Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Нахождение длины дуги сектора круга

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить длину дуги сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их применения на практике.

Видео:Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.

Определение дуги сектора круга

Дуга – это участок между двумя точками на окружности.

Дуга сектора круга – это участок между двумя точками на окружности, которые получены в результате пересечения этой окружности двумя радиусами, образовавшими сектор круга.

На рисунке ниже: AB – это дуга зеленого сектора круга с радиусом R (или r).

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

  • OA = OB = R (r);
  • α – угол сектора или центральный угол.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Формулы для нахождения длины дуги сектора

Через центральный угол в градусах и радиус

Длина (L) дуги сектора равняется числу π , умноженному на радиус круга (r), умноженному на центральный угол в градусах ( α°), деленному на 180°.

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Примечание: в расчетах используется число π , приблизительно равное 3,14.

Через угол сектора в радианах и радиус

Длина (L) дуги сектора равна произведению радиуса (r) и центрального угла, выраженного в радианах (aрад).

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Примеры задач

Задание 1
Дан круг с радиусом 15 см. Найдите длину дуги сектора, угол которого равен 30°.

Решение
Воспользуемся формулой расчета, в которой используется центральный угол в градусах:

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Задание 2
Длина дуги сектора равняется 24 см. Найдите, чему равен его угол (в радианах и градусах), если радиус круга составляет 12 см.

Решение
Для начала вычислим угол в радианах:

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

1 радиан ≈ 57,2958°

Следовательно, центральный угол приблизительно равняется 114,59 ° (2 рад ⋅ 57,2958°).

Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Длина дуги

На этой странице приведены две формулы для расчета длины дуги окружности — через радиус и угол между ними и по формуле Гюйгенса. Также вы можете рассчитать длину дуги окружности с помощью калькуляторов, которые используют эти формулы.

Дуга — одно из двух подмножеств окружности, на которые её разбивают любые две различные принадлежащие ей точки. Любые две точки окружности разбивают её на две части, при этом каждая из частей является дугой.

Видео:Нахождение центрального угла по длине дуги (видео 8) |Окружность и Круг | ГеометрияСкачать

Нахождение центрального угла по длине дуги (видео 8) |Окружность и Круг | Геометрия

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Нахождение длины дуги окружности через центральный уголОсновные определения и свойства. Число π
Нахождение длины дуги окружности через центральный уголФормулы для площади круга и его частей
Нахождение длины дуги окружности через центральный уголФормулы для длины окружности и ее дуг
Нахождение длины дуги окружности через центральный уголПлощадь круга
Нахождение длины дуги окружности через центральный уголДлина окружности
Нахождение длины дуги окружности через центральный уголДлина дуги
Нахождение длины дуги окружности через центральный уголПлощадь сектора
Нахождение длины дуги окружности через центральный уголПлощадь сегмента

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

ФигураРисунокОпределения и свойства
ОкружностьНахождение длины дуги окружности через центральный угол
ДугаНахождение длины дуги окружности через центральный угол
КругНахождение длины дуги окружности через центральный угол
СекторНахождение длины дуги окружности через центральный угол
СегментНахождение длины дуги окружности через центральный угол
Правильный многоугольникНахождение длины дуги окружности через центральный угол
Нахождение длины дуги окружности через центральный угол
Окружность
Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

ДугаНахождение длины дуги окружности через центральный угол

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругНахождение длины дуги окружности через центральный угол

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторНахождение длины дуги окружности через центральный угол

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментНахождение длины дуги окружности через центральный угол

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникНахождение длины дуги окружности через центральный угол

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Видео:Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 классСкачать

Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 класс

Формулы для площади круга и его частей

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол,

если величина угла α выражена в радианах

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол,

если величина угла α выражена в градусах

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол,

если величина угла α выражена в радианах

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаНахождение длины дуги окружности через центральный угол
Площадь сектораНахождение длины дуги окружности через центральный угол
Площадь сегментаНахождение длины дуги окружности через центральный угол
Площадь круга
Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораНахождение длины дуги окружности через центральный угол

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол,

если величина угла α выражена в радианах

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаНахождение длины дуги окружности через центральный угол

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол,

если величина угла α выражена в радианах

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Нахождение длины дуги по центральному углу(видео 7) |Окружность и Круг | ГеометрияСкачать

Нахождение длины дуги по центральному углу(видео 7) |Окружность и Круг | Геометрия

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Длина окружностиНахождение длины дуги окружности через центральный угол
Длина дугиНахождение длины дуги окружности через центральный угол
Длина окружности
Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дугиНахождение длины дуги окружности через центральный угол

если величина угла α выражена в радианах

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Длина дуги окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. Практическая часть. 9 класс.

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)

Длина окружности

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Видео:Центральный угол в окружностиСкачать

Центральный угол в окружности

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

из которой вытекает равенство:

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

из которой вытекает равенство:

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

из которой вытекает равенство:

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

из которой вытекает равенство:

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Видео:Площадь сектора и сегмента. 9 класс.Скачать

Площадь сектора и сегмента. 9 класс.

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

Нахождение длины дуги окружности через центральный угол

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

🌟 Видео

НАЙДИ ДЛИНУ БОЛЬШЕЙ ДУГИСкачать

НАЙДИ ДЛИНУ БОЛЬШЕЙ ДУГИ

УГОЛ И ОКРУЖНОСТЬ: центральный угол, вписанный угол, длина дуги окружностиСкачать

УГОЛ И ОКРУЖНОСТЬ: центральный угол, вписанный угол, длина дуги окружности

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Нахождение величины центрального углаСкачать

Нахождение величины центрального угла

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкам

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: