На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Отметьте неверное утверждение

1.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

На чертеже изображено пять точекДаНет
Четыре точки принадлежит плоскостиДаНет
Точка А лежит в плоскости, заданной параллельными прямымиДаНет
Точка Д лежит в плоскости, заданной параллельными прямымиДаНет
Точка F не лежит в плоскости, заданной параллельными прямымиДаНет

2.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Точка D не принадлежит плоскости, заданной параллельными прямымиДаНет
Прямая m лежит в плоскости, заданной параллельными прямымиДаНет
Точка F лежит в плоскости, заданной параллельными прямымиДаНет
Точка лежит в плоскости, если хотя бы одна проекция этой точки лежит в плоскостиДаНет
На чертеже изображены шесть прямыхДаНет

3. На каком чертеже прямая принадлежит плоскости, так как проходит через точку, принадлежащую этой плоскости параллельно прямой, лежащей в этой плоскости?

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

4. На каком чертеже задана профильная прямая плоскости?

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

5. На каком чертеже задана линия наибольшего ската плоскости?

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

6. На каком чертеже прямая не является главной линией плоскости?

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

7. На каком эпюре задана фронталь плоскости?

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Отметьте неверное утверждение

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

1.Прямая m — принадлежит плоскости (ab)
2. Прямая m — прямая общего положения
3. Точка F -принадлежит плоскости (ab)
4. Точка D -принадлежит плоскости (ab)
5. Точка A -принадлежит плоскости (ab)

9. На каком чертеже задана горизонталь плоскости?

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

10. На каком чертеже задана прямая, не принадлежащая плоскости?

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

11. На каком чертеже прямая общего положения принадлежит плоскости, так как проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости? На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

12. На каком чертеже задана прямая, параллельная плоскости?

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

13. На каком чертеже задана прямая, пересекающая плоскость?

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

14. На каком чертеже плоскость задана главными линиями?

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

15. На каком чертеже изображена прямая, которая является главной линией плоскости?

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

16. На каком чертеже прямая принадлежит плоскости, заданной пересекающимися прямыми общего положения?

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

17. На каком чертеже задана прямая, параллельная плоскости?

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

18. Какая прямая изображена на эпюре?

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

1.Линия наибольшего наклона (ската) плоскости (hf)
2. Фронталь плоскости (hf)
3. Горизонталь плоскости (hf)
4. Перпендикулярная плоскости (hf)
5. Профильная прямая плоскости (hf)

19. На каком чертеже прямая, принадлежащая плоскости, является её горизонталью?

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

20. На каком эпюре изображена прямая, не принадлежащая плоскости?

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

21. Какая прямая, принадлежащая плоскости, изображена на эпюре?

Содержание
  1. Лекция 3. Плоскость
  2. 3.1. Способы задания плоскости на ортогональных чертежах
  3. 3.2. Плоскости частного положения
  4. 3.3. Точка и прямая в плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости
  5. Упражнение
  6. 3.4. Главные линии плоскости
  7. 3.5. Взаимное положение прямой и плоскости
  8. 3.5.1. Параллельность прямой плоскости
  9. 3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью
  10. Упражнение
  11. Упражнение
  12. 3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек
  13. 3.7. Перпендикулярность прямой плоскости
  14. 3.8. Взаимное положение двух плоскостей
  15. 3.8.1. Параллельность плоскостей
  16. Упражнение
  17. 3.8.2. Пересечение плоскостей
  18. Упражнение
  19. Упражнение
  20. Упражнение
  21. Упражнение
  22. 3.8.3. Взаимно перпендикулярные плоскости
  23. Упражнение
  24. Упражнение
  25. 3.9. Задачи для самостоятельного решения
  26. Взаимное положение прямой и плоскости с примерами
  27. Взаимное положение примой и плоскости, двух плоскостей
  28. Перпендикулярность примой и плоскости
  29. Перпендикулярности двух плоскостей
  30. Параллельность прямой и плоскости
  31. Параллельность двух плоскостей
  32. Пересечение двух плоскостей
  33. Пересечение многогранника проецирующей плоскостью
  34. Взаимное положение двух плоскостей
  35. Пересечение плоскости общего положения с плоскостью частного положения
  36. Пересечение двух плоскостей общего положения
  37. Плоскости параллельны
  38. Взаимное положение прямой линии и плоскости
  39. Пересечение прямой линии с плоскостью частного положения
  40. Определение видимости на эпюрах
  41. Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения
  42. Прямая параллельна плоскости
  43. Прямая перпендикулярна плоскости
  44. Плоскости перпендикулярны

Видео:Лекция № 6 (1 часть)Основные позиционные задачи (принадлежность, параллельность)Скачать

Лекция № 6 (1 часть)Основные позиционные задачи (принадлежность, параллельность)

Лекция 3. Плоскость

Видео:Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.Скачать

Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.

3.1. Способы задания плоскости на ортогональных чертежах

Рисунок 3.1 – Способы задания плоскостей

Плоскость общего положения – это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

Следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Плоскость общего положения может иметь три следа: горизонтальный – απ1, фронтальный – απ2 и профильный – απ3, которые она образует при пересечении с известными плоскостями проекций: горизонтальной π1, фронтальной π2 и профильной π3 (Рисунок 3.2).

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.2 – Следы плоскости общего положения

Видео:Параллельность прямой к плоскостиСкачать

Параллельность прямой к плоскости

3.2. Плоскости частного положения

Плоскость частного положения – плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций.

Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии.

Свойство проецирующей плоскости : все точки, линии, плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, имеют проекции на наклонном следе плоскости (Рисунок 3.3).

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.3 – Фронтально-проецирующая плоскость, которой принадлежат: точки А, В, С; линии АС, АВ, ВС; плоскость треугольника АВС

Фронтально-проецирующая плоскость плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, а).

Горизонтально-проецирующая плоскость плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, б).

Профильно-проецирующая плоскость плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями.

Фронтальная плоскость уровня плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, в).

Горизонтальная плоскость уровня плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, г).

Профильная плоскость уровня плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (Рисунок 3.4, д).

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.4 – Эпюры плоскостей частного положения

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

3.3. Точка и прямая в плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (Рисунок 3.5). Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки (Рисунок 3.6).

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.5 – Принадлежность точки плоскости

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.6 – Принадлежность прямой плоскости

left.beginalpha=mparallel n,\Dinalpha\Cinalpha\endright> Longrightarrow CDinalpha

Видео:Пересечение плоскостей, заданных параллельными и пересекающимися прямымиСкачать

Пересечение плоскостей, заданных параллельными и пересекающимися прямыми

Упражнение

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.7 – Решение задачи

Решение :

  1. ABCD – плоский четырехугольник, задающий плоскость.
  2. Проведём в нём диагонали AC и BD (Рисунок 3.7, б), которые являются пересекающимися прямыми, также задающими ту же плоскость.
  3. Согласно признаку пересекающихся прямых, построим фронтальную проекцию точки пересечения этих прямых — K: A2C2B2D2=K2.
  4. Восстановим линию проекционной связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой BD: на проекции диагонали B1D1 строим К1.
  5. Через А1К1 проводим проекцию диагонали А1С1.
  6. Точку С1 получаем, посредством линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией продолженной диагонали А1К1.

Видео:Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекции

3.4. Главные линии плоскости

В плоскости можно построить бесконечное множество прямых, но есть особые прямые, лежащие в плоскости, называемые главными линиями плоскости (Рисунок 3.8 – 3.11).

Прямой уровня или параллелью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная одной из плоскостей проекций.

Горизонталь или горизонтальная прямая уровня h (первая параллель) – это прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (π1) (Рисунок 3.8, а; 3.9).

Фронталь или фронтальная прямая уровня f (вторая параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (π2) (Рисунок 3.8, б; 3.10).

Профильная прямая уровня p (третья параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (π3) (Рисунок 3.8, в; 3.11).

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Интерактивная модель Горизонталь плоскости
На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.8 а – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Интерактивная модель Фронталь плоскости
На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.8 б – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Интерактивная модель Профильная прямая плоскости
На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.8 в – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.9 – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.10 – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.11 – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Видео:Следы прямой Взаимное положение двух прямыхСкачать

Следы прямой  Взаимное положение двух прямых

3.5. Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая по отношению к заданной плоскости может быть параллельной и может с ней иметь общую точку, то есть пересекаться.

3.5.1. Параллельность прямой плоскости

Признак параллельности прямой плоскости : прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (Рисунок 3.12).

alpha=mcap n\left.begina_2parallel m_2\a_1parallel m_1\endright> Rightarrow aparallelalpha

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.12 – Параллельность прямой плоскости

3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (Рисунок 3.13), необходимо:

  1. Заключить прямую а во вспомогательную плоскость β (в качестве вспомогательной плоскости следует выбирать плоскости частного положения);
  2. Найти линию пересечения вспомогательной плоскости β с заданной плоскостью α;
  3. Найти точку пересечения заданной прямой а с линией пересечения плоскостей MN.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.13 – Построение точки встречи прямой с плоскостью

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Упражнение

Заданы: прямая АВ общего положения, плоскость σ⊥π1. (Рисунок 3.14). Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью σ.

Решение :

    1. Точка К должна принадлежать прямой АВК1А1В и заданной плоскости σ ⇒ К1∈σ, следовательно, К1 находится в точке пересечения проекций А1В1 и σ1;
    2. Плоскость σ – горизонтально-проецирующая, следовательно, горизонтальной проекцией плоскости σ является прямая σ1 (горизонтальный след плоскости);
    3. Фронтальную проекцию точки К находим посредством линии проекционной связи: К2А2В2.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.14 – Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

Видео:Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать

Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольника

Упражнение

Заданы: плоскость σ = ΔАВС – общего положения, прямая EF (Рисунок 3.15).

Требуется построить точку пересечения прямой EF с плоскостью σ.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.15 – Пересечение прямой с плоскостью

Решение:

  1. Заключим прямую EF во вспомогательную плоскость, в качестве которой воспользуемся горизонтально-проецирующей плоскостью α (Рисунок 3.15, а);
  2. Если α⊥π1, то на плоскость проекций π1 плоскость α проецируется в прямую (горизонтальный след плоскости απ1 или α1), совпадающую с E1F1;
  3. Найдём прямую пересечения (1-2) проецирующей плоскости α с плоскостью σ (решение подобной задачи будет рассмотрено ниже);
  4. Прямая (1-2) и заданная прямая EF лежат в одной плоскости α и пересекаются в точке K.

Алгоритм решения задачи (Рисунок 3.15, б): Через EF проведем вспомогательную плоскость α:

  1. left.beginalpha perp pi_1\alphain EF\endright> Longrightarrow alpha_1in E_1F_1
  2. alphacapsigma=(1-2)left.begin|alpha_1cap A_1C_1=1_1longrightarrow 1_2\|alpha_1cap A_1B_1=2_1longrightarrow 2_2\endright.
  3. (1_2-2_2)cap E_2F_2=K_2\left.beginKin EF\Kin (1-2)Rightarrow Kinsigma\endright>Longrightarrow K=EFcap (sigma =triangle ABC)

Видео:Построение следов плоскостиСкачать

Построение следов плоскости

3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек

При оценке положения данной прямой, необходимо определить – точка какого участка прямой расположена ближе (дальше) к нам, как к наблюдателям, при взгляде на плоскость проекций π1 или π2.
Точки, которые принадлежат разным объектам, а на одной из плоскостей проекций их проекции совпадают (то есть, две точки проецируются в одну), называются конкурирующими на этой плоскости проекций.
Необходимо отдельно определить видимость на каждой плоскости проекций.
Видимость на π2 (рис. 3.15)
Выберем точки, конкурирующие на π2 – точки 3 и 4. Пусть точка 3∈ВС∈σ, точка 4∈EF.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π2 надо определить расположение этих точек на горизонтальной плоскости проекций при взгляде на π2.
Направление взгляда на π2 показано стрелкой.
По горизонтальным проекциям точек 3 и 4, при взгляде на π2, видно, что точка 41 располагается ближе к наблюдателю, чем 31.
41E1F1 ⇒ 4∈EF ⇒ на π2 будет видима точка 4, лежащая на прямой EF, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена перед плоскостью σ и будет видима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимость на π1.
Для определения видимости выберем точки, конкурирующие на π1 – точки 2 и 5.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π1 надо определить расположение этих точек на фронтальной плоскости проекций при взгляде на π1.
Направление взгляда на π1 показано стрелкой.
По фронтальным проекциям точек 2 и 5, при взгляде на π1, видно, что точка 22 располагается ближе к наблюдателю, чем 52.
22А2В2 ⇒ 2∈АВ ⇒ на π1 будет видима точка 2, лежащая на прямой АВ, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена под плоскостью σ и будет невидима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимой из двух конкурирующих точек будет та, у которой координата «Z» или(и) «Y» больше.

Видео:Проецирование прямой общего положенияСкачать

Проецирование прямой общего положения

3.7. Перпендикулярность прямой плоскости

Признак перпендикулярности прямой плоскости : прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.16 – Задание прямой, перпендикулярной плоскости

Теорема. Если прямая перпендикулярна плоскости, то на эпюре: горизонтальная проекции прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (Рисунок 3.16, б)

Теорема доказывается через теорему о проецировании прямого угла в частном случае.

Если плоскость задана следами, то проекции прямой перпендикулярной плоскости перпендикулярны соответствующим следам плоскости (Рисунок 3.16, а).

Пусть прямая p перпендикулярна плоскости σ=ΔАВС и проходит через точку K.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

3.8. Взаимное положение двух плоскостей

3.8.1. Параллельность плоскостей

Две плоскости могут быть параллельными и пересекающимися между собой.

Признак параллельности двух плоскостей : две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Видео:Следы прямойСкачать

Следы прямой

Упражнение

Задана плоскость общего положения α=ΔАВС и точка F∉α (Рисунок 3.17).

Через точку F провести плоскость β, параллельную плоскости α.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.17 – Построение плоскости, параллельной заданной

Решение : В качестве пересекающихся прямых плоскости α возьмем, например, стороны треугольника АВ и ВС.

  1. Через точку F проводим прямую m, параллельную, например, АВ.
  2. Через точку F, или же через любую точку, принадлежащую m, проводим прямую n, параллельную, например, ВС, причём m∩n=F.
  3. β = m∩n и β//α по определению.
Интерактивная модель Параллельность двух плоскостей
На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

3.8.2. Пересечение плоскостей

Результатом пересечения 2-х плоскостей является прямая. Любая прямая на плоскости или в пространстве может быть однозначно задана двумя точками. Поэтому для того, чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, следует найти две точки, общие для обеих плоскостей, после чего соединить их.

Рассмотрим примеры пересечения двух плоскостей при различных способах их задания: следами; тремя точками, не лежащими на одной прямой; параллельными прямыми; пересекающимися прямыми и др.

Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

Упражнение

Рисунок 3.18 – Пересечение плоскостей общего положения, заданных следами

Порядок построения линии пересечения плоскостей:

  1. Найти точку пересечения горизонтальных следов — это точка М (её проекции М1 и М2, при этом М1, т.к. М – точка частного положения, принадлежащая плоскости π1).
  2. Найти точку пересечения фронтальных следов — это точка N (её проекции N1 и N2, при этом N2=N, т.к. N – точка частного положения, принадлежащая плоскости π2).
  3. Построить линию пересечения плоскостей, соединив одноименные проекции полученных точек: М1N1 и М2N2.

МN – линия пересечения плоскостей.

Видео:22. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространствеСкачать

22. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Упражнение

Решение:
Так как плоскость α пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС, то точки пересечения K и L этих сторон с плоскостью α являются общими для обеих заданных плоскостей, что позволит, соединив их, найти искомую линию пересечения.
Точки могут быть найдены как точки пересечения прямых с проецирующей плоскостью: находим горизонтальные проекции точек K и L, то есть K1 и L1 , на пересечении горизонтального следа (α1) заданной плоскости α с горизонтальными проекциями сторон ΔАВС: А1В1 и A1C1. После чего посредством линий проекционной связи находим фронтальные проекции этих точек K2 и L2 на фронтальных проекциях прямых АВ и АС. Соединим одноимённые проекции: K1 и L1; K2 и L2. Линия пересечения заданных плоскостей построена.

Алгоритм решения задачи :

left.beginABcapsigma=K\ACcapsigma=L\endright> left.beginRightarrow A_1B_1capsigma_1=K_1 rightarrow K_2\Rightarrow A_1C_1cap sigma_1=L_1 rightarrow L_2\endright.

KL – линия пересечения ΔАВС и σ (α∩σ = KL).

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.19 – Пересечение плоскостей общего и частного положения

Видео:Линия пересечения плоскостейСкачать

Линия пересечения плоскостей

Упражнение

Рисунок 3.20 – Пересечение двух плоскостей общего положения (общий случай)

Алгоритм решения задачи :

left.beginalphacapsigma=(4-5)\betacapsigma=(3-2)\endright>\left.beginalphacaptau=(6-7)\betacaptau=(1-8)\endright>left.begin(4_1-5_1)cap(3_1-2_1)=M_1rightarrow M_2\(6_1-7_1)cap(1_1-8_1)=N_1rightarrow N_2\endright>rightarrow\left.beginM_1N_1\M_2N_2\endright>Rightarrowalphacapbeta=MN

Видео:Задача 3.3. Через точку М провести горизонталь и фронталь.Скачать

Задача 3.3. Через точку М провести горизонталь и фронталь.

Упражнение

Заданы плоскости α = ΔАВС и β = a//b. Построить линию пересечения заданных плоскостей (Рисунок 3.21).

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.21 Решение задачи на пересечение плоскостей

Решение: Воспользуемся вспомогательными секущими плоскостями частного положения. Введём их так, чтобы сократить количество построений. Например, введём плоскость σ⊥π2, заключив прямую a во вспомогательную плоскость σ (σ∈a). Плоскость σ пересекает плоскость α по прямой (1-2), а σ∩β=а. Следовательно (1-2)∩а=K. Точка К принадлежит обеим плоскостям α и β. Следовательно, точка K, является одной из искомых точек, через которые проходит прямая пересечения заданных плоскостей α и β. Для нахождения второй точки, принадлежащей прямой пересечения α и β, заключим прямую b во вспомогательную плоскость τ⊥π2 (τb). Соединив точки K и L, получим прямую пересечения плоскостей α и β.

Видео:Точка встречи прямой с плоскостьюСкачать

Точка встречи прямой с плоскостью

3.8.3. Взаимно перпендикулярные плоскости

Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Видео:Построение недостающей проекции плоскости. Принадлежность прямой к плоскостиСкачать

Построение недостающей проекции плоскости. Принадлежность прямой к плоскости

Упражнение

Задана плоскость σ⊥π2 и прямая общего положения – DE (Рисунок 3.22)

Требуется построить через DE плоскость τ⊥σ.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рисунок 3.22 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости

По теореме о проецировании прямого угла C1D1 должна быть параллельна оси проекций. Пересекающиеся прямые CD∩DE задают плоскость τ. Итак, τ⊥σ. Аналогичные рассуждения, в случае плоскости общего положения.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)

Упражнение

Рисунок 3.23 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной ΔАВС

3.9. Задачи для самостоятельного решения

1. Задана плоскость α = m//n (Рисунок 3.24). Известно, что K∈α.

Постройте фронтальную проекцию точки К.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

2. Постройте следы прямой, заданной отрезком CB, и определите квадранты, через которые она проходит (Рисунок 3.25).

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

3. Постройте проекции квадрата, принадлежащего плоскости α⊥π2, если его диагональ MN //π2 (Рисунок 3.26).

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

4. Построить прямоугольник ABCD с большей стороной ВС на прямой m, исходя из условия, что отношение его сторон равно 2 (Рисунок 3.27).

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

5. Задана плоскость α=a//b (Рисунок 3.28). Построить плоскость β параллельную плоскости α и удаленную от нее на расстоянии 20 мм.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

6. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D плоскость β⊥α и β⊥π1.

7. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D прямую DE//α и DE//π1.

Взаимное положение прямой и плоскости с примерами

Содержание:

Проекции прямого угла:

Величина угла между двумя пересекающимися прямыми в общем случае на проекциях искажается. В натуральную величину этот угол будет проецироваться в том случае, если плоскость угла параллельна одной из плоскостей проекций. Тогда другие проекции сторон угла совпадают и параллельны оси проекций (рисунок 2.1).

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Прямой угол проецируется в натуральную величину, если одна из его сторон параллельна одной из плоскостей проекций (рисунок 2.2).

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Взаимное положение примой и плоскости, двух плоскостей

Прямая относительно плоскости может занимать следующие положения: лежать в плоскости (что рассматривалось ранее); быть ей параллельна; пересекать плоскость; быть перпендикулярной плоскости (т.е. пересекать под прямым углом).

Две плоскости могут быть:

  • взаимно параллельными,
  • пересекающимися;
  • взаимно перпендикулярными.

Перпендикулярность примой и плоскости

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в этой плоскости.

Так как прямой угол между прямыми линиями проецируется на плоскость проекций без искажения, если одна из прямых параллельна этой плоскости проекций, то пересекающимися прямыми плоскости, которые нужно взять для построения перпендикуляра, могут быть только ее горизонталь и фронталь.

Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости, если ее фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции фронгали плоскости, а горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

На рисунке 2.3 через точку На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nпроведена прямая, перпендикулярная плоскости На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

В плоскости На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nпроведены горизонталь На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nи фронтальНа каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n, затем через На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nпроведена горизонтальная проекция перпендикуляра На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nпод прямым углом к На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nа через точку На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nфронтальная проекция перпендикуляра На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nиод прямым углом к На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nПрямые На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nесть проекции искомого перпендикуляра р.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Перпендикулярности двух плоскостей

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержи! перпендикуляр к другой.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Пусть через данную прямую т необходимо провести плоскость, перпендикулярную плоскости а. заданной треугольником На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n(рисунок 2.4).

Для решения задачи достаточно на прямой т взять произвольную точку А и провести через нее прямую р, перпендикулярную данной плоскости На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n.

Пересекающиеся прямые m и р образуют плоскость На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nкоторая содержит прямую р, перпендикулярную плоскости На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nследовательно, плоскости (i и На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nвзаимно перпендикулярны.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Параллельность прямой и плоскости

Условие параллельности прямой и плоскости:

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Рассмотрим пример решения задачи на параллельности прямой и плоскости.

Задача: построить фронтальную проекцию прямой n, проходящей через точку А и параллельной На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Для решения задачи:

Проводим горизонтальную проекцию прямой На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nв плоскости На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Строим фронтальную проекцию На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Через точку На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nпроводим На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nпараллельную На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nТаким образом получим: На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Параллельность двух плоскостей

Условие параллельности двух плоскостей:

  • две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Изображенные на рисунке 2.6 плоскости На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nвзаимнопараллельныe, т.к. На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nПересечение прямой и плоскости

Задача на нахождение точки пересечения прямой линии с плоскостью является первой основной позиционной задачей курса начертательной геометрии.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Алгоритм решения задачи (рисунок 2.7):

1. Прямую На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nзаключаем во вспомогательную плоскость На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n(удобнее всего в проецирующую);

2. Находим линию пересечения (1-2) вспомогательной плоскости с заданнойНа каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

3. Отмечаем точку пересечения К найденной линии пересечения (1-2) с заданной прямойНа каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

4. Определяем видимость прямой На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nНа основании данного алгоритма определим точку пересечения прямой На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nс плоскостью На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n(рисунок 2.8) и с плоскостьюНа каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Пересечение двух плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой линии, поэтому для её построения достаточно найти две точки одновременно принадлежащие двум плоскостям.

Рассмотрим несколько случаев построения линии пересечения двух плоскостей.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

1-й случай — пластины непрозрачные заданы с нахлёстом (рисунок 2.10).

Задача сводится к нахождению точек пересечения прямых m и n с плоскостью а. На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nСоединив точки пересечения К и М получим линию пересечения плоскости На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nс плоскостью На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nВидимость определяется по конкурирующим точкам.

2-й случай — плоскости заданы на некотором расстоянии, что не дает возможность определить линии пересечения двух плоскостей первым способом. В этом случае используется метод плоскостей-посредников.

Алгоритм решения задачи (рисунок 2.11):

  1. Заданные плоскости На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nрассекаем вспомогательной плоскостью посредником На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n
  2. Определяем линию пересечения 1-2 плоскости а с плоскостью а и линию пересечения 3-4 плоскости На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nс плоскостью На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n
  3. Определяем точку К — точку пересечения линий 1-2 и 3-4, принадлежащую плоскостям На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n
  4. Аналогичным образом находим точку L с помощью плоскости посредника На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n
  5. Соединив две точки К и М, получим линию пересечения двух плоскостей На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Видимость при этом не определяется.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

3-й случай — пересекающиеся плоскости общего положения заданы следами пересекающимися в пределах чертежа (рисунок 2.12).

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

В данном случае в качестве плоскостей-посредников могут быть использованы плоскость проекцийНа каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n.

Пересечение многогранника проецирующей плоскостью

Так как секущая плоскость горизонтально-проецирующая, то фронтальную проекцию сечения можно построить, определив точку пересечения каждого ребра с плоскостью о (рисунок 2.13) На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Взаимное положение двух плоскостей

Две плоскости могут принадлежать одна другой; быть параллельны или пересекаться.

Пересечение плоскостей. Линия пересечения двух плоскостей -прямая. Положение прямой в пространстве определяют две точки. Чтобы найти линию пересечения плоскостей, достаточно знать две точки, принадлежащие двум плоскостям одновременно.

Пересечение плоскости общего положения с плоскостью частного положения

На рис. 27 показано построение линии пересечения фронтально-проецирующей плоскости Р с плоскостью треугольника AВС.
Так как линия пересечения двух плоскостей принадлежит фронтально-проецирующей плоскости Р, то ее фронтальная проекция На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nсовпадает с фронтальным следом На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nплоскости Р. Горизонтальная проекция искомой линии пройдет через точки На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nи На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nрасположенные на горизонтальных проекциях и АС соответствующих сторон треугольника (рис. 27).

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Пересечение двух плоскостей общего положения

Задача. Построить линию пересечения двух плоскостей общего положения На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Алгоритм решения задачи (рис. 28)

  1. Вводим вспомогательную секущую плоскость Q общего положения На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n
  2. Находим линии пересечения вспомогательной плоскости Q с двумя заданными Р и Т:На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n
  3. Определяем точку пересечения построенных линий: На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nТочка М принадлежит одновременно плоскостям Р и Т, следовательно, она принадлежит линии их пересечения.
  4. Для нахождения второй общей точки вводим еще одну секущую плоскость и повторяем построения (п.2, п.З). Решение этой задачи на эпюре показано на рис. 29:

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Согласно алгоритму решения задачи проводим вспомогательные секущие плоскости частного положения На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n— их фронтальные следы). Вспомогательные На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nплоскости пересекают заданные плоскости по линиям А-1, 2-3 и 4-5, 6-7. В пересечении этих линий будут точки На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nпринадлежащие линии пересечения двух плоскостей. На рис. 30, а плоскости общего положения Р и Q заданы следами. Линия их пересечения MN пройдет через точки пересечения одноименных следов плоскостей. В точке N пересекаются фронтальные следы плоскостей, в точке М -горизонтальные. Проекциями линии пересечения будут прямые На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nи На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nНа рис. 30,6 показано построение линии пересечения плоскостей на эпюре.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Плоскости параллельны

Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости.

Изображенные на рис. 31 плоскости На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nи На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nпараллельны, т.к. На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Плоскости общего положения также параллельны, если два любых одноименных следа параллельны между собой.

Изображенные на рис. 32 плоскости Р и Q параллельны, т.к. На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Взаимное положение прямой линии и плоскости

Прямая может лежать в плоскости, пересекать плоскость и быть параллельной плоскости.

Пересечение прямой линии с плоскостью частного положения

Если заданная плоскость перпендикулярна к какой-либо плоскости проекций (рис.33, а), то она проецируется на эту плоскость проекций в виде прямой линии, на которой обязательно будут находиться соответствующие проекции всех точек, принадлежащих данной плоскости, в том числе и проекции точки пересечения какой-то прямой с заданной плоскостью (точка встречи прямой с плоскостью). Поэтому точка встречи прямой с плоскостью частного положения находится па эпюре без дополнительных построений (рис. 33,6).

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

На рис. 34 точка встречи прямой EF с горизонтально-проецирующей плоскостью, заданной треугольником ABC, является точкой пересечения горизонтальных проекций На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nи прямой и На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nтреугольника. Фронтальная проекция На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nточки пересечения лежит на линии проекционной связи, проведенной из точки На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nдо пересечения с фронтальной проекций прямой EF. Принято считать, что всякая плоскость (в том числе и плоскость проекций) непрозрачна. Поэтому часть прямой, которая находится за плоскостью, является невидимой и показана на эпюрах (рис. 33,6; 34) штриховой линией.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Определение видимости на эпюрах

Вопрос о видимости линий или поверхностей всегда может быть сведен к вопросу о видимости точек. Если несколько точек находятся на общей для них линии связи, то видимой будет только одна из них — наиболее удаленная от той плоскости проекций, по отношению к которой определяется видимость.

Точки, расположенные на одной линии связи, называются конкурирующими. Точки А, В и С, D — конкурирующие (рис. 35).

Относительно плоскости проекций На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nвидимой будет точка А; относительно плоскости проекций На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nвидимой будет точка D, т. е. относительно плоскости На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nвидимой будет та точка, фронтальная проекция которой находится дальше от оси На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nа относительно плоскости На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nвидимой будет та точка, горизонтальная проекция которой находится дальше от оси На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nАналогично: относительно плоскости На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nвидимой будет та точка, горизонтальная проекция которой будет находиться дальше от оси На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения

Точку пересечения прямой линии АВ с плоскостью общего положения Р (рис. 36) находят следующим образом:

  • а) через заданную прямую АВ проводим некоторую вспомогательную плоскость Q, обычно плоскость частного положения;
  • б) строим линию пересечения 1-2 заданной плоскости Р и вспомогательной Q;
  • в) находим положение точки пересечения данной прямой АВ и линии пересечения 1-2 плоскостей (точки К).
  • г) определяем видимость прямой АВ по отношению к плоскости Р.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Пошаговые построения по определению точки пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника CDE на эпюре приведены на рис. 37 (а-в).

Видимость прямой АВ относительно плоскости Р (рис. 37,г) определяем с помощью двух пар конкурирующих точек На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nи На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nРассматривая пару точек 1 и 1′ , конкурирующих относительно горизонтальной плоскости проекций, видим, что точка На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nвыше. Точка На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nследовательно, прямая АВ расположена выше плоскости, поэтому относительно плоскости На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nчасть прямой На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nвидима, а ее часть На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nзакрыта плоскостью.

Аналогично, используя конкурирующие точки На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nи На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nопределяем видимость прямой АВ и плоскости по отношению к фронтальной плоскости проекций.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Задачи, на построение линии пересечения плоскостей, заданных пересекающимися прямыми, можно решать подобно задаче на пересечение прямой с плоскостью.

Одна из изображенных на рис. 38 плоскостей задана треугольником AВС, а вторая — двумя параллельными прямыми с и f.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Линия пересечения этих плоскостей (линия MN) определена при помощи построения точек встречи прямых с и f с плоскостью треугольника. Для этого через прямую с проведена фронтально — проецирующая плоскость S. Прямая 1-2 — линия пересечения плоскости треугольника с вспомогательной фронтально-проектирующей плоскостью S. Точка М — точка встречи прямой с с плоскостью треугольника AВС.

Точка N найдена аналогично. Прямая MN — искомая. Видимость на рис. 86 определена из условия, что заданные плоскости ограничены треугольником и двумя параллельными прямыми, определяющими их.

Прямая параллельна плоскости

Если прямая линия параллельна какой-либо прямой, находящейся в плоскости, то она параллельна этой плоскости. Следовательно, для построения прямой, параллельной заданной плоскости, надо взять в этой плоскости какую — либо прямую и построить ей параллельную.

На рис. 39 через точку С проведена прямая d, параллельная плоскости Р, заданной пересекающимися прямыми т и п.

Прямая d параллельна прямой n, принадлежащей плоскости На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nследовательно, прямая d параллельна этой плоскости:

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Прямая перпендикулярна плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Чтобы построить перпендикуляр из точки D на плоскость треугольника AВС (рис.40) необходимо предварительно построить
горизонталь На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nи фронталь плоскости На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nГоризонтальная проекция перпендикуляра пройдет через точку На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nперпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nа фронтальная проекция — перпендикулярно к фронтальной проекции фронтали На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Если же плоскость задана следами, то, учитывая, что фронтальная проекция любой фронтали в этой плоскости всегда параллельна фронтальному следу плоскости, а горизонтальная проекция любой горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости, легко видеть (рис. 41), что проекции перпендикуляра к плоскости должны быть перпендикулярны соответствующим следам плоскости.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Плоскости перпендикулярны

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. На рис. 42 через прямую АВ проведена плоскость, перпендикулярная плоскости треугольника CDE. Для этого из точки В прямой АВ восстановлен перпендикуляр ВК к плоскости треугольника На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n— фронталь и горизонталь плоскости треугольника CDЕ ). Плоскость, определяемая пересекающимися прямыми АВ и ВК— искомая.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Если возникает необходимость в построении взаимно перпендикулярных прямых общего положения, необходимо построить плоскость, перпендикулярную заданной прямой, и взять в ней любую прямую.

Задача.

Через точку М провести прямую, перпендикулярную прямой На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Для построения взаимно перпендикулярных прямых (рис. 43), одна из которых На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nзадана, а вторая (чтобы задача имела единственное решение) должна проходить через какую-либо определенную точку М, надо выполнить следующее:

  • а) через заданную точку M проводим плоскость На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nперпендикулярную заданной прямой На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n
  • б) находим точку пересечения заданной прямой На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nс построенной плоскостью Q — точку К (для этого прямую На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nзаключаем во вспомогательную фронтально -проецирующую плоскость Р);
  • в) соединяем заданную точку М с найденной точкой К прямой линией. Эта линия МК и будет искомой.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Задача:

Определить расстояние от точки до плоскости, заданной треугольником ABC (рис.44)

Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Поэтому решение этой задачи выполняем в следующей последовательности:

1. Из точки D опускаем перпендикуляр на плоскость треугольника AВС (рис.44, а), для этого в плоскости треугольника проводим горизонталь На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nи фронталь На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nзатем из точки На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nопускаем перпендикуляр на На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n— получаем фронтальную проекцию перпендикуляра; а из точки На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n-на На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n— получаем горизонтальную проекцию перпендикуляра к плоскости На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

2. Находим точку пересечения перпендикуляра с плоскостью На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nзаключаем перпендикуляр во вспомогательную секущую плоскость Р; строим линию пересечения плоскости На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nс плоскостью Р; определяем искомую точку К в пересечении перпендикуляра и построенной линии пересечения 3-4 (рис. 44,6).

3. Методом прямоугольного треугольника определяем натуральную величину отрезка DK, для чего в плоскости На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n(рис. 44,в) строим прямоугольный треугольник один катет которого является горизонтальной проекций перпендикуляра, а второй равен разности высот точек D и К. Гипотенуза На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и nпостроенного треугольника определяет искомое расстояние от точки D до плоскости треугольника ABC.

На каком чертеже прямая ав параллельна плоскости заданной пересекающимися прямыми m и n

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Инженерная графика
  2. Начертательная геометрия
  3. Компас
  4. Автокад
  5. Черчение
  6. Проекционное черчение
  7. Аксонометрическое черчение
  8. Строительное черчение
  9. Техническое черчение
  10. Геометрическое черчение
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Решение метрических задач
  • Тени в ортогональных проекциях
  • Кривые поверхности
  • Пересечения криволинейных поверхностей
  • Образование и задание поверхности на чертеже
  • Пересечение поверхности плоскостью и прямой
  • Развертки поверхностей
  • Способы преобразования проекций

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Поделиться или сохранить к себе: