На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

На клетчатой бумаге с размером клетки √13 см × √13 см изображён четырёхугольник ABCD

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

На клетчатой бумаге с размером клетки $√ $ см $×$ $√ $ см изображён четырёхугольник $ABCD$ (см. рис. ). Найдите его периметр.

Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, его стороны попарно равны. Из $△AMB$ $AB = √ = √ = √ = 13; AB = CD = 13$.

Итак, периметр $P = 2(AB + BC) = 2 · (13 + 26) = 2 · 39 = 78$.

Видео:Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Самый простой способ нахождения площади

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клеток 1 см х 1 см изображён четырёхугольник ABCD. Найдите диагональ BD.

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

Диагональ BD найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, показанного на рисунке ниже.

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

Катеты равны 3 и 4 см соответственно, следовательно, диагональ BD равна

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр.

Видео:Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!

Геометрия. Применение формул. Задача 5 Базового ЕГЭ по математике

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

В этой статье — основные типы заданий №5 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

Осталось умножить найденное значение синуса на

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр , где и — диагонали.

Получим: На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна

Площадь каждого из маленьких треугольников равна

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На клетчатой бумаге изображен четырехугольник найти периметр

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

🎦 Видео

Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.Скачать

Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.

ОГЭ по математике На клетчатой бумаге с размером 1х1 изображен параллелограммСкачать

ОГЭ по математике На клетчатой бумаге с размером 1х1 изображен параллелограмм

ОГЭ, математика, задание 18| Треугольник на клетчатой бумагеСкачать

ОГЭ, математика, задание 18| Треугольник на клетчатой бумаге

Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?Скачать

Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Формула Пика или Как найти площадь любой фигуры на клетчатой бумагеСкачать

Формула Пика или Как найти площадь любой фигуры на клетчатой бумаге

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

Площадь четырёхугольника на клетчатой бумагеСкачать

Площадь четырёхугольника на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник. Найдите его площадь.Скачать

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

ОГЭ 2019 Задание 19. Геометрия на клетчатой бумаге. Площади.Скачать

ОГЭ 2019 Задание 19. Геометрия на клетчатой бумаге. Площади.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРА

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРА

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.Скачать

На клетчатой бумаге с размером клетки  1×1  изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь фигуры ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь фигуры ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Что такое периметр. Как найти периметр многоугольника?Скачать

Что такое периметр. Как найти периметр многоугольника?

На клетчатой бумаге изображены два круга. Найдите площадь заштрихованной фигуры.Скачать

На клетчатой бумаге изображены два круга. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Как найти площадь фигуры#математика #площадьфигуры #геометрия #формулапика #репетиторСкачать

Как найти площадь фигуры#математика #площадьфигуры #геометрия #формулапика #репетитор

Как найти периметр фигуры по рисунку. ВПР по математике, 4 класс.Скачать

Как найти периметр фигуры по рисунку.  ВПР по математике, 4 класс.
Поделиться или сохранить к себе: