Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2

Видео:Уравнение плоскости через 2 точки параллельно векторуСкачать

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно вектору

Уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной двум прямым

Плоскость, проходящая через данную точку М000;z0) и параллельная данным прямым K1 и K2 (при этом прямые K1 и K2 не параллельным между собой), выражается уравнением:

Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2
где l 1, m1, n1, l 2, m2, n2 — направляющие коэффициенты данных прямых.
Запись в векторной форме:

Примечание
Если данные прямые K1 и K2 параллельны между собой, то уравнение (1) имеет бесчисленное множество решений (получаем пучок плоскостей с осью, проходящей через точку М0 и параллельно данным прямым).

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно другой прямой онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через прямую L1 параллельно другой прямой L2 (прямые L1 и L2 не параллельны). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямых (канонический или параметрический) введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примеры

Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно другой прямой − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2, которые не параллельны:

Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2.(1)
Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2.(2)

Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через прямую L1 параллельно прямой L2(Рис.1).

Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2

Прамая L1 должна лежать на искомой плоскости α, следовательно точка M1 должна нежать на плоскости α.

Уравнение плоскости можно записать формулой

Ax+By+Cz+D=0.(3)

и поскольку M1(x1, y1, z1) принадлежит этой плоскости, то справедливо следующее равенство:

Ax1+By1+Cz1+D=0.(4)

Для того, чтобы плоскость α проходила через прямую L1, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q1 прямой L1, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Am1+Bp1+Cl1=0(5)

Для того, чтобы плоскость α была параллельна прямой L2, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q2 прямой L2, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Am2+Bp2+Cl2=0(6)

Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (4)−(6). Представим систему линейных уравнений (4)−(6) в матричном виде:

Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2

(7)

Решив однородную систему линейных уравнений (7) найдем частное решение. (как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн). Подставляя полученные коэффициенты A, B, C и D в уравнение (3), получим уравнение плоскости, проходящей через прямую L1 параллельно прямой L2.

Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L1:

Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2(8)

паралленьно другой прямой L2 :

Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2(9)
Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2
Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2

Поскольку плоскость проходит через прямую L1 , то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=M1(1, 1, 5) и нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> перпендикулярна направляющему вектору q1=<m1, p1, l1>= прямой L1. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2(10)

а условие параллельности прямой L1 и искомой плоскости α представляется следующим равенством:

Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2(11)

Так как плоскость α должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:

Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2(12)
Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2(13)
Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2(14)
Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2(15)

Представим эти уравнения в матричном виде:

Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2(16)

Решим систему линейных уравнений (16) отностительно A, B, C, D:

Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2(17)

Так как искомая плоскость проходит через точку M1 и имеет нормальный вектор n=<A, B, C>= то она может быть представлена формулой:

Ax+By+Cz+D=0(18)

Подставляя значения A,B,C,D в (17), получим:

Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2(18)

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число −24:

13x−4y+3z−24=0(19)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (2) имеет вид (19).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L1:

Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2(20)
q1=<m1, p1, l1>=
q2=<m2, p2, l2>=

Поскольку плоскость проходит через прямую L1 , то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=M1(−2, 0, 1) и нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> перпендикулярна направляющему вектору q1=<m1, p1, l1>= прямой L1. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

Ax1+By1+Cz1+D=0(22)

а условие параллельности прямой L1 и искомой плоскости α представляется следующим равенством:

Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2(23)

Так как плоскость α должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:

Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2(24)
A(−2)+B·0+C·1+D=0,(25)
A·5+B(−8)+C·3=0,(26)
A·1+B·1+C·1=0,(27)

Представим эти уравнения в матричном виде:

Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2(28)

Решим систему линейных уравнений (28) отностительно A, B, C, D:

Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2(29)

Так как искомая плоскость проходит через точку M1 и имеет нормальный вектор n=<A, B, C>= то она может быть представлена формулой:

Ax+By+Cz+D=0(30)

Подставляя значения A,B,C,D в (30), получим:

Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2(31)

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 35:

11x+2y−13z+35=0(32)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (2) имеет вид (32).

Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | Математика

Математический портал

Видео:Уравнение плоскости через 2 точки параллельно прямойСкачать

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно прямой
  • Вы здесь:
  • Home

Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2

Видео:Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.Скачать

Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

Пусть $L_1: frac=frac=frac$ и $L_2: frac=frac=frac$ — две скрещивающиеся прямые. Расстояние $rho(L_1, L_2)$ между прямыми $L_1$ и $L_2$ можно найти по следующей схеме:

1) Находим уравнение плоскости $P,$ проходящей через прямую $L_1,$ параллельно прямой $L_2:$Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2

Плоскость $P$ проходит через точку $M_1(x_1, y_1, z_1),$ перпендикулярно вектору $overline n=[overline s_1, overline s_2]=(n_x, n_y, n_z),$ где $overline s_1=(m_1, l_1, k_1)$ и $overline s_2=(m_2, l_2, k_2)$ — направляющие вектора прямых $L_1$ и $L_2.$ Следовательно, уравнение плоскости $P: n_x(x-x_1)+n_y(y-y_1)+n_z(z-z_1)=0.$

2) Расстояние между прямыми $L_1$ и $L_2$ равно расстоянию от любой точки прямой $L_2$ до плоскости $P:$

Нахождение общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.

Написать уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямым l1 и l2

Для нахождения общего перпендикуляра прямых $L_1$ и $L_2,$ необходимо найти уравнения
плоскостей $P_1$ и $P_2,$ проходящих, соответственно, через прямые $L_1$ и $L_2,$ перпендикулярно плоскости $P.$

Пусть $P_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0;$

Тогда уравнение общего перпендикуляра имеет вид

Пример.

2.214.

а) доказать, что прямые не лежат в одной плоскости, то есть являются скрещивающимися;

б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую $L_2$ параллельно $L_1;$

в) вычислить расстояние между прямыми;

г) написать уравнения общего перпендикуляра к прямым $L_1$ и $L_2.$

Решение.

а) Если прямые $L_1$ и $L_2$ лежат в одной плоскости, то их направляющие вектора $overline(3, 4, -2),$ $overline(6, -4, -1),$ и вектор $overline l,$ соединяющий произвольную точку прямой $L_1$ и произвольную точку прямой $L_2$ компланарны. В качестве такого вектора $overline$ можно выбрать $overline(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1).$ Проверим будут ли эти вектора компланарны.

Следовательно, вектора не компланарны и прямые не лежат в одной плоскости.

б) Запишем уравнение плоскости, проходящей через прямую $L_2$ параллельно $L_1.$ Эта плоскость проходит через точку $M_2(21, -5, 2)$ перпендикулярно вектору $overline n=[overline s_1, overline s_2].$

Таким образом, вектор $overline n$ имеет координаты $overline n(-12, -9, -36).$

Находим уравнение плоскости $$P:,, -12(x-21)-9(y+5)-36(z-2)=0Rightarrow$$ $$Rightarrow-12x-9y-36z+252-45+72=0Rightarrow -12x-9y-36z+279=0Rightarrow$$ $$Rightarrow 4x+3y+12z-93=0.$$

в) Расстояние между прямыми $L_1$ и $L_2$ равно расстоянию от любой точки прямой $L_1$ до плоскости $P:$

Ответ: $frac.$

г) Найдем уравнения плоскостей $P_1$ и $P_2,$ проходящих, соответственно, через прямые $L_1$ и $L_2,$ перпендикулярно плоскости $P.$

Имеем, $M_1=(-7, -4, -3)in P_1,$

Таким образом, $$P_1: 54(x+7)-44(y+4)-7(z+3)=54x-44y-7z+378-176-21=$$ $$=54x-44y-7z+181=0.$$

Аналогично находим $P_2:$

Имеем, $M_2=(21, -5, 2)in P_2,$

Таким образом, $$P_1: -45(x-21)-76(y+5)+34(z-2)=-45x-76y+34z+945-380-68=$$ $$=-45x-76y+34z+497=0.$$

Ответ: $left<begin54x-44y-7z+181=0;\ -45x-76y+34z+497=0.endright. $

2.215.

а) доказать, что прямые не лежат в одной плоскости, то есть являются скрещивающимися;

б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую $L_2$ параллельно $L_1;$

в) вычислить расстояние между прямыми;

г) написать уравнения общего перпендикуляра к прямым $L_1$ и $L_2.$

Ответ: б) $4x+12y+12z+76=0;$

г) $left<begin53x-7y-44z-429=0;\ 105x-23y-48z+136=0.endright. $

🔍 Видео

2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1Скачать

2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задач

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примеры

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскости

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задач

3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскостиСкачать

3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскости

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"Скачать

Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"

Найти уравнение плоскости проходящей через прямую и перпендикулярно плоскостиСкачать

Найти уравнение плоскости проходящей через прямую и перпендикулярно плоскости

Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать

Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой
Поделиться или сохранить к себе: