Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Содержание
  1. Определения параллельных прямых
  2. Признаки параллельности двух прямых
  3. Аксиома параллельных прямых
  4. Обратные теоремы
  5. Пример №1
  6. Параллельность прямых на плоскости
  7. Две прямые, перпендикулярные третьей
  8. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  9. Признаки параллельности прямых
  10. Пример №2
  11. Пример №3
  12. Пример №4
  13. Аксиома параллельных прямых
  14. Пример №5
  15. Пример №6
  16. Свойства параллельных прямых
  17. Пример №7
  18. Пример №8
  19. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  20. Расстояние между параллельными прямыми
  21. Пример №9
  22. Пример №10
  23. Справочный материал по параллельным прямым
  24. Перпендикулярные и параллельные прямые
  25. Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными
  26. 1. Верно ли, что если две параллельные прямые пересечены секущей, то односторонние углы могут быть острыми?
  27. 🌟 Видео

Видео:две прямые перпендикулярные третьей неСкачать

две прямые перпендикулярные третьей не

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, но не принадлежит прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными. Говорят, что прямые Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымипересекаются в точке М.
Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Это можно записать так: Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными— знак принадлежности точки прямой, «Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымипараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиперпендикулярны (рис. 12), то пишут Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиb.
  2. Если Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 = 90°, то а Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиАВ и b Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиb.
  3. Если Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиОFА = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2). Из равенства этих треугольников следует, что Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиЗ = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными4 и Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными5 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными6.
  6. Так как Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными5 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными6 следует, что Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными6 = 90°. Получаем, что а Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиFF1 и b Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиFF1, а аМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными
2) Заметим, что Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 и Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3 следует, что Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиAOF = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 + Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3 + Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиl + Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 = 180° и Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3 + Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 = 180° следует, что Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиF и Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3. Кроме того, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3 и Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3 следует, что Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными4 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиBAF. Действительно, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными4 и Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиFAC равны как соответственные углы, a Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиFAC = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 + Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 = 180° (рис. 97, а).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 + Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3= 180°.

4) Из равенств Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными= Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3 и Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 + Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3 = 180° следует, что Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 + Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиBAF + Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Так как Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 = 90°, то и Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 = 90°, а, значит, сМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||Скачать

Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымипараллельны, то есть Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, лучи АВ и КМ.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, то Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными(рис. 161).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, перпендикулярную прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии строят другую перпендикулярную прямую Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, затем — третью прямую Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии т. д. Поскольку прямые Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиперпендикулярны одной прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, то из указанной теоремы следует, что Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, параллельной прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, то Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымитретьей прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3 иМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными5,Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными4 иМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 иМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными8,Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 иМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 иМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными6,Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3 иМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными7,Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 иМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными5,Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными4 иМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными8 — соответственные углы;
  • Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3 иМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными6,Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными4 иМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными5 — внутренние односторонние углы;
  • Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 иМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными7,Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 иМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными— данные прямые, АВ — секущая, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 (рис. 166).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Доказать: Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии продлим его до пересечения с прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымив точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 по условию, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиBMK =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиANM =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиBKM = 90°. Тогда прямые Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 (рис. 167).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Доказать: Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии секущей Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиl +Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 = 180° (рис. 168).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Доказать: Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии секущей Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиAOB = Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиBAO=Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиBAK = 26°, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиBAC = 2 •Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиADK +Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1=Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2. Так как Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными||Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными.

Реальная геометрия

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымипроходит через точку М и параллельна прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымив некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными||Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными(рис. 187).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Доказать: Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными||Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными.

Доказательство:

Предположим, что прямые Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымине параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, параллельные третьей прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными||Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2,Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3 =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными4. Доказать, что Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымипо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными. Так как Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, то Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымипо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, которая параллельна прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымипо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымине пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, которые параллельны прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымипересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, АВ — секущая,Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 иМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Доказать: Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2.

Доказательство:

Предположим, чтоМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымипо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, параллельные прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными— секущая,Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 иМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 — соответственные (рис. 196).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Доказать:Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными— секущая,Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 иМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Доказать:Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиl +Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 +Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3 = 180°. По свойству параллельных прямыхМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиl =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3 как накрест лежащие. Следовательно,Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиl +Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, т. е.Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 = 90°. Согласно следствию Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, т. е.Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 = 90°.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиАОВ =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиABD =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиADB =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымипараллельны, то пишут: Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными(рис. 211).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2 =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными3. Значит,Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными1 =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными2.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии АВМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, то расстояние между прямыми Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, А Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, С Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, АВМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, CDМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиCAD =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиравны (см. рис. 285). Прямая Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, проходящая через точку А параллельно прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, которая параллельна прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымибудет перпендикуляром и к прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиBAD +Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Тогда Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, параллельную прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Тогда Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными|| Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиравноудалены от прямых Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымина расстояние Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, то есть расстояние от точки М до прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиравно Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными. Но через точку К проходит единственная прямая Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, параллельная Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными. Значит, точка М принадлежит прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными.

Таким образом, все точки прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиравноудалены от прямых Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными. Прямая Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиМогут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными— параллельны.

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымии Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярнымиесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Могут ли две прямые параллельные третьей быть перпендикулярными

Какие из следующих утверждений верны?

1) Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.

2) В любой прямоугольной трапеции есть два равных угла.

3) Все диаметры окружности равны между собой.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Рассмотрим каждое из следующих утверждений.

1) Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны — неверно, две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

2) В любой прямоугольной трапеции есть два равных угла — верно, они прямые.

3) Все диаметры окружности равны между собой — верно.

Видео:7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямыеСкачать

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямые

1. Верно ли, что если две параллельные прямые пересечены секущей, то односторонние углы могут быть острыми?

2. Могут ли две прямые, перпендикулярные к третьей, быть параллельными?

3. Две параллельные прямые пересечены секущей. Известно, что среди образовавшихся углов есть два тупых угла. Сколько острых углов образовалось?

4. Две параллельные прямые пересечены секущей. Из восьми образовавшихся углов выбираются три, сума которых меньше 1800. Выберите верный вариант окончания утверждения: «среди выбранных углов обязательно есть . (накрест лежащие, односторонние, соответственные) «.

5. Сформулируйте теорему, обратную теореме о вертикальных углов. Будет ли верна такая теорема?

🌟 Видео

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Геометрия 7 класс (Урок№33 - Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№33 - Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые.)

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 класс

Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

Перпендикулярные прямые. 6 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№7 - Перпендикулярные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№7 - Перпендикулярные прямые.)

Эксперт (Короткометражка, Русский дубляж)Скачать

Эксперт (Короткометражка, Русский дубляж)

Перпендикулярные и параллельные прямые. Математика 6 классСкачать

Перпендикулярные и параллельные прямые. Математика 6 класс

Параллельные и перпендикулярные прямые.Скачать

Параллельные и перпендикулярные прямые.

Перпендикулярные прямыеСкачать

Перпендикулярные прямые

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Перпендикулярные прямые - 7 класс геометрияСкачать

Перпендикулярные прямые - 7 класс геометрия

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.
Поделиться или сохранить к себе: