь общих точек. Например, плоскости АВС и , содержащие основания призмы, не имеют общих точек (рис. 31.1).

Определение. Две плоскости называют параллельны ми, если они не имеют общих точек.

Если плоскости параллельны, то записывают: Также принято говорить, что плоскость параллельна плоскости или плоскость параллельна плоскости

Наглядное представление о параллельных плоскостях дают потолок и пол комнаты; поверхность воды, налитой в аквариум, и его дно (рис. 31.2).

Из определения параллельных плоскостей следует, что любая прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости.

В тех случаях, когда надо выяснить, являются ли две плоскости параллельными, удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 31.1 (признак параллельности двух плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Например, на рисунке 31.3 изображен прямоугольный параллелепипед . Имеем: и . Тогда по признаку параллельности двух плоскостей .

Будем говорить, что два многоугольника параллельны, если они лежат в параллельных плоскостях. Например, грани и прямоугольного параллелепипеда параллельны (рис. 31.3). Рассмотрим некоторые свойства параллельных плоскостей.

Теорема 31.2. Через точку в пространстве, не принадлежащую данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна (рис. 31.4).

Теорема 31.3. Прямые пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны (рис. 31.5).

Пример:

Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Решение:

Пусть даны параллельные плоскости и параллельные прямые АВ и такие, что (рис. 31.6). Докажем, что . Параллельные прямые АВ и задают некоторую плоскость причем

По теореме 31.3 получаем: . Следовательно, четырехугольник — параллелограмм. Отсюда .

Параллельное проектирование

Многие явления и процессы, наблюдаемые нами в повседневной жизни, служат примерами преобразований, при которых образом пространственной фигуры является плоская фигура. Увидеть одно из таких явлений можно в солнечную погоду, когда предмет отбрасывает тень на плоскую поверхность (рис. 32.1). Этот пример иллюстрирует преобразование фигуры, которое называют параллельным проектированием. С помощью этого преобразования на плоскости создают изображения пространственных фигур.

Многие рисунки настоящего учебника, на которых изображены пространственные фигуры, можно рассматривать как тени, отбрасываемые на плоскость страницы предметами, освещенными параллельными лучами. Ознакомимся подробнее с параллельным проектированием.

Пусть даны плоскость прямая пересекающая эту плоскость, и фигура F (рис. 32.2). Через каждую точку фигуры F проведем прямую, параллельную прямой (если точка фигуры F принадлежит прямой то будем рассматривать саму прямую ). Точки пересечения всех проведенных прямых с плоскостью образуют некоторую фигуру . Описанное преобразование фигуры F называют параллельным проектированием. Фигуру называют параллельной проекцией фигуры F на плоскость в направлении прямой Также фигуру называют изображением фигуры на плоскости в направлении прямой

Выбирая выгодные положения плоскости и прямой можно получить наглядное изображение данной фигуры F. Это связано с тем, что параллельное проектирование обладает рядом замечательных свойств (см. теоремы 32.1-32.3). Благодаря этим свойствам изображение фигуры похоже на саму фигуру.

Пусть даны плоскость и прямая пересекающая эту плоскость. Если прямая параллельна прямой то ее проекцией на плоскость является точка (рис. 32.3). Проекцией прямой также является точка. Если отрезок параллелен прямой или лежит на прямой , то его проекцией на плоскость является точка (рис. 32.3).

В следующих теоремах будем рассматривать прямые и отрезки, не параллельные прямой и не лежащие на ней.

Теорема 32.1. Параллельной проекцией прямой является прямая; параллельной проекцией отрезка является отрезок (рис. 32.4).

Теорема 32.2. Параллельной проекцией двух параллельных прямых являются или прямая (рис. 32.5), или две параллельные прямые (рис. 32.6). Параллельные проекции двух параллельных отрезков лежат на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 32.6).

Теорема 32.3. Отношение параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению самих отрезков (рис. 32.7).

Рассмотрим изображения некоторых многоугольников на плоскости в направлении прямой

Если прямая параллельна плоскости многоугольника или принадлежит этой плоскости, то изображением многоугольника является отрезок. Теперь рассмотрим случай, когда прямая пересекает плоскость многоугольника.

Из свойств параллельного проектирования следует, что параллельной проекцией треугольника является треугольник (рис. 32.8).

Поскольку при параллельном проектировании сохраняется параллельность отрезков, то изображением параллелограмма (в частности, прямоугольника, ромба, квадрата) является параллелограмм (рис. 32.9).

Также из свойств параллельного проектирования следует, что изображением трапеции является трапеция.

Параллельной проекцией окружности является фигура, которую называют эллипсом (рис. 32.10).

Изображения объектов с помощью параллельного проектирования широко используют в самых разных областях промышленности, например в автомобилестроении (рис. 32.11).

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 4

Основные аксиомы стереометрии

А1. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
А2. Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
АЗ. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
А4. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Плоскость однозначно определяется:

тремя точками, не лежащими на одной прямой;
прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой;
двумя пересекающимися прямыми;
двумя параллельными прямыми.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Две прямые называют пересекающимися, если они имеют только одну общую точку.
Две прямые в пространстве называют параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Две прямые в пространстве называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Свойство параллельных прямых

Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые — скрещивающиеся.

Параллельность в пространстве

Прямую и плоскость называют параллельными, если они не имеют общих точек. Две плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не принадлежащая данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости.

Условия параллельности двух прямых в пространстве

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются по прямой, от личной от двух данных, то эта прямая параллельна каждой из двух данных прямых.
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Признак параллельности двух плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей

Через точку в пространстве, не принадлежащую данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна.

Прямые пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Математика
Алгебра
Линейная алгебра
Векторная алгебра
Высшая математика
Дискретная математика
Математический анализ
Математическая логика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Перпендикулярность в пространстве
Векторы и координаты в пространстве
Множества
Рациональные уравнения
Числовые последовательности
Предел числовой последовательности
Предел и непрерывность числовой функции одной переменной
Функции, их свойства и графики

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Определение параллельности прямых

Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.

Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.

Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.

Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.

На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Видео:10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

Свойства и признаки параллельных прямых

Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.

Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.

Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:

∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.

два внутренних накрест лежащих угла равны между собой:

два соответственных угла равны между собой:

∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.

Если секущая образует перпендикуляр с одной из параллельных прямых, то она будет перпендикулярна и другой.

Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.

А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.

Задача 1

Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.

Решение

Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.

Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.

Задача 2

Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.

Решение

Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.

Соответственно, ∠MKD = 180° — ∠KDN = 180° — 150° = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.

Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.