На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.

а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.

б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 18 и BN = 17.

а) Проведём медиану AE к основанию BC, поскольку треугольник ABC — равнобедренный, медиана AE является биссектрисой и высотой. Проведём MK, заметим, что ∠BKM = 90°, так как он вписанный и опирается на диаметр окружности. Поэтому MK перпендикуляр к ВС. Тогда MK — средняя линия AEС, и тогда КС = . Поскольку CE = 2CK, имеем: BK = 3CK, что и требовалось доказать.

б) Заметим, что ∠BKM = ∠BNM = 90°, так как эти углы вписанные и опираются на диаметр. Тогда На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(*), причём:

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Подставляя полученные соотношения в (*), получаем:

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Тогда На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Приведём другое решение пункта б).

Пусть На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьТогда На медиане треугольника как на диаметре построена окружность На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьи пусть На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьтогда На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьПо свойству секущих имеем:

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Приведём третье решение пункта б).

Пусть угол при вершине A треугольника ABC равен 2α, AB = x. Тогда из прямоугольного треугольника ANM находим: На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьИз треугольника MKC: На медиане треугольника как на диаметре построена окружность На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьтаким образом, получаем уравнение:

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Из последнего уравнения получаем те же ответы, что и в предыдущем решении x = 16 (постороннее решение) или x = 18.

Приведём еще одно решение пункта б).

Рассмотрим прямоугольный треугольник На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьЕсли AB = x, то На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьС другой стороны из треугольника ABC по теореме косинусов имеем На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьСоставим уравнение: На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Последнее уравнение уже дважды решено выше.

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Содержание
  1. Решение задачи 16. Вариант 214
  2. ​ 16. В треугольнике ABC на AB, как на диаметре, построенаокружность ω1, а на AC, как на диаметре, построена окружность ω2. Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точке М, отличной от точек А, В и С.
  3. А) Докажите, что точки М, В и С лежат на одной прямой.
  4. Б) Пусть АМ = 6, а диаметр окружности, описанной около треугольника АВС, равен 10. Найдите произведение АВ*АС.
  5. Окружность на медиане как на диаметре
  6. Окружность на медиане как на диаметре
  7. Окружность построена на медиане треугольника
  8. Окружность построена на медиане треугольника
  9. Как построить медиану окружности
  10. Медиана треугольника
  11. Как начертить медиану и высоту треугольника с помощью циркуля ?
  12. Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения
  13. Задача 1 (построение угла, равного данному)
  14. Задача 2 (построение серединного перпендикуляра к отрезку)
  15. Задача 3 (построение биссектрисы угла)
  16. Построение треугольника по трем элементам
  17. Задача 4 (построение треугольника по двум сторонам и углу между ними)
  18. Задача 5 (построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам)
  19. Задача 6 (построение треугольника по трем сторонам)
  20. Определение и свойства медианы треугольника
  21. Определение медианы треугольника
  22. Свойства медианы
  23. Свойство 1 (основное)
  24. Свойство 2
  25. Свойство 3
  26. Свойство 4
  27. Свойство 5
  28. Примеры задач
  29. Окружность на медиане как на диаметре

Видео:На катете ML прямоугольного треугольника KLM как на диаметре построена окружностьСкачать

На катете ML прямоугольного треугольника KLM как на диаметре построена окружность

Решение задачи 16. Вариант 214

​ 16. В треугольнике ABC на AB, как на диаметре, построенаокружность ω1, а на AC, как на диаметре, построена окружность ω2. Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точке М, отличной от точек А, В и С.

А) Докажите, что точки М, В и С лежат на одной прямой.

Б) Пусть АМ = 6, а диаметр окружности, описанной около треугольника АВС, равен 10. Найдите произведение АВ*АС.

Изобразим рисунок (чтобы увеличить кликните по фотографии)

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

O1-центр первой окружности

O2-центр второй окружности

M-точка их пересечения.

Заметим, что ​​ ( ∡BMA=90° ) ​ (так как этот угол вписанный и опирается на диаметр AB)

Заметим, что ​ ( ∡CMA=90° ) ​ (так как этот угол вписанный и опирается на диаметр AC)

Получаем что ​ ( ∡BMC=180° ) ​ (он развернутый, значит, что точки B M C лежат на одной прямой, что и требовалось доказать)

​ ( S_=frac ) ​ — abc — стороны треугольника

Диаметр мы знаем 10, значит радиус ​ ( R=0.5D=5 ) ​

​ ( S_=0.5*AM*BC ) ​ — так как AM-высота

Приравняем две площади и выразим это произведение

​ ( 0.5*AM*BC=frac ) ​ — сократим на BC

Видео:Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

Окружность на медиане как на диаметре

Видео:Треугольник. На медианах как на диаметрах построены окружности. Задание 16 (34)Скачать

Треугольник. На медианах как на диаметрах построены окружности. Задание 16 (34)

Окружность на медиане как на диаметре

Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.

а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.

б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 18 и BN = 17.

а) Проведём медиану AE к основанию BC, поскольку треугольник ABC — равнобедренный, медиана AE является биссектрисой и высотой. Проведём MK, заметим, что ∠BKM = 90°, так как он вписанный и опирается на диаметр окружности. Поэтому MK перпендикуляр к ВС. Тогда MK — средняя линия AEС, и тогда КС = . Поскольку CE = 2CK, имеем: BK = 3CK, что и требовалось доказать.

б) Заметим, что ∠BKM = ∠BNM = 90°, так как эти углы вписанные и опираются на диаметр. Тогда На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(*), причём:

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Подставляя полученные соотношения в (*), получаем:

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Тогда На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Приведём другое решение пункта б).

Пусть На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьТогда На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьНа медиане треугольника как на диаметре построена окружностьи пусть На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьтогда На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьПо свойству секущих имеем:

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Приведём третье решение пункта б).

Пусть угол при вершине A треугольника ABC равен 2α, AB = x. Тогда из прямоугольного треугольника ANM находим: На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьИз треугольника MKC: На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьНа медиане треугольника как на диаметре построена окружностьтаким образом, получаем уравнение:

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Из последнего уравнения получаем те же ответы, что и в предыдущем решении x = 16 (постороннее решение) или x = 18.

Приведём еще одно решение пункта б).

Рассмотрим прямоугольный треугольник На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьЕсли AB = x, то На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьС другой стороны из треугольника ABC по теореме косинусов имеем На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьСоставим уравнение: На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Последнее уравнение уже дважды решено выше.

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Видео:Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметреСкачать

Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре

Окружность построена на медиане треугольника

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Окружность построена на медиане треугольника

Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.

а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.

б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 18 и BN = 17.

а) Проведём медиану AE к основанию BC, поскольку треугольник ABC — равнобедренный, медиана AE является биссектрисой и высотой. Проведём MK, заметим, что ∠BKM = 90°, так как он вписанный и опирается на диаметр окружности. Поэтому MK перпендикуляр к ВС. Тогда MK — средняя линия AEС, и тогда КС = . Поскольку CE = 2CK, имеем: BK = 3CK, что и требовалось доказать.

б) Заметим, что ∠BKM = ∠BNM = 90°, так как эти углы вписанные и опираются на диаметр. Тогда На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(*), причём:

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Подставляя полученные соотношения в (*), получаем:

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Тогда На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Приведём другое решение пункта б).

Пусть На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьТогда На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьНа медиане треугольника как на диаметре построена окружностьи пусть На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьтогда На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьПо свойству секущих имеем:

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Приведём третье решение пункта б).

Пусть угол при вершине A треугольника ABC равен 2α, AB = x. Тогда из прямоугольного треугольника ANM находим: На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьИз треугольника MKC: На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьНа медиане треугольника как на диаметре построена окружностьтаким образом, получаем уравнение:

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Из последнего уравнения получаем те же ответы, что и в предыдущем решении x = 16 (постороннее решение) или x = 18.

Приведём еще одно решение пункта б).

Рассмотрим прямоугольный треугольник На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьЕсли AB = x, то На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьС другой стороны из треугольника ABC по теореме косинусов имеем На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьСоставим уравнение: На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Последнее уравнение уже дважды решено выше.

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Видео:ОГЭ задание 26Скачать

ОГЭ задание 26

Как построить медиану окружности

Видео:Геометрия На стороне BC остроугольного треугольника ABC ( AB ≠ AC ) как на диаметре построенаСкачать

Геометрия На стороне BC остроугольного треугольника ABC ( AB ≠ AC ) как на диаметре построена

Медиана треугольника

Что называется медианой треугольника?

Определение.

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Как построить медиану треугольника?

Чтобы построить медиану треугольника , надо:

1) С помощью линейки найти и отметить середину стороны треугольника.

2) Соединить полученную точку с вершиной, лежащей напротив этой стороны.

Рисунок медианы треугольника:

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Как построить медиану треугольника с помощью циркуля и линейки без шкалы, мы рассмотрим позже, в теме «Построить треугольник».

Сколько медиан имеет треугольник?

Так как у треугольника три вершины и три стороны, то и отрезков, соединяющих вершину и середину противолежащей стороны, тоже три. Значит, треугольник имеет три медианы.

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке:

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника.

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному, считая от вершины:

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Об этом свойстве медиан треугольника, а также о том, как найти длину медианы через длины сторон треугольника, более подробно мы поговорим позже и рассмотрим, как свойства медианы использовать при решении задач.

Кроме того, отдельно будут рассмотрены медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе и медиана равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, поскольку каждая из них обладает своими свойствами, которые надо знать и уметь применять.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Как начертить медиану и высоту треугольника с помощью циркуля ?

Постройте треугольник ABC. Пусть необходимо провести медиану из вершины С к стороне AB.

Найдем середину стороны AB. Установите иглу циркуля в точке A. Другой конец циркуля поставьте в точку B. Тем самым ножками циркуля вы отмерили длину AB. Проведите окружность с центром в точке A и радиусом R, равным AB.

Затем, не меняя расстояния между ножкам циркуля, установите иглу циркуля в точке B. Проведите окружность с центром в точке В и тем же радиусом AB.

Окружности, проведенные из точек А и В, должны пересечься в двух точках. Назовите их, например, М и Т.

Соедините линейкой точки М и Т. Точка, в которой отрезок МТ пересечет отрезок АВ, и будет являться серединой отрезка АВ. Назовем эту точку точкой Е.

Кстати, прямая МТ будет не только делить отрезок АВ пополам, но и являться перпендикуляром к нему. Так что если перед вами стоит задача построить перпендикуляр к отрезку, действуйте по той же схеме, что и для нахождения середины отрезка.

Итак, поскольку Е — середина стороны АВ, то отрезок СЕ будет являться искомой медианой треугольника, проведенной из вершины С к стороне АВ. Соедините при помощи линейки точки С и Е.

Если необходимо провести также медианы из вершин треугольника А и В к сторонам ВС и АС соответственно, проделайте аналогичную процедуру. Помните, что все три медианы треугольника должны пересечься в одной точке.

В стороне от чертежа описывайте свои действия. Последовательно отмечайте, что вы строите. Какие линии, окружности вы проводите, и какими буквами обозначаете точки, получаемые на пересечениях.

В задачах на построение циркулем и линейкой обычно требуется не только построить что-либо, но и доказать, что используемая последовательность действий привела к нужному результату.

По построению четырехугольник АМВТ является ромбом (АМ=ВМ=АТ=ВТ=AB). Ромб — частный случай параллелограмма. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам (свойство параллелограмма) . То есть, точка Е, полученная на пересечении диагоналей ромба АВ и МТ, дает середину АВ. Т. к. точка Е — середина АВ, то СЕ — медиана треугольника АВС (по определению) . Что и требовалось доказать.

Вам надо определить ТОЧКУ, куда вести медиану и высоту? Или просто начертить? Начертить, так у циркуля с одной стороны остриё, а вот с другой карандаш (или рейсфедер) . Вот этим концом и чертите. А мединану надо определить среднюю сторону у противоположного угла. Циркулем произвольно чертите дуги с двух концов стороны, что бы они пересекались. И от противоположного угла проводите линию (медиану) с местам пересечения дуг (но до стороны треугольника, там и будет середина) . Высота прище. Делайте рисунок на листе в клетку. И от вершины вниз параллельно клеткам, т. е. перепендикулярно основанию треугольника.

Видео:Планиметрия_Треугольник_02Скачать

Планиметрия_Треугольник_02

Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения

Содержание:

Основные задачи на построение циркулем и линейкой:

В данном параграфе рассмотрим вопрос о построении геометрических фигур. Вы уже знаете, что геометрические построения можно осуществлять с помощью масштабной линейки, циркуля, транспортира и чертежного угольника. В то же время оказывается, что многие геометрические фигуры можно построить, пользуясь только циркулем и линейкой без масштабных делений.

При построении геометрических фигур с помощью циркуля и линейки без масштабных делений учитывается, что:

  1. с помощью линейки можно провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две точки;
  2. с помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также построить окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.

Теперь рассмотрим основные задачи на построение циркулем и линейкой: построение угла, равного данному, построение серединного перпендикуляра к отрезку, построение биссектрисы угла.

Видео:ОГЭ. Задание 15. Свойство медианСкачать

ОГЭ. Задание 15. Свойство медиан

Задача 1 (построение угла, равного данному)

От данного луча OF отложите угол, равный данному углу ABC.

Предположим, что угол DOF, удовлетворяющий условию задачи, построен (рис. 130, а).

ПустьНа медиане треугольника как на диаметре построена окружность

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

1) Строим окружность На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(В, R) , где R — произвольный радиус, и отмечаем точки А1 и С1 пересечения ее со сторонами угла ABC.

2) Строим окружность На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(0, R) с центром в точке О того же радиуса R и отмечаем ее точку пересечения F1 с лучом OF.

3) Строим окружность На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(F1, A1C1).

4) Пусть D1 — одна из точек пересечения окружностей На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(0, R) и На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(F1, A1C1) (рис. 130, б). Тогда угол D1OF — искомый. Докажем, что На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьD1OF =На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьABC.

Равенство На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьD1OF =На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьABC следует из равенства треугольников А1ВС1 и D1OF1. Действительно, по построению А1В = D1O = С1В = F1O. Кроме того, по построению F1D1 = А1С1, следовательно, треугольники А1ВС1 и D1OF1 равны по трем сторонам. Отсюда следует, что На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьD1OF =На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьА1ВС1, т. е. построенный угол D1OF равен данному углу ABC.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Задача 2 (построение серединного перпендикуляра к отрезку)

Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку АВ.

Проведем рассуждения, которые помогут осуществить необходимое построение. Предположим, что серединный перпендикуляр а к отрезку АВ построен (рис. 131, а). Пусть точки F и D лежат на серединном перпендикуляре так, что OF = OD. Прямоугольные треугольники FOB и DOB равны по двум катетам, следовательно, BF = BD. Иначе говоря, точки F и D лежат на окружности На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(B, BF) и BF > ОВ. Аналогично AF =AD, так как треугольник FOA равен треугольнику DOA. Кроме того, легко увидеть, что AF = BF. Таким образом, точки F и D лежат также и на окружности На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(A, BF).

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

1) Строим окружности На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(A, R) и На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(B, R) , где R На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьНа медиане треугольника как на диаметре построена окружность. Пусть, например, R = AB: На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(A, AB) и На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(B, AB) (рис. 131, б).

2) Отмечаем точки F и D пересечения окружностей На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(A, AB) и На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(B, AB).

3) Тогда прямая FD — серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Докажем это.

Рассмотрим треугольники FAD и FBD (рис. 131, в). Указанные треугольники равны по трем сторонам. Следовательно, На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьAFD = На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьBFD. Отсюда следует, что в равнобедренном треугольнике AFD отрезок FO является биссектрисой, а значит, и высотой и медианой, т. е. прямая FO — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Видео:Геометрия. Задача. Треугольник. Окружность.Скачать

Геометрия.  Задача.  Треугольник.  Окружность.

Задача 3 (построение биссектрисы угла)

Постройте биссектрису данного угла ABC.

Допустим, что биссектриса BE данного угла ABC построена (рис. 132, а). Пусть точки F и D лежат на сторонах угла так, что BF = BD, О = FD На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьBE, а точка Т лежит на луче, противоположном лучу ОВ. Из равенства прямоугольных треугольников FOT и DOT (FO = OD, катет ОТ — общий) следует, что FT = DT, т. е. точка Т принадлежит окружностям равных радиусов с центрами в точках F и D. Построив точку Т, мы построим биссектрису ВТ данного угла.

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

1) Строим окружность На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(B, R1) произвольного радиуса R1 с центром в вершине В данного угла (рис. 132, б).

2) Отмечаем точки F и D, в которых окружность На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(B, R) пересекает соответственно стороны ВА и ВС данного угла.

3) Строим окружности На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(F, R2) и На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(D, R2), где R2 > На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьFD. Отмечаем точку Т их пересечения, которая лежит внутри данного угла.

4) Проводим луч ВТ. Луч ВТ — искомый. Докажем это.

Рассмотрим треугольники BFT и BDT (рис. 132, в). Эти треугольники равны по трем сторонам (BF = BD и FT = DT — по построению, ВТ — общая сторона). Из равенства этих треугольников следует, что На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьFBT = На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьDBT, т. е. луч ВТ — биссектриса угла ABC.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Построение треугольника по трем элементам

В данном пункте рассмотрим задачи на построение треугольника по: а) двум сторонам, и углу между ними; б) стороне и двум прилежащим к ней углам; в) трем сторонам.

Видео:Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.Скачать

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.

Задача 4 (построение треугольника по двум сторонам и углу между ними)

Постройте треугольник, две стороны которого равны двум данным отрезкам а и b, а угол между этими сторонами равен данному углу hk.

Даны два отрезка а, b и угол hk (рис. 133, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник ABC, две стороны которого, например, АВ и АС, равны соответственно отрезкам а и b, а угол ВАС равен углу hk.

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

1) Проведем прямую, на ней отложим отрезок АС, равный отрезку b (рис. 133, б).

2) Строим угол CAF, равный углу hk.

3) На луче AF отложим отрезок АВ, равный отрезку а, и проведем отрезок ВС. Треугольник ABC — искомый (рис. 133, в).

По построению имеем, что АС = b, АВ = а и На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьBAC = На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьhk.

При любых данных отрезках а и b и неразвернутом угле hk каждое из построений 1) — 3) выполнимо, т. е. искомый треугольник можно построить. Треугольники, которые удовлетворяют условию задачи и строятся при различном выборе прямой и отрезка АС, равны между собой по двум сторонам и углу между ними, поэтому говорят, что данная за дача имеет единственное решение.

Видео:Теорема о медианеСкачать

Теорема о медиане

Задача 5 (построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Постройте треугольник, сторона которого равна данному отрезку а, а углы, прилежащие к этой стороне, равны данным углам hk и mq.

Дан отрезок а и два угла hk и mq (рис. 134, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник ABC, сторона которого, например АС, равна отрезку а, а углы ВАС и ВСА равны соответственно углам hk и mq.

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

1) Проведем прямую и на ней отложим с помощью циркуля отрезок АС, равный отрезку а (рис. 134, б).

2) Строим угол CAF, равный углу hk.

3) Строим угол ACT, равный углу mq.

4) Отмечаем точку В пересечения лучей AF и СТ. Треугольник ABC — искомый (рис. 134, в).

По построению имеем, что АС = a, На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьBAC = На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьhk и На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьACB = На медиане треугольника как на диаметре построена окружностьmq.

Для любого данного отрезка а и неразвернутых углов hk и mq каждое из построений 1) — 4) выполнимо, т. е. искомый треугольник можно построить. Треугольники, которые удовлетворяют условию задачи и строятся при различном выборе прямой и отрезка АС, равны между собой по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому говорят, что данная задача имеет единственное решение.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)

Задача 6 (построение треугольника по трем сторонам)

Постройте треугольник, стороны которого равны данным отрезкам а, b, с.

Даны отрезки а, b, с (рис. 135, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник ABC, стороны которого АВ, ВС и АС равны соответственно отрезкам a, b и с.

1) Проведем прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АС, равный отрезку с (рис. 135, б).

2) Строим окружность На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(A, a).

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

3) Строим окружность На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(C, b).

4) Пусть В — одна из точек пересечения окружностей На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(A, a) и На медиане треугольника как на диаметре построена окружность(C, b). Тогда треугольник ABC — искомый.

По построению АС = с, АВ = а, ВС = b.

Данная задача не всегда имеет решение. Известно, что в любом треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других его сторон. Таким образом, если длина какого-либо из данных отрезков больше суммы длин двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равны данным отрезкам.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Задачи на построение по геометрии
  • Угол — определение, виды, как обозначают с примерами
  • Перпендикулярные прямые в геометрии
  • Признаки равенства треугольников
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:ОГЭ Задание 26 Свойство касательныхСкачать

ОГЭ Задание 26 Свойство касательных

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:Геометрия Окружность, построена на стороне AC треугольника ABC как на диаметре, пересекает сторонеСкачать

Геометрия Окружность, построена на стороне AC треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороне

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Видео:Все виды №25 из банка ФИПИ ОГЭ по математикеСкачать

Все виды №25 из банка ФИПИ ОГЭ по математике

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

  • AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
  • AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Окружность на медиане как на диаметре

БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 16. Планиметрия с доказательством.

1. Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.
а) Докажите, что ∠ABM =∠DBС = 30°.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 9.

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

2. К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?
Ответ: б) 1:3

3. Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC=CD.
а) Докажите, что AB:BC = AP:PD.
б) Найдите площадь треугольника COD, где O— центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, а BC = 6√2.
Ответ: б) 18√3

4. В треугольнике ABC точки A 1 , B 1 , C 1 — середины сторон BC, AC и A B соответственно, AH— высота, ∠BAC = 60°, ∠BCA = 45°.
а) Докажите, что точки A1, B1, C1, H— лежат на одной окружности.
б) Найдите A1 H, если BC = 2√3.

5. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L— точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
Ответ: б) √10

6. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P.
а) Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.
б) Известно, что sin ∠AOC=√15/4. Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите отношение QK:KA.
Ответ: б) 1:4

7. Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что CN:CM = LB:LA.
б) Найдите MN, если LB:LA = 2:3, а радиус малой окружности равен √23.
Ответ: б) 115/6

8. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM:MC = 1:3.

9. Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 12.

10. Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.
а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD.
б) Пусть N— точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM:MC=1:3, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 18.

11. В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 5, AC = 8.
Ответ: б) 2,88

12. Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что ∠BAC =OBC+OCB.
а) Докажите, что точка H лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
б) Найдите угол OHI, если ∠ABC = 55°.

13. Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB = CQ:QB = CW:WD = 3:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW = 12, угол PWQ— острый.
а) Докажите, что треугольник PQW— прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

14. Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках C 1 , B 1 соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику AB 1 C 1 .
б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠ А = 45°, B 1 C 1 =6 и площадь треугольника AB 1 C 1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB 1 C 1 .

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

15. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч AC— биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 15 и BD = 8,5.

16. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N – середины катетов АС и ВС соответственно, СН – высота.
а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны
б) Пусть Р – точка пересечения прямых АС и NH, а Q – точка пересечения прямых ВС и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если АН = 12 и ВН = 3.

17. В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите sin ∠BMC если известно, что отрезок ВМ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
Ответ: б) 0,65

18. В треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.
а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны.
б) Найдите отношение ЕН:АС, если угол АВС равен 30.
Ответ: б) 3:4

19. Окружность, вписанная в треугольник KLM, касается сторон KL, LM, MK в точках A, B и C соответственно.
а) Докажите, что KC = (KL+KM-LM)/2 .

б) Найдите отношение LB:BM, если известно, что KC:CM = 3:2 и ∠ MKL = 60.
Ответ: б) 5:2

20. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если ∠BAD = 75° и BC =1.
Ответ: б) 3

21. Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K.
а) Докажите, что CK*CE = AB*CD.
б) Найдите отношение CK к KE, если ∠ ECD = 15.
Ответ: б) 2:1

22. В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса ∠ BAC пересекает прямую MN в точке L
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos ∠BAC = 7/25.
Ответ: б) 25:36

23. Окружность касается стороны AC остроугольного треугольника ABC и делит каждую из сторон AB и BC на три равные части.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону BC.
Ответ: б) 5:4

24. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке M. Точка Q лежит на меньшей дуге MB окружности с диаметром BC. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P.
а) Докажите, что прямые PM и QM перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если AM = 1, BM = 3, а Q – середина дуги MB.

25. Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.
а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.
б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 24 и BN = 23.

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

26. В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая – боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центр окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что AP/PD = sin ∠D.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 3 и 1.

На медиане треугольника как на диаметре построена окружность

27. В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.
а) Докажите, что sin ∠AOD = sin ∠ BOS.
б) Найдите площадь трапеции, если ∠ BAD = 90, а основания равны 5 и 7.

28. Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите площадь трапеции.

Поделиться или сохранить к себе: