Напряженность электрического поля прямых параллельных нитей (7 видео)

Поле бесконечно заряженной нити

Рассмотрим бесконечную нить, несущую заряд, равномерно распределённый по её длине. Заряд, сосредоточенный на бесконечно нити, конечно, тоже бесконечен, и поэтому он не может служить количественной характеристикой степени заряженности нити. В качестве такой характеристики принимается «линейная плотность заряда». Эта величина равна заряду, распределённому на отрезке нити единичной длины:

Выясним, какова напряженность поля, создаваемого заряженной нитью на расстоянии а от неё (рис. 1.12).

Для вычисления напряжённости вновь воспользуемся принципом суперпозиции электрических полей и законом Кулона. Выберем на нити элементарный участок dl.На этом участке сосредоточен заряд dq = tdl, который можно считать точечным. В точке А такой заряд создаёт поле (см. 1.3)

Исходя из симметрии задачи, можно заключить, что искомый вектор напряжённости поля будет направлен по линии, перпендикулярной нити, то есть вдоль оси х. Поэтому сложение векторов напряжённости, можно заменить сложением их проекцией на это направление.

(1.7)

Рис. (1.12 b) позволяет сделать следующие заключения:

(1.8)

. (1.9)

Используя (1.8) и (1.9) в уравнении (1.7), получим

(1.10)

Теперь для решения задачи осталось проинтегрировать (1.10) по всей длине нити. Это означает, что угол a будет меняться от до .

(1.11)

В этой задаче поле обладает цилиндрической симметрией. Напряжённость поля прямо пропорциональна линейной плотности заряда на нити t и обратно пропорциональна расстоянию а от нити до той точки, где измеряется напряжённость.

Лекция 2 «Теорема Гаусса для электрического поля»

Поток вектора напряженности электрического поля.

Теорема Гаусса для электрического поля.

Применение теоремы Гаусса для расчёта электрических полей.

Поле бесконечной заряженной нити.

Поле бесконечной заряженной плоскости. Поле плоского конденсатора.

Поле сферического конденсатора.

Первую лекцию мы закончили расчётом напряжённости полей электрического диполя и бесконечно заряженной нити. В обоих случаях использовался принцип суперпозиции электрических полей. Теперь обратимся ещё к одному методу вычисления напряжённости, основанному на теореме Гаусса для электрического поля. В этой теореме речь идёт о потоке вектора напряжённости через произвольную замкнутую поверхность. Поэтому прежде чем преступить к формулировке и доказательству теоремы, обсудим понятие «поток вектора».

Поток вектора напряжённости электрического поля

Выделим в однородном электрическом поле плоскую поверхность (рис. 2.1.). Эта поверхность — вектор, численно равный площади поверхности DS и направленный перпендикулярно поверхности

(2.1)

Но единичный нормальный вектор может быть направлен как в одну, так и в другую сторону от поверхности (рис. 2.2.). Произвольно выберем положительное направление нормали так, как это показано на рис. 2.1. По определению потоком вектора напряжённости электрического поля через выделенную поверхность называется скалярное произведение этих двух векторов:

(2.2)

Если поле в общем случае неоднородно, а поверхность S, через которую следует вычислить поток, не плоская, то эту поверхность делят на элементарные участки , в пределах которых напряжённость можно считать неизменённой, а сами участки — плоскими (рис. 2.3.) Поток вектора напряжённости через такой элементарный участок вычисляется по определению потока

(2.3)

Здесь E_n = E ∙ cosa — проекция вектора напряжённости на направление нормали . Полный поток через всю поверхность S найдём, проинтегрировав (2.3) по всей поверхности

(2.4)

Теперь представим себе замкнутую поверхность в электрическом поле. Для отыскания потока вектора напряжённости через подобную поверхность проделаем следующие операции (рис. 2.4.):

Разделим поверхность на участки . Важно отметить при этом, что в случае замкнутой поверхности положительной считается только «внешняя» нормаль .

Вычислим поток на каждом элементарном участке :

Обратите внимание на то, что вектор «вытекающий» из замкнутой поверхности создаёт положительный поток, а «втекающий» — отрицательный.

Для вычисления полного потока вектора напряжённости через всю замкнутую поверхность, все эти потоки нужно алгебраически сложить, то есть уравнение (2.3) проинтегрировать по замкнутой поверхности S

(2.5)

Кружок на знаке интеграл означает, что интегрирование производится по замкнутой поверхности.

Напомним, что при графическом изображении полей, густота силовых линий в произвольной точке поля числено равна значению напряжённости поля в этой точке. Это означает, что

Тогда число силовых линий, пронизывающих поверхность dS, можно записать так

Но ведь это определение потока вектора напряжённости через поверхность dS.

Таким образом, поток вектора напряжённости через поверхность dS численно равен числу силовых линий, пронизывающих эту поверхность (!).

Этот вывод справедлив и для потока электрического поля через замкнутую поверхность: этот поток будет равен алгебраической сумме силовых линий втекающих (–) и вытекающих (+) из замкнутой поверхности.

Теперь обратимся к теореме Гаусса.

Дата добавления: 2015-08-08 ; просмотров: 8885 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Содержание

Напряженность поля заряженной нити
Электростатика: элементы учебной физики
Лекция 5. Напряжённость электрического поля
🔥 Видео

Видео:Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Силовые линии электрического поля. 10 класс.Скачать

Напряженность поля заряженной нити

Модуль напряженности поля, создаваемого бесконечно длинной прямой однородно заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянии r от ее оси

где t — линейная плотность заряда (см. п. 3).

Если заряженная нить имеет конечную длину, то напряженность поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восстановленном из середины нити, на расстоянии r от нее

где q — угол между направлением нормали к нити и радиус-вектором, проведенным из рассматриваемой точки к концу нити.

Поверхностная плотность заряда

Заряд, распределенный на поверхности S, характеризуется поверхностной плотностью s

где Q – заряд, однородно распределенный на площадке S.

Напряженность заряженной плоскости

Напряженность поля, создаваемая бесконечной равномерно заряженной плоскостью,

Напряженность поля плоского конденсатора

Напряженность поля, создаваемая внутри заряженного плоского конденсатора для случая, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Электрическая постоянная e₀=8,85×10 -12 Ф/м.

Элементарный заряд q=1,6×10 -19 Кл.

Масса электрона m=9,1×10 -31 кг.

Постоянная м/Ф.

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Какие фундаментальные свойства присущи электрическому заряду? Сформулируйте закон сохранения заряда.

2. В каких единицах измеряется электрический заряд? Чему равен элементарный заряд?

3. Какому закону подчиняется сила взаимодействия точечных зарядов? Какие утверждения содержит закон Кулона?

4. Получите численное значение и единицу электрической постоянной e₀.

5. Как рассчитывается сила взаимодействия точечного заряда и зарядов, распределенных на телах конечных размеров?

6. Можно ли воспользоваться законом Кулона при расчете силы взаимодействия двух заряженных тел сферической формы?

7. Что является источником электрического поля? Как обнаруживается и исследуется электрическое поле?

8. Дайте определение напряженности электрического поля. В каких единицах измеряется напряженность?

9. Напишите формулу для напряженности E точечного заряда q. Изобразите график зависимости E(r), где r – расстояние от точечного заряда до точки поля, в которой определяется напряженность.

10. Каково содержание принципа суперпозиции электрических полей?

11. Как рассчитать напряженность поля заданного распределения точечных электрических зарядов?

12. Как вычисляется поток вектора напряженности электрического поля через любую поверхность?

13. Сформулируйте и запишите теорему Гаусса в интегральной форме.

14. Получите выражение для напряженности Е однородно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда s.

15. Получите выражение для напряженности E однородно заряженной сферы, цилиндра.

16. Напишите теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ А

1.(9.13) Два точечных заряда q₁=7,5 нКл и q₂=–14,7 нКл расположены на расстоянии r=5 см друг от друга. Найти напряженность E электрического поля в точке, находящейся на расстоянии a=3 см от положительного заряда и b=4 см от отрицательного заряда.

Ответ: E=112 кВ/м.

2.(9.15) Два металлических шарика одинакового радиуса и массы подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. Какой заряд Q нужно сообщить шарикам, чтобы сила натяжения нитей стала равной T=98 мН? Расстояние от центра шарика до точки подвеса равно l=10 см, масса каждого шарика m=5 г.

Ответ: Q=1,1 мкКл.

3.(9.19) К вертикально расположенной бесконечной однородно заряженной плоскости прикреплена нить, на другом конце которой расположен одноименно заряженный шарик массой m=40 мг и зарядом q=31,8 нКл. Сила натяжения нити, на которой висит шарик, T=0,5 мН. Найти поверхностную плотность заряда s на плоскости. Диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится заряд e=6. Ускорение свободного падения g=10 м/с 2 .

Ответ: s=1×10 -6 Кл/м 2 .

4.(9.20) Найти силу F, действующую на заряд q=0,66 нКл, если заряд помещен: а) на расстоянии r₁=2 см от длинной однородно заряженной нити с линейной плотностью заряда t=0,2 мкКл/м; б) в поле однородно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда s=20 мкКл/м 2 ; в) на расстоянии r₂=2 см от поверхности однородно заряженного шара радиусом R=2 см и поверхностной плотностью заряда s=20 мкКл/м 2 . Диэлектрическая проницаемость среды e=6.

Ответ: а) F₁=20мкН; б) F₂=126мкН; в) F₃=62,8 мкН.

5.(9.23) С какой силой F_l электрическое поле бесконечной однородно заряженной плоскости действует на единицу длины однородно заряженной бесконечно длинной нити, помещенной в это поле? Линейная плотность заряда на нити t=3 мкКл/м и поверхностная плотность заряда на плоскости s=20 мкКл/м 2 .

6.(9.26) С какой силой F_s на единицу площади отталкиваются две одноименные однородно заряженные бесконечно протяженные плоскости. Поверхностная плотность заряда на плоскостях s=0,3 мкКл/м 2 .

7.(9.29) Показать, что электрическое поле, образованное однородно заряженной нитью конечной длины, в предельных случаях переходит в электрическое поле: а) бесконечно длинной заряженной нити; б) точечного заряда.

8.(9.30) Длина однородно заряженной нити l=25 см. При каком предельном расстоянии a от нити по нормали к ее середине возбуждаемое ею электрическое поле можно рассматривать как поле бесконечно длинной заряженной нити? Ошибка d при таком допущении не должна превышать 0,05. Указание: допускаемая ошибка d равна (E₂–E₁)/E₂, где E₂ – напряженность электрического поля бесконечно длинной нити, E₁ – напряженность поля нити конечной длины.

Ответ: a=4,18 см.

9.(9.33) Напряженность электрического поля на оси однородно заряженного кольца имеет максимальное значение на некотором расстоянии от центра кольца. Во сколько раз напряженность электрического поля в точке, расположенной на половине этого расстояния, будет меньше максимального значения напряженности?

Ответ: в 1,3 раза.

10. По четверти кольца радиусом r=6,1 см однородно распределен положительный заряд с линейной плотностью t=64 нКл/м. Найти силу F, действующую на заряд q=12 нКл, расположенный в центре кольца.

Ответ: F=160 мкН.

11. Получите соотношения п.12 раздела “Основные формулы для решения задач”.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ Б

1.(3.2) Два одинаковых заряженных алюминиевых шарика, подвешенных в воздухе на нитях одинаковой длины, закрепленных в одной точке, опускают в жидкий диэлектрик. При этом оказалось, что угол расхождения нитей не изменился. Какова плотность r жидкого диэлектрика, если его относительная диэлектрическая проницаемость e=2? Плотность алюминия r_a=2700 кг/м 3 .

Ответ: r=1350 кг/м 3 .

2.(3.6) В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды по q=300 пКл каждый. Какой отрицательный заряд Q нужно поместить в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания зарядов была уравновешена силой притяжения к отрицательному заряду?

Ответ: Q=–0,287 нКл.

3.(3.7) В вершинах правильного шестиугольника со стороной b=10 см находятся одинаковые заряды по q=1 нКл каждый. Чему равна сила F, действующая на каждый заряд со стороны пяти остальных?

Ответ: F=1,64×10 -6 Н.

4.(3.8) Два положительных точечных заряда q₁=1 нКл и q₂=2 нКл находятся на расстоянии r=5 см друг от друга. Какой величины и в каком месте нужно расположить отрицательный заряд Q, чтобы вся система находилась в равновесии?

Какое будет равновесие?

Ответ: Q=–0,34 нКл нужно расположить на расстоянии 2,07 см от заряда q₁ на линии, соединяющей заряды. Равновесие неустойчивое.

5.(3.13) Электрическое поле создается двумя длинными параллельными равномерно и одинаково заряженными нитями, расположенными на расстоянии l=5 см друг от друга. Напряженность электрического поля в точке, равноотстоящей от каждой нити на расстояние b=5 см, равна E=1 мВ/м. Определить линейную плотность заряда t на каждой нити.

Ответ: t=1,6·10 -15 Кл/м.

6. Плоский горизонтально расположенный конденсатор с расстоянием между обкладками d=1 см заполнен касторовым маслом с плотностью r₀=900 кг/м 3 . В масле взвешен заряженный медный шарик радиусом R=1 мм, несущий заряд Q=1 мкКл. Определить напряжение U, подаваемое на обкладки конденсатора, если плотность меди r=8,6×10 3 кг/м 3 , а ускорение свободного падения g=10 м/с 2 .

Ответ: U=3,2 В.

7.(3.17) Электрическое поле создается тонким проволочным однородно заряженным кольцом. Определить радиус R кольца, если точка, в которой напряженность электрического поля максимальна, расположена на оси кольца на расстоянии x=1 см от его центра.

Ответ: R=1,41 см.

8.(3.21) Поверхностная плотность заряда бесконечно протяженной вертикальной плоскости равна s=200 мкКл/м 2 . К плоскости на нити подвешен заряженный шарик массой m=10 г. Определить заряд q шарика, если нить образует с плоскостью угол a=30 0 .

Ответ: q=5 нКл.

9.(3.24) На отрезке тонкого прямого стержня длиной l=10 см однородно распределен заряд с линейной плотностью t=3 мкКл/см. Вычислить напряженность E, создаваемую этим зарядом, в точке, расположенной на оси стержня и удаленной от ближайшего его конца на расстояние a=10 см.

Ответ: E=13,5 МВ/м.

10.(3.28) Отрицательно заряженная пылинка находится в равновесии между двумя пластинами плоского конденсатора, расположенными горизонтально. Расстояние между пластинами d=2 см, разность потенциалов на пластинах U=612 В. Масса пылинки m=10 пг. Сколько электронов несет на себе пылинка? Ускорение свободного падения g=10 м/с 2 .

Ответ: 20.

11.(3.33) Капля массой m=10 -10 г и зарядом q, равным 10 зарядам электрона, поднимается вертикально вверх с ускорением a=2,2 м/с 2 между горизонтально расположенными пластинами плоского конденсатора. Определить поверхностную плотность заряда s на пластинах конденсатора. Силой сопротивления воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения g=10 м/с 2 .

Ответ: s=6,75 мкКл/м 2 .

ЗАДАЧИ ГРУППЫ С

1. Получите соотношения п.14 раздела “Основные формулы для решения задач”.

2. Рассчитайте поле однородно заряженного по объему шара на расстоянии r от его центра, если радиус шара R, а объемная плотность заряда r.

Ответ: r R, .

Напряженность электрического поля прямых параллельных нитей

3. Найти напряженность электрического поля в заштрихованной плоскости, образованной пересечением двух однородно заряженных по объему шаров, с плотностями заряда r и –r. Расстояние между центрами шаров а 2 . Найти напряженность поля Е в центре полусферы.

Ответ: E=s/(4e₀)=1,9 кВ/м.

6. Прямая бесконечная тонкая нить несет заряд с линейной плотностью t₁. Перпендикулярно нити расположен тонкий стержень длиной l (см. рис. 3.2). Ближайший к нити конец стержня находится на расстоянии а от нее. Определить силу F, действующую на стержень со стороны нити, если он заряжен с линейной плотностью t₂.

Ответ: .

7. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, однородно распределен заряд с линейной плотностью t=10 нКл/м. Определить напряженность электрического поля Е, создаваемую распределенным зарядом, в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина нити l=15 см составляет одну треть длины окружности.

Ответ: =2,17 кВ/м.

8. Длинный цилиндр радиусом R однородно заряжен с объемной плотностью заряда r. Найти зависимость напряженности электростатического поля, создаваемой этим цилиндром от расстояния r до его оси.

Ответ: 0 R, .

9. Напряженность электрического поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восстановленном из центра однородно заряженного диска, на расстоянии x от него, имеет вид: , где s – поверхностная плотность заряда диска, R – его радиус. Получите это соотношение. Как изменится ответ задачи, если однородно заряженный диск радиусом R₂ имеет концентрическое отверстие радиусом R₁ (R₂>R₁)?

Ответ: .

10. Горизонтально расположенный диск, радиус которого R=0,5 м, заряжен однородно с поверхностной плотностью s=3,33×10 -4 Кл/м 2 . Маленький шарик массой m=3,14 г, имеющий заряд q=3,27×10 -7 Кл, находится над центром диска в состоянии равновесия. Определить его расстояние от центра диска. Ускорение свободного падения g=10 м/c 2 .

Ответ: =1,5 м.

11. Напряженность электрического поля зависит только от координат по закону где а – постоянная, , , – орты осей х, у и z. Найти величину заряда q, находящегося внутри сферы радиусом R с центром в начале координат.

Ответ: q=4pe₀aR.

12. Пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме, найти напряженность E электрического поля внутри и вне бесконечной пластинки толщиной 2a, однородно заряженной с объемной плотностью заряда r.

Ответ: если –a£x£a;

если

Видео:НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ суперпозиция полейСкачать

Электростатика: элементы учебной физики

Видео:Урок 218. Напряженность электрического поляСкачать

Лекция 5. Напряжённость электрического поля

Понятие электрического поля оказалось плодотворным потому, что удалось ввести количественные характеристики, которые позволяют решать конкретные физические задачи. К ним в первую очередь относятся напряжённость и потенциал электрического поля.

Экспериментальные исследования учащихся должны показать, что напряжённость реально может быть измерена и что эта величина действительно характеризует электрическое поле. Относительно новое для школьников – один и тот же прибор, электростатический динамометр, при соответствующей градуировке может быть использован в качестве измерителя и силы, и напряжённости. Однако это вовсе не значит, что этим прибором можно измерить любую электростатическую величину: ни при какой градуировке электростатического динамометра не удастся получить прибор, измеряющий, скажем, потенциал электрического поля.

Принципиально важно экспериментальное обоснование принципа суперпозиции электрических полей. Такое обоснование можно было бы осуществить уже при введении понятия электрического поля, но предпочтительнее сделать это, когда учащиеся будут ознакомлены с понятием напряжённости.

5.1. Напряжённость электрического поля. Силовой характеристикой электрического поля является вектор напряжённости электрического поля E, равный отношению вектора силы, действующей в данной точке поля на пробный положительный заряд, к величине этого заряда:

( 5.1)

Напряжённость в системе единиц СИ выражается в ньютонах на кулон (Н/Кл).

5.2. Напряжённость электрического поля точечного заряда. Во многих задачах электростатики размерами заряженных тел по сравнению с расстояниями до точек наблюдения можно пренебречь. В таких случаях говорят о точечных зарядах. Понятно, что на самом деле никаких точечных зарядов или заряженных точек в природе не существует, — это просто удобная абстракция.

Закон Кулона, как вы знаете, справедлив именно для точечных зарядов. Непосредственно из закона Кулона следует, что модуль вектора напряжённости электрического поля точечного заряда Q:

(5.2)

где R – расстояние до точки наблюдения, q – пробный положительный заряд.

5.3. Силовые линии электростатического поля. Фарадей, который ввёл понятие электрического поля, внутренним взором видел заряды, окружённые полями. Изображать их он стал линиями, вдоль которых на пробный заряд со стороны поля действуют силы. Силовые линии электростатического поля часто называют линиями напряжённости, т.к. вектор напряжённости электрического поля в любой точке такой линии касателен к ней. Вместо пробного заряда для построения силовых линий удобнее использовать электрический диполь.

Введя в электрическое поле положительный пробный заряд на нити, по его отклонению от положения равновесия определим направление напряжённости поля. Уберём заряд и вместо него в ту же точку внесём диполь. При этом обнаружим, что он повернулся своим положительным полюсом в направлении вектора напряжённости электрического поля. Используя диполь, нетрудно экспериментально доказать, что электрическое поле можно характеризовать силовыми линиями, т.е. такими линиями, в каждой точке которых напряжённость поля является касательной к ним.

Для этого создадим произвольное электрическое поле, введём в него диполь и отметим положение его положительного и отрицательного полюсов. Переместим диполь так, чтобы его, например, отрицательный полюс совпал с точкой, в которой находился положительный. Многократно повторяя эту операцию, получим совокупность точек. Соединив эти точки плавной линией, получим силовую линию исследуемого электростатического поля.

Опыт показывает, что через каждую точку поля проходит только одна силовая линия. Если бы было не так, то в точке пересечения двух силовых линий одного поля на заряд действовали бы разные силы.

Повторяя описанные выше действия, построим семейство силовых линий так, чтобы их начальные точки находились на поверхности заряженного тела на равных расстояниях друг от друга. Обнаружим, что силовые линии располагаются с различной густотой. Внесём в поле пробный заряд на нити в области с максимальной и минимальной густотой силовых линий и обнаружим, что в этих областях напряжённость электрического поля соответственно максимальна и минимальна.

Силовые линии сгущаются возле зарядов, т.е. там, где модуль вектора напряжённости электрического поля больше. Значит, густота силовых линий определяется напряжённостью поля. Семейство силовых линий в принципе может полностью охарактеризовать электрическое поле.

Проделанные опыты показывают, что силовые линии начинаются или заканчиваются на зарядах, идут в бесконечность или выходят из неё. В электростатическом поле замкнутых силовых линий нет.

5.4. Принцип суперпозиции напряжённостей электростатических полей. Из принципа суперпозиции полей следует, что сила, действующая на пробный заряд со стороны других зарядов, равна геометрической сумме всех действующих на заряд сил по отдельности. Но если это так, то напряжённости электрических полей, равные отношениям сил к величине пробного заряда, складываются подобно силам.

Таким образом, для электрических полей справедлив принцип суперпозиции в следующей формулировке: напряжённость результирующего электрического поля есть геометрическая (векторная) сумма напряжённостей полей, создаваемых отдельными зарядами:

E = E₁ + E₂ + E₃ + … (5.3)

Применение принципа суперпозиции для напряжённостей позволяет существенно облегчить решение многих задач электростатики.

5.5. Поток вектора напряжённости электрического поля. Представим себе точечный положительный заряд Q, находящийся в центре сферической поверхности 1 радиусом r. В точках этой поверхности напряжённость электрического поля Так как площадь

поверхности сферы S = 4r 2 , то её произведение на напряжённость электрического поля не зависит ни от чего, кроме заряда:

(5.4)

поэтому характеризует электрическое поле в целом. Эта величина получила название потока вектора напряжённости электрического поля.

Поток напряжённости через концентрические сферические поверхности 1 и 2 одинаков. Так как он характеризует поле заряда в целом, нужно, чтобы он оставался тем же и для произвольной замкнутой поверхности 3. Но для неё вектор напряжённости уже не является нормалью к элементу поверхности. Поэтому для определения потока вектора E через элемент поверхности вместо площади этого элемента следует брать площадь его проекции на плоскость, перпендикулярную вектору E. Условимся поток считать положительным, если вектор напряжённости выходит из замкнутой поверхности, и отрицательным, если он входит в неё. Если заряд находится вне замкнутой поверхности 4, то поток напряжённости через неё равен нулю. Дело в том, что входящий внутрь области поток по модулю равен выходящему.

5.6. Теорема Гаусса. Мысленно переместим заряд из центра сферической поверхности в любую точку внутри неё. Очевидно, поток вектора напряжённости электрического поля от этого не изменится, т.к., по самому определению, он один и тот же для любой замкнутой поверхности, окружающей заряд. Разместим внутри этой поверхности не один, а несколько в общем случае различных зарядов. По принципу суперпозиции электрические поля этих зарядов не влияют друг на друга, значит, потоки, созданные каждым зарядом по отдельности, остаются неизменными. Результирующий поток, очевидно, равен сумме потоков от всех зарядов.

Это и есть теорема Гаусса: поток вектора напряжённости через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную:

(5.5)

Если алгебраическая сумма зарядов внутри замкнутой поверхности равна нулю, то поток напряжённости электрического поля через эту поверхность также равен нулю. Это понятно, поскольку положительные заряды внутри поверхности создают положительный поток, а отрицательные – равный ему по модулю отрицательный.

5.7. Поверхностная плотность заряда. Если проводящему телу сообщить заряд, то он будет распределён по его поверхности. В общем случае на участках поверхности одинаковой площади окажутся разные заряды. Отношение заряда Q к площади поверхности S, на которой он распределён, называется поверхностной плотностью заряда

(5.6)

Поверхностная плотность заряда выражается в кулонах на квадратный метр (Кл/м 2 ).

5.8. Напряжённость электрического поля заряженного шара. Используя теорему Гаусса, нетрудно определить напряжённость электрического поля, созданного заряженным проводящим шаром. Действительно, если на поверхности сферы радиусом r > R, центр которой совпадает с центром шара, равномерно распределён заряд Q, то поток вектора E через сферическую поверхность радиусом r, согласно теореме Гаусса, равен:

Отсюда напряжённость электрического поля на расстоянии r от центра заряженной сферы равна

(5.7)

Сравнивая (5.7) с (5.2), приходим к выводу, что напряжённость электрического поля заряженного шара равна напряжённости такого же точечного заряда, расположенного в центре шара.

5.9. Напряжённость электрического поля заряженной плоскости. Рассмотрим бесконечную плоскость, заряженную равномерно с поверхностной плотностью заряда . Электрическое поле такой поверхности однородно, причём силовые линии перпендикулярны поверхности. Чтобы найти напряжённость поля, воспользуемся теоремой Гаусса. Для этого построим замкнутую цилиндрическую поверхность, ось которой параллельна силовым линиям поля, а основания площадью S находятся по разные стороны от поверхности. Поток напряжённости через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. силовые линии её не пересекают. Поэтому полный поток напряжённости через выбранную поверхность равен сумме потоков через основания цилиндра: N = 2 • ЕS. Полный заряд внутри цилиндра равен Q = S. Согласно теореме Гаусса, Отсюда напряжённость электрического поля

(5.8)

Итак, напряжённость электрического поля заряженной плоскости равна поверхностной плотности заряда, делённой на удвоенное значение электрической постоянной.

5.10. Напряжённость электрического поля разноимённо заряженных параллельных плоскостей. Пусть некоторая плоскость заряжена равномерно с плотностью заряда . Параллельно этой плоскости расположим вторую, с такой же плотностью заряда противоположного знака. Найдём напряжённость электрического поля в этом случае.

Каждая плоскость создаёт поле напряжённостью E’ = /(2₀). Согласно принципу суперпозиции, напряжённость результирующего электрического поля равна сумме напряжённостей этих полей. Так как между плоскостями напряжённости полей имеют одинаковое направление, то результирующая напряжённость Е = 2E’:

(5.9)

Следовательно, напряжённость электрического поля между параллельными плоскостями, несущими равные по модулю разноимённые заряды, равна поверхностной плотности заряда одной из плоскостей, делённой на электрическую постоянную. Вне плоскостей векторы напряжённостей направлены противоположно и, поскольку их модули равны, поле вообще отсутствует. Обратите внимание, что не важно, проводят плоскости электричество или нет.

Исследование 5.1. Напряжённость электрического поля

Проблема. Возможна ли в доступном учебном эксперименте количественная оценка напряжённости электрического поля, создаваемого зарядами на наэлектризованных телах?

Задание. Используя электростатический динамометр, разработайте методику введения понятия напряжённости электрического поля и предложите прибор для измерения напряжённостей.

Вариант выполнения. Проводящему шару сообщите заряд, для определённости положительный. На пробный шарик электростатического динамометра (см. исследование 3.4) также нанесите некоторый заряд. Введите динамометр в электрическое поле заряженного шара и разверните так, чтобы его показания стали максимальны. Это означает, что пробный шарик электростатического динамометра отклоняется в ту же сторону, куда направлена сила, действующая на него со стороны электрического поля.

Прикоснитесь к пробному шарику таким же незаряженным шариком и уберите его: пробный заряд уменьшится в два раза, показания динамометра для того же расстояния до точки наблюдения тоже уменьшаются в два раза.

Повторяя опыт с разными зарядами, убедитесь, что отношение силы f, действующей на пробный заряд q, к величине этого заряда в данной точке поля остаётся постоянным, а при переходе от одной точки к другой, вообще говоря, меняется. Значит, это отношение может характеризовать электрическое поле. Оно и получило название напряжённости электрического поля. Шкалу электростатического динамометра, которым вы пользовались для измерения силы электростатического взаимодействия, можно отградуировать в единицах напряжённости. Тогда допустимо считать этот прибор измерителем напряжённости электрического поля. Градуировку нетрудно осуществить в единицах Н/Кл, если предварительно измерить величину пробного заряда (см. исследование 3.6).

Учащиеся должны понять, каким образом один и тот же прибор превратился из измерителя силы в измеритель напряжённости.

Исследование 5.2. Зависимость напряжённости электрического поля от радиуса заряженного шара

Задание. Разработайте демонстрационный эксперимент, который может служить обоснованием справедливости теоремы Гаусса для электростатических полей.

Зарядите стоящий на диэлектрической подставке небольшой проводящий шар. К нему подведите измеритель напряжённости электрического поля, пробный шарик которого несёт такой же по знаку заряд, как заряд, создающий исследуемое поле. Запомните отклонение стрелки измерителя.

Первый шар с зарядом опустите в полость второго проводящего шара значительно большего диаметра, установленного на диэлектрической подставке. Приближайте этот второй шар к пробному шарику измерителя напряжённости. Оказывается, когда центр второго шара совпадает с точкой, в которой находился центр первого шара, стрелка измерителя отклоняется на первоначальное число делений.

Отсюда следует, что независимо от радиуса заряженного шара на одном и том же расстоянии от его центра напряжённость электрического поля одна и та же. Тем самым теорема Гаусса получила подтверждение в демонстрационном эксперименте.

Понятно, что теорема Гаусса носит общий характер и, строго говоря, не нуждается в обоснованиях, подобных здесь рассмотренному. Но в дидактических целях такое обоснование совершенно необходимо, поскольку оно способствует укреплению в сознании учащихся неразрывной связи физической теории с объективной реальностью.

Исследование 5.3. Суперпозиция электрических полей

Информация. Чтобы убедиться в справедливости принципа суперпозиции электрических полей, нужно уметь определять не только модули сил, действующих на заряды, но и их направления. Делать это с помощью электростатического динамометра неудобно. Кроме того, он не позволяет графически изображать векторы сил. Если на нити подвесить лёгкое заряженное тело, то силу, действующую на него в электрическом поле, можно оценить по отклонению тела из положения равновесия. Но для измерения этого отклонения воспользоваться линейкой не удастся: приближение её к заряженному телу вызывает изменение его положения. Чтобы устранить эту трудность, можно спроецировать заряженное тело на горизонтальную плоскость.

Задание. Разработайте и выполните эксперимент, доказывающий справедливость принципа суперпозиции электрических полей.

Вариант выполнения. К стеклянному баллону маленькой лампочки приклейте тонкую нить с лёгким проводящим шариком небольшого радиуса на конце. Нанесите на шарик пробный заряд. Лампочку закрепите над листом бумаги и включите её. На листе бумаги цифрой 0 отметьте положение тени от шарика, находящегося в положении равновесия. Приблизьте к пробному заряду заряд Q₁ и цифрой 1 отметьте на листе положение тени отклонившегося шарика. Уберите заряд Q₁ и вместо него вблизи пробного шарика расположите заряд Q₂. При этом тень от шарика займёт новое положение 2.

Верните заряд Q₁ в первоначальное положение. Теперь пробный шарик находится в поле сразу двух зарядов и отклоняется от положения равновесия так, что его тень занимает положение 3. Проанализируйте результат эксперимента. Очевидно, при смещении шарика из положения равновесия его тень смещается на величину, пропорциональную силе, действующей на шарик в новом положении равновесия (см. исследование 3.5). При малых отклонениях пробного шарика эту силу приближённо можно считать равной силе, действующей на шарик в исходном положении. Длины отрезков, соединяющих точку 0 с точками 1, 2 и 3, пропорциональны модулям соответствующих сил. Соединив указанные точки векторами, вы обнаружите, что вектор результирующей силы, действующей на пробный заряд, примерно равен сумме векторов сил, действующих на него со стороны каждого заряда по отдельности. Понятно, что точные измерения, выполненные с более совершенными приборами, вместо приближённого дадут точное равенство.

Поразительно единство природы: силы, созданные электрическими полями, складываются так же, как механические! Но если это так, то напряжённости электрических полей, равные отношениям сил к величине пробного заряда, складываются подобно силам. Оставив шары неподвижными, изменяйте их заряды в одинаковое число раз (см. п. 2.6). При этом вы обнаружите, что направление напряжённости результирующего поля остаётся неизменным.

Таким образом, принцип суперпозиции электростатических полей экспериментально обоснован.

Исследование 5.4. Демонстрация принципа суперпозиции напряжённостей

Проблема. Индивидуальный опыт, выполненный в результате предыдущего исследования, не позволяет убедиться в справедливости принципа суперпозиции напряжённостей электростатических полей всему классу непосредственно на уроке. Как решить эту проблему?

Задание. Учитывая возможности кодоскопа, разработайте демонстрационный вариант эксперимента, обосновывающего справедливость принципа суперпозиции, и методику проведения его на уроке.

Вариант выполнения. Из толстой алюминиевой проволоки в изоляции выгните специальный штатив высотой примерно 30 см и поставьте его на конденсор кодоскопа. К верхнему концу штатива привяжите конец тонкой нейлоновой нити длиной примерно 20 см. На нижнем конце нити закрепите шарик диаметром около 3 мм из тонкой алюминиевой фольги. На конденсор кодоскопа на стойках высотой 10 см, изготовленных из полиэтиленовых трубок, поставьте пенопластовые шары диаметром 15–20 мм, обёрнутые тонкой фольгой. Основания стоек лучше сделать из прозрачного оргстекла.

Уберите с конденсора стойки с шарами, включите осветитель кодоскопа и на классной доске получите изображение висящего на нити пробного шарика. Одноимёнными зарядами зарядите пробный шарик и два шара на стойках. На доске мелом отметьте положение пробного шарика. Поставьте на конденсор один из заряженных шаров, отметьте его положение и положение пробного шарика. Уберите первый заряженный шар и в произвольное место поставьте второй, отметив на доске новое положение пробного шарика. Верните в первоначальное положение первый шар, обозначьте результирующее положение пробного шарика, мелом на доске нарисуйте соответствующие векторы сил и предложите учащимся сделать вывод из продемонстрированного опыта.

Исследование 5.5. Плотность заряда на поверхности проводника

Задание. Докажите, что плотность заряда на поверхности проводника, вообще говоря, различна.

Вариант выполнения. Зарядите расположенный на изолирующей подставке проводник цилиндрической формы с остриём и коническим углублением. Пробным шариком на изолирующей ручке, предварительно заземлённым, коснитесь цилиндрической поверхности проводника и поместите его внутрь полого шара, соединённого с электрометром. Если угол отклонения стрелки мал, повторите перенос заряда несколько раз. Запомните показания электрометра, разрядите его и пробный шарик. Попробуйте снять заряд из конического углубления в поверхности проводника, и вы убедитесь, что там он практически отсутствует. Повторите опыт, касаясь пробным шариком теперь уже точки поверхности, расположенной на острие проводника. В этом случае угол отклонения стрелки электрометра будет значительно больше, чем в первом опыте. Так как вблизи острия пробный шарик заряжается до большей величины, то в этой области плотность распределения заряда по поверхности проводника больше.

Зарядите металлический диск, закреплённый за изолирующую ручку в штативе. Проведя опыты, аналогичные описанным, покажите, что плотность заряда во всех точках плоской поверхности диска вдали от его края одинакова, а на краю возрастает.

Исследование 5.6. Напряжённость электрического поля вблизи заряженного проводника

Задание. Поставьте опыт, показывающий, что напряжённость электрического поля вблизи заряженного проводника определяется поверхностной плотностью заряда.

Вариант выполнения. Вблизи проводника сложной формы расположите электростатический динамометр и перемещайте его так, чтобы расстояние до поверхности проводника оставалось постоянным, а сила действовала на шарик динамометра по нормали к поверхности. Опыт должен показать, что там, где на поверхности проводника плотность заряда больше, вблизи этой поверхности больше и напряжённость электрического поля (см. исследование 5.5). Проанализируйте полученные результаты и сделайте соответствующие выводы.

Исследование 5.7. Электрическое поле вблизи заряженных плоскостей

Задание. Прямым экспериментом подтвердите, что равномерно заряженная плоскость даёт электрическое поле по обе стороны от неё, а две параллельно установленные плоскости, несущие равные заряды противоположных знаков, создают электрическое поле только в области между ними.

Вариант выполнения. На нитях подвесьте два одинаковых обёрнутых алюминиевой фольгой пенопластовых шарика так, чтобы они касались металлического диска с противоположных сторон. Зарядите диск от пьезоэлектрического или иного источника. При этом шарики отойдут от диска на равные расстояния, свидетельствуя о том, что электрическое поле существует по обе стороны от заряженного диска.

Точно такой же диск зарядите равным по модулю и противоположным по знаку зарядом. Постепенно приближайте второй диск к первому так, чтобы они оставались параллельными. Вы заметите, что отклонение шарика, находящегося вне дисков, уменьшается, а находящегося между дисками – увеличивается. Наконец, первый шарик касается диска, показывая, что поле вне дисков практически исчезло, а второй шарик отклоняется на угол, примерно в два раза превышающий первоначальный.

Исследование 5.8. Точное подтверждение закона Кулона

На диэлектрической стойке закрепите металлический шар и заключите его между двумя проводящими полусферами, одна из которых имеет отверстие. Через отверстие проводником на изолированной нити соедините шар с полусферами. Зарядите полусферы. За нить удалите проводник. Разомкнув шар и полусферы, разведите полусферы в стороны, разрядите их, а к шару подсоедините чувствительный электрометр: никакого заряда на шаре вы не обнаружите. Значит, эксперимент ещё раз показывает, что на проводнике, находящемся внутри другого проводника, заряда нет.

Это справедливо потому, что справедлив закон Кулона. Действительно, внутри проводящей равномерно заряженной сферы выберем произвольную точку А и вертикальными конусами вырежем на сфере площадки S₁ и S₂. Из геометрии известно, что Но эти площадки имеют заряды, пропорциональные их величинам: Небольшие площадки создают в точке А поля напряжённостями и отношение которых

Значит, поскольку напряжённости полей, созданных любыми подобными парами площадок на сфере, равны по модулю и противоположно направлены, результирующая напряжённость поля, созданного в точке А всей заряженной сферой, должна быть равна нулю.

Это и показывает эксперимент. Если бы на опыте был обнаружен хотя бы слабый заряд на внутреннем шаре, то оказалась бы неверной формула для напряжённости поля точечного заряда (5.2) и, следовательно, в законе Кулона (3.1) сила взаимодействия между зарядами не была бы обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Так как заряд можно измерить с гораздо более высокой точностью, чем силу взаимодействия между зарядами, а из закона Кулона следует, что поле внутри тела отсутствует независимо от его формы, то рассмотренный эксперимент корректнее доказывает справедливость закона Кулона, чем ранее описанные опыты.

Задание. Разработайте и поставьте доступный вариант рассмотренного эксперимента, с максимальной убедительностью показывающий, что внутри заряженного полого проводника электрическое поле отсутствует.

Вариант выполнения. Чтобы обнаружить электрическое поле, можно воспользоваться явлением электростатической индукции. Внесём в поле два соприкасающихся проводящих тела на изолированных ручках. В них произойдёт перераспределение зарядов. Не удаляя из поля, разъединим эти тела – на них останутся заряды противоположных знаков. Эти заряды можно измерить электрометром, находящимся вне исследуемого поля.

Эксперимент можно поставить так. На подставке из диэлектрика закрепите полый металлический шар. Проводником в хорошей изоляции соедините его с одним из кондукторов электрофорной машины. К шару приблизьте второй кондуктор и приведите машину в действие. При этом возникнут мощные искровые разряды длиной до 10 см. Аккуратно введите внутрь шара одинаковые металлические пластинки на ручках из оргстекла. Приведите пластинки в соприкосновение, затем разъедините, аккуратно достаньте из полости шара и по очереди введите в шар электрометра. Вы обнаружите, что никакого заряда на пластинках нет! Значит, внутри проводящего шара электрическое поле отсутствует, несмотря на то, что шар в целом несёт значительный заряд, сообщаемый ему работающей электрофорной машиной. Повторите опыт, прикоснувшись пробным шариком изнутри к металлу заряженного шара, – вы вновь не обнаружите никакого заряда. Таким образом, весь электрический заряд сосредоточен на поверхности проводящего тела. Объясняется этот результат тем, что справедлив закон Кулона. В свою очередь, этот экспериментальный факт с высокой точностью подтверждает справедливость закона Кулона.

Вопросы для самоконтроля

1. В чём суть методики введения и формирования понятия напряжённости электрического поля?

2. Сравните метод построения силовых линий посредством диполя с методом визуализации электростатического поля мелким порошком, взвешенным в жидком диэлектрике.

3. Изложите методику демонстрации на уроке принципа суперпозиции электростатических полей.

4. Каким экспериментом можно подтвердить справедливость теоремы Гаусса?

5. Как зависят плотность заряда и напряжённость электрического поля от формы проводника?

6. Предложите демонстрационный опыт, прямо показывающий зависимость плотности заряда от площади проводника.

7. В чём дидактическая ценность опыта с обнаружением электрического поля вблизи одной и двух параллельных заряженных проводящих пластин?

8. Нужно ли в школе рассматривать метод точного подтверждения закона Кулона?

Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика: Учеб. пособие: В 3-х кн. Кн. 2. Электродинамика. Оптика. – М.: Физматлит, 2004.

Демонстрационный эксперимент по физике в старших классах средней школы: Т. 2. Электричество. Оптика. Физика атома: Под ред. А.А.Покровского. – М.: Просвещение, 1972.

Кабардин О.Ф., Орлов В.А., Эвенчик Э.Е. Физика: Учеб. для 10 кл. шк. и кл. с углубл. изуч. физики: Под ред. А.А.Пинского. – М.: Просвещение, 1997.

Учебное оборудование для кабинетов физики общеобразовательных учреждений: Под ред. Г.Г.Никифорова. — М.: Дрофа, 2005. (Cм. также «Физика» («ПС») № 10/2005; № 4/2007.)

Продолжение см. в № 22/07