Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Две пересекающиеся хорды окружности принадлежат плоскости?

Геометрия | 10 — 11 классы

Две пересекающиеся хорды окружности принадлежат плоскости.

Верно ли утверждение, что любая точка окружности принадлежит этой плоскости?

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

По тереме (Через прямую и точку не лежащую на этой прямой проходит плоскость и притом только одна) все точки окружности лежат в этой плоскости.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Содержание
  1. Окружность имеет с плоскостью две общие точки?
  2. Из точки А окружности проведены две хорды, пересекающие окружность в точке В и С?
  3. Какое из следующих утверждений верно?
  4. Метод от противного1) Даны плоскость а и четырехугольник АВСД?
  5. 1Хорда окружности принадлежит плоскости, верно ли утверждение, что и вся окружность лежит в этой плоскости?
  6. Верно ли утверждение : Если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?
  7. Верно ли утверждение, что плоскости параллельны, если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым другой плоскости?
  8. Верно ли утверждение : через две точки пространства проходит плоскость и при том только одна?
  9. Даны две плоскости а и в, пересекающиеся под углом 30°?
  10. Аксиомы стереометрии?
  11. Доказать две параллельные хорды одной окружности
  12. Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
  13. Отрезки и прямые, связанные с окружностью
  14. Свойства хорд и дуг окружности
  15. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
  16. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
  17. Теорема о бабочке
  18. Равные хорды
  19. Две хорды из одной точки окружности
  20. Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
  21. Отрезки и прямые, связанные с окружностью
  22. Свойства хорд и дуг окружности
  23. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
  24. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
  25. Теорема о бабочке
  26. Хорда окружности — определение, свойства, теорема
  27. Хорда в геометрии
  28. Свойства отрезка окружности
  29. Ключевая теорема
  30. Касательная и секущая
  31. Решение задач
  32. В круге из одной точки окружности проведены 2 хорды под углом 120 градусов друг к другу ?
  33. СРОЧНО?
  34. В круге радиуса R проведены по одну сторону центра две параллельные хорды, из которых одна стягивает дугу в 120°, а другая в 60°?
  35. Две хорды пересекаются внутри круга?
  36. 1. ОДНА ИЗ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ХОРД ТОЧКОЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДЕЛИТСЯ ПОПОЛАМ А ДРУГАЯ НА ОТРЕЗКИ 4 СМ?
  37. В круге радиуса R проведены по одну сторону центра две параллельные хорды, из которых одна стягивает дугу в 120°, а другая в 60°?
  38. В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды равной длины?
  39. #1) Дана окружность радиуса 6 см ?
  40. 2. ДВЕ ХОРДЫ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ВНУТРИ КРУГА?
  41. ДВЕ ХОРДЫ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ВНУТРИ КРУГА?
  42. Хорда окружности 8 из корней 2 стягивает дугу в 90 градусов найдите длину дуги и площадь большей части круга на которые его разделила хорда?
  43. Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
  44. Отрезки и прямые, связанные с окружностью
  45. Свойства хорд и дуг окружности
  46. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
  47. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
  48. Теорема о бабочке

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Окружность имеет с плоскостью две общие точки?

Окружность имеет с плоскостью две общие точки.

Верно ли , что все точки окружности принадлежат этой плоскости?

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Из точки А окружности проведены две хорды, пересекающие окружность в точке В и С?

Из точки А окружности проведены две хорды, пересекающие окружность в точке В и С.

Чему равна длина хорды СВ, если угол ВАС = 45 градусов, а радиус 4корня из2.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Видео:№8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскостиСкачать

№8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости

Какое из следующих утверждений верно?

Какое из следующих утверждений верно?

А) Если две точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в этой плоскости ; б) прямая, лежащая в плоскости треугольника, пересекает две его стороны ; в) любые две плоскости имеют только одну общую точку ; г) через две точки проходит плоскость и притом только одна ; д) прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она пересекает две прямые, содержащие стороны треугольника.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Видео:10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Метод от противного1) Даны плоскость а и четырехугольник АВСД?

Метод от противного

1) Даны плоскость а и четырехугольник АВСД.

Может ли плоскость а принадлежать : 1) только одна вершина?

2) только две вершины?

3) только три вершины?

2) Каждая ли точка дуги окружности принадлежит плоскости а, если известно, что этой плоскости принадлежат : 1) две различные точки дуги?

2) три различные точки дуги?

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

1Хорда окружности принадлежит плоскости, верно ли утверждение, что и вся окружность лежит в этой плоскости?

1Хорда окружности принадлежит плоскости, верно ли утверждение, что и вся окружность лежит в этой плоскости?

2. 2 пересекающиеся хорды окружности принадлежать одной плоскости.

Верно ли утверждение, что любая точка окружности принадлежит этой плоскости?

3. средняя линия трапеции лежит в плоскости альфа.

Пересекает ли основание трапеции эту плоскость?

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Верно ли утверждение : Если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

Верно ли утверждение : Если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости.

Поясните, пожалуйста, по подробнее.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Верно ли утверждение, что плоскости параллельны, если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым другой плоскости?

Верно ли утверждение, что плоскости параллельны, если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым другой плоскости?

(прямые не пересекающиеся).

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Видео:ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ 10 класс стереометрияСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ 10 класс стереометрия

Верно ли утверждение : через две точки пространства проходит плоскость и при том только одна?

Верно ли утверждение : через две точки пространства проходит плоскость и при том только одна?

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Видео:Две окружности на плоскости. Математика. 6 класс.Скачать

Две окружности на плоскости. Математика. 6 класс.

Даны две плоскости а и в, пересекающиеся под углом 30°?

Даны две плоскости а и в, пересекающиеся под углом 30°.

Точка а принадлежит плоскости а и удалена от плоскости в на 12 см.

Найти расстояние от точки А до прямой пересечения этих плоскостей.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Видео:Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)Скачать

Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)

Аксиомы стереометрии?

Параллельность прямой и плоскости.

1. Прямая пересекает 2 стороны треугольника.

Лежит ли она в плоскости этого треугольника?

2. Прямая пересекает вершину треугольника.

Лежит ли она в плоскости этого треугольника?

3. Три вершины параллелограмма лежат в плоскости.

Принадлежит ли четвертая вершина параллелограмма этой плоскости?

4. Хорда окружности принадлежит плоскости.

Верно ли утверждение, что и вся окружность лежит в этой плоскости?

5. Две пересекающиеся хорды окружности принадлежат плоскости.

Верно ли утверждение, что любая точка окружности принадлежит этой плоскости?

6. Сколько плоскостей можно провести через : три различные точки ; две различные точки ; через прямую и не лежащую на ней точку ; через две параллельные прямые?

7. Верно ли утверждение : любые три точки принадлежат плоскости ; через любые три точки проходит единственная плоскость?

8. Известно, что прямая параллельна плоскости.

Параллельна ли она любой прямой, лежащей в этой плоскости Может ли данная прямая пересечь какую — либо прямую, лежащую в плоскости?

9. Средняя линия трапеции лежит в плоскости α.

Пересекают ли основания трапеции эту плоскость?

10. Прямая а параллельна линии пересечения плоскостей α и β.

Каково взаимное расположение а и α ; a и β?

11. Прямая b непараллельна линии пересечения плоскостей α и β.

Какого взаимное расположение b и α ; b и β?

На этой странице вы найдете ответ на вопрос Две пересекающиеся хорды окружности принадлежат плоскости?. Вопрос соответствует категории Геометрия и уровню подготовки учащихся 10 — 11 классов классов. Если ответ полностью не удовлетворяет критериям поиска, ниже можно ознакомиться с вариантами ответов других посетителей страницы или обсудить с ними интересующую тему. Здесь также можно воспользоваться «умным поиском», который покажет аналогичные вопросы в этой категории. Если ни один из предложенных ответов не подходит, попробуйте самостоятельно сформулировать вопрос иначе, нажав кнопку вверху страницы.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Точка К лежит на стороне АВ, точка М — на стороне СД . КО : ОМ = 3 : 1 Вектор ОМ = а ⇒ КО = 3а КО — средняя линияΔАВД ⇒ вектор АД = 6а ОМ — средняя линияΔВСД ⇒ вектор ВС = 2а.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Для построения исходного треугольника по имеющимся точкам середин его сторон необходимо через вершины провести прямые, параллельные соответствующим сторонам Получится, что площадь большого треугольника в 4 раза больше площади подобного ему малого. А..

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Диагонали прямоугольника равны. Если BD = 13, то АС тоже = 13.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

1)Если в параллелограмме провести диагонали. Точка из Пересечения будет их делить на равные отрезки 2) В параллелограмме противоположные стороны равны 3) в параллелограмме стороны параллельны а при параллельных сторонах эти два угла накрест лежащие ..

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

90 градусов, т. К. это прямоугольный треугольник.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

P = 2 * (a + b) a = x b = x + 11 2 * (x + x + 110 = 38 2x + 11 = 19 2x = 8 x = 4 b = 4 + 11 = 15 стороны равны 11 и 4 дм.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Треугольник АВС — равнобедренный тк АС = СВ, СН — высота, а высота проведенная к основанию в равнобедренный треугольнике является и меданной и биссектрисой, тогда угол АСН = 78 * 2 = 156 вроде так, но вы не написали какой угол 4.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Решение на первое задание.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

, цилиндр, квадрат, прямоугольник, ромб.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Основанием правильной четырёхугольной призмы является квадрат. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны : r = (1 / 2)a 1 = a / 2 a = 2 S(б) = Pосн * h = 2 * 4 * 1 = 8 (кв. Ед. ).

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямСвойства хорд и дуг окружности
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямТеорема о бабочке

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Доказательство теорем методом «от противного». Параллельность прямых на плоскости. Геометрия 7 классСкачать

Доказательство теорем методом «от противного». Параллельность прямых на плоскости. Геометрия 7 класс

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Касательные, проведённые к окружности из одной точкиМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Секущие, проведённые из одной точки вне кругаМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Пересекающиеся хорды
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
Пересекающиеся хорды
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Видео:Повторение изученного в 7 классе Геометрия все темы просто! Видеоурок. Вся геометрия в одном урокеСкачать

Повторение изученного в 7 классе Геометрия все темы просто! Видеоурок. Вся геометрия в одном уроке

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Тогда справедливо равенство

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:№51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые mСкачать

№51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые m

Равные хорды

Выясним, какими свойствами обладают равные хорды и равные дуги.

Равные хорды равноудалены от центра окружности.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямДано : окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямСоединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠C.

II. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOF и COK.

2) ∠A=∠C (по доказанному).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OF=OK.

Что и требовалось доказать .

Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямДано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим прямоугольные треугольники OKD и OFB.

1)OF=OK (по условию)

2)OD=OB (как радиусы).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

II. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD и высотами OK и OF соответственно.

По свойству равнобедренного треугольника, OK и OF — медианы, то есть AF=BF, CK=DK, откуда AB=CD.

Что и требовалось доказать.

Равные хорды стягивают равные дуги.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды, AB=CD,

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямСоединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB=∠COD.

Значит и дуги, на которые опираются эти центральные углы, также равны: ∪AB=∪CD

Что и требовалось доказать .

Хорды, стягивающие равны дуги, равны.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямДано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), то треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD соответственно.

Так как ∪AB=∪CD (по условию), то ∠AOB=∠COD.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Две хорды из одной точки окружности

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямСвойства хорд и дуг окружности
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямТеорема о бабочке

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Касательные, проведённые к окружности из одной точкиМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Секущие, проведённые из одной точки вне кругаМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Пересекающиеся хорды
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
Пересекающиеся хорды
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Тогда справедливо равенство

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Хорда окружности — определение, свойства, теорема

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Хорда в геометрии

Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

  1. Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
  2. Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
  3. Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
  4. Самый маленький отрезок в окружности это точка.
  5. Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
  6. При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
  7. Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

Касательная и секущая

Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Решение задач

При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

  • Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
  • Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
  • Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

В круге из одной точки окружности проведены 2 хорды под углом 120 градусов друг к другу ?

Геометрия | 5 — 9 классы

В круге из одной точки окружности проведены 2 хорды под углом 120 градусов друг к другу .

Найдите площадь части круга, заключенной между хордами , если длина каждой из них равна.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Эти хорды отрежут от окружности два равных сегмента

угол между хордами вписанный, (его величина = половине градусной меры дуги, на которую он опирается)))

на дугу одного сегмента останется (360 — 2 * 120) / 2 = 60 градусов

Sсегмента = Sсектора — Sтреугольника

этот треугольник получится равносторонним, т.

Е. радиус окружности = √3

Sсектора = π * r² * 60 / 360 = π * r² / 6 = π / 2

Sтреугольника = √3 * √3 * sin(60°) / 2 = 3√3 / 4

Sсегмента = (2π — 3√3) / 4

площадь части круга между хордами = Sкруга — 2 * Sсегмента

π * r² — (2π — 3√3) / 2 = (4π + 3√3) / 2 = 2π + 3√3 / 2.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

СРОЧНО?

В круге радиуса r проведены по одну сторону от центра две параллельные хорды, одна из которых стягивает дугу в 120 градусов.

Найдите часть площади круга заключённую между хордами.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

В круге радиуса R проведены по одну сторону центра две параллельные хорды, из которых одна стягивает дугу в 120°, а другая в 60°?

В круге радиуса R проведены по одну сторону центра две параллельные хорды, из которых одна стягивает дугу в 120°, а другая в 60°.

Определить часть площади круга, заключённую между хордами.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Две хорды пересекаются внутри круга?

Две хорды пересекаются внутри круга.

Одна из хорд делится на отрезки 24 и 14 см а одна из частей второй хорды равна 28см.

Найдите другую часть этой хорды.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

1. ОДНА ИЗ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ХОРД ТОЧКОЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДЕЛИТСЯ ПОПОЛАМ А ДРУГАЯ НА ОТРЕЗКИ 4 СМ?

1. ОДНА ИЗ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ХОРД ТОЧКОЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДЕЛИТСЯ ПОПОЛАМ А ДРУГАЯ НА ОТРЕЗКИ 4 СМ.

КАКОВА ДЛИНА ПЕРВОЙ ХОРДЫ?

2. ДВЕ ХОРДЫ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ВНУТРИ КРУГА.

ОДНА ИЗ ХОРД ДЕЛИТСЯ НА ОТРЕЗКИ, РАВНЫЕ 24 СМ.

А ОДНА ИЗ ЧАСТЕЙ ВТОРОЙ ХОРДЫ РАВНА 28 СМ.

НАЙДИТЕ ДРУГУЮ ЧАСТЬ ЭТОЙ ХОРДЫ?

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

В круге радиуса R проведены по одну сторону центра две параллельные хорды, из которых одна стягивает дугу в 120°, а другая в 60°?

В круге радиуса R проведены по одну сторону центра две параллельные хорды, из которых одна стягивает дугу в 120°, а другая в 60°.

Определить часть площади круга, заключённую между хордами.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды равной длины?

В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды равной длины.

Каждая хорда разделена точками пересечения на три части равной длины.

Найти радиус окружности, если длина каждой из хорд равна а.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

#1) Дана окружность радиуса 6 см ?

#1) Дана окружность радиуса 6 см .

Найдите : а)сторону правильного вписанного треугольника б)периметр правильного описанного четырёхугольника в)площадь правильного вписанного шестиугольника №2)В круге из одной точки окружности проведены две хорды, составляющие угол 120 градусов.

Найдите площадь части круга, заключенной между ними, если длина каждой хорды равна 4 см №3)Две окружности, радиусы которых равны 4 корня из 2, имеют общую хорду длиной 8 см.

Найдите периметр ограниченной этими окружностями фигуры и расстояние между центрами окружностей.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

2. ДВЕ ХОРДЫ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ВНУТРИ КРУГА?

2. ДВЕ ХОРДЫ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ВНУТРИ КРУГА.

ОДНА ИЗ ХОРД ДЕЛИТСЯ НА ОТРЕЗКИ, РАВНЫЕ 24 СМ.

А ОДНА ИЗ ЧАСТЕЙ ВТОРОЙ ХОРДЫ РАВНА 28 СМ.

НАЙДИТЕ ДРУГУЮ ЧАСТЬ ЭТОЙ ХОРДЫ?

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

ДВЕ ХОРДЫ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ВНУТРИ КРУГА?

ДВЕ ХОРДЫ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ВНУТРИ КРУГА.

ОДНА ИЗ ХОРД ДЕЛИТСЯ НА ОТРЕЗКИ, РАВНЫЕ 24 СМ.

А ОДНА ИЗ ЧАСТЕЙ ВТОРОЙ ХОРДЫ РАВНА 28 СМ.

НАЙДИТЕ ДРУГУЮ ЧАСТЬ ЭТОЙ ХОРДЫ?

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Хорда окружности 8 из корней 2 стягивает дугу в 90 градусов найдите длину дуги и площадь большей части круга на которые его разделила хорда?

Хорда окружности 8 из корней 2 стягивает дугу в 90 градусов найдите длину дуги и площадь большей части круга на которые его разделила хорда.

На этой странице сайта размещен вопрос В круге из одной точки окружности проведены 2 хорды под углом 120 градусов друг к другу ? из категории Геометрия с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 5 — 9 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямСвойства хорд и дуг окружности
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямТеорема о бабочке

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
КругМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
РадиусМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
ХордаМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
ДиаметрМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
КасательнаяМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
СекущаяМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
Окружность
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостямДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаМогут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Пересекающиеся хорды
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям
Пересекающиеся хорды
Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Тогда справедливо равенство

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Могут ли две хорды одной окружности принадлежат параллельным плоскостям

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Поделиться или сохранить к себе: