Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Касание окружностей

Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой касания окружностей. Касание окружностей бывает внутренним и внешним.

Видео:ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностейСкачать

ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностей

Внутреннее касание

Касание называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от точки касания окружностей. Построим две окружности, первая с центром A и радиусом AC, отметим на радиусе AC точку B, это будет центр второй окружности с радиусом BC:

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Построенные окружности имеют только одну общую точку C. Говорят, что они касаются внутренним образом.

При внутреннем касании двух окружностей, расстояние между их центрами равно разности их радиусов.

Видео:Задача. Две окружности касаются внутренним образом.Скачать

Задача. Две окружности касаются внутренним образом.

Внешнее касание

Касание называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от точки касания. Построим две окружности, первая с центром A и радиусом AC, вторая с центром B и радиусом BC:

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Построенные окружности имеют только одну общую точку C. Говорят, что они касаются внешним образом.

При внешнем касании двух окружностей, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.

Видео:Окружности касаются внутренним образом.мой вариант решения задачи.#hard.Скачать

Окружности касаются внутренним образом.мой вариант решения задачи.#hard.

Подборка задач для работы на уроке по теме «Касание окружностей»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Геометрия Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая окружность проходитСкачать

Геометрия Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая окружность проходит

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Материал по теме «Касание окружностей»

Подборка задач для работы на уроке и самоподготовке по теме

Касание окружностей бывает внешним и внутренним.

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

«окружности касаются внешним образом ».

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

«окружности касаются внутренним образом».

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры . Кроме того, эта п рямая перпендикулярна касательной , проведённой в точку касания окружностей.

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Углом между двумя окружностями в точке их пересечения называется угол, образованный их касательными в этой точке.

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания.

Концентрическими окружностями называются окружности с общим центром.

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Если Задачи на окружности касающиеся внутренним образом— расстояние между центрами окружностей радиусов Задачи на окружности касающиеся внутренним образоми Задачи на окружности касающиеся внутренним образомобщая внешняя касательная касается окружностей в точках Задачи на окружности касающиеся внутренним образоми Задачи на окружности касающиеся внутренним образомобщая внутренняя в точках Задачи на окружности касающиеся внутренним образоми Задачи на окружности касающиеся внутренним образомто

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Если две окружности внешне касаются в точке С и их общая внутренняя касательная, проведённая через С, пересекается в точке D с другой общей внешней касательной АВ (А и В –точки касания), то АВ=2С D

Две окружности касаются в точке A . К ним проведена общая (внешняя) касательная, касающаяся окружностей в точках C и B . Докажите, что Задачи на окружности касающиеся внутренним образомCAB = 90 o .

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Пусть M — точка пересечения прямой CB и касательной к окружностям в точке A . Тогда MC = MA = MB (равенство отрезков касательных). Поэтому точка A лежит на окружности с диаметром CB .

Равенство отрезков касательных,

Вписанный прямоугольный треугольник.

Окружности радиусов r и R ( R > r ) касаются внешним образом в точке K . К ним проведены две общие внешние касательные. Их точки касания с меньшей окружностью — A и D , с большей — B и C соответственно.

а) Найдите AB и отрезок MN общей внутренней касательной, заключённый между внешними касательными.

б) Докажите, что углы AKB и O 1 MO 2 — прямые ( O 1 и O 2 — центры окружностей).

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Решение

а) Опустим перпендикуляр O 1 P из центра O 1 на O 2 B . Из прямоугольного треугольника O 1 PO 2 находим, что

O1O2 = r + R, O2P = Rr, O1P = Задачи на окружности касающиеся внутренним образом= 2Задачи на окружности касающиеся внутренним образом.

Поэтому AB = O 1 P = 2 Задачи на окружности касающиеся внутренним образом.

Поскольку MK = MB и MK = MA , то

NM = 2 MK = AB = 2 Задачи на окружности касающиеся внутренним образом.

б) Поскольку MO 1 и MO 2 — биссектрисы смежных углов AMK и BMK , то угол O 1 MO 2 — прямой.

Поскольку MA = MK = MB , то точка K лежит на окружности с диаметром AB . Поэтому Задачи на окружности касающиеся внутренним образомAKB = 90 o .

а) Опустим перпендикуляр O 1 P из центра O 1 на O 2 B . Из прямоугольного треугольника O 1 PO 2 находим, что

O1O2 = r + R, O2P = Rr, O1P = Задачи на окружности касающиеся внутренним образом= 2Задачи на окружности касающиеся внутренним образом.

Поэтому AB = O 1 P = 2 Задачи на окружности касающиеся внутренним образом.

Поскольку MK = MB и MK = MA , то

NM = 2 MK = AB = 2 Задачи на окружности касающиеся внутренним образом.

б) Поскольку MO 1 и MO 2 — биссектрисы смежных углов AMK и BMK , то угол O 1 MO 2 — прямой.

Поскольку MA = MK = MB , то точка K лежит на окружности с диаметром AB . Поэтому Задачи на окружности касающиеся внутренним образомAKB = 90 o .

а) Опустим перпендикуляр O 1 P из центра O 1 на O 2 B . Из прямоугольного треугольника O 1 PO 2 находим, что

O1O2 = r + R, O2P = Rr, O1P = Задачи на окружности касающиеся внутренним образом= 2Задачи на окружности касающиеся внутренним образом.

Поэтому AB = O 1 P = 2 Задачи на окружности касающиеся внутренним образом.

Поскольку MK = MB и MK = MA , то

NM = 2 MK = AB = 2 Задачи на окружности касающиеся внутренним образом.

б) Поскольку MO 1 и MO 2 — биссектрисы смежных углов AMK и BMK , то угол O 1 MO 2 — прямой.

Поскольку MA = MK = MB , то точка K лежит на окружности с диаметром AB . Поэтому Задачи на окружности касающиеся внутренним образомAKB = 90 o .

Теорема Пифагора (прямая и обратная)

Даны две концентрические окружности радиусов 1 и 3 с общим центром O . Третья окружность касается их обеих. Найдите угол между касательными к третьей окружности, проведёнными из точки O .

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Решение

Пусть O 1 — центр третьей окружности, OA и OB — касательные к ней ( A и B — точки касания). Тогда OO 1 — биссектриса угла AOB ,

AO 1 = 1, OO 1 = 2, Задачи на окружности касающиеся внутренним образомOAO 1 = 90 o .

Поэтому Задачи на окружности касающиеся внутренним образомAOO 1 = 30 o , а Задачи на окружности касающиеся внутренним образомAOB = 60 o .

В окружности радиуса R проведён диаметр и на нём взята точка A на расстоянии a от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке A и изнутри касается данной окружности.

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Решение

Пусть O и O 1 — центры данных окружностей, x — искомый радиус. В треугольнике OO 1 A известно, что

По теореме Пифагора

Отсюда находим, что x = Задачи на окружности касающиеся внутренним образом.

Две окружности Ω 1 и Ω 2 с центрами O 1 и O 2 касаются внешним образом в точке O . Точки X и Y лежат на Ω 1 и Ω 2 соответственно так, что лучи O 1 X и O 2 Y одинаково направлены. Из точки X проведены касательные к Ω 2 , а из точки Y – к Ω 1 . Докажите, что эти четыре прямые касаются одной окружности, проходящей через точку O .

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Решение

Обозначим через S точку пересечения XO 1 и YO 1 (см. рис.). Пусть r 1 и r 2 – радиусы соответствующих окружностей. Тогда Задачи на окружности касающиеся внутренним образом. Значит, SO || O 2 Y и Задачи на окружности касающиеся внутренним образом.

Пусть XZ – одна из касательных проведённых из точки X ко второй окружности, а Z – проекция S на XZ . Тогда Задачи на окружности касающиеся внутренним образом.
Аналогично доказывается, что расстояние от S до остальных касательных также равно SO , то есть S и есть центр требуемой окружности.

Вспомогательные подобные треугольники

Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках

1. Две касающиеся окружности с центрами O 1 и O 2 касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром O . Найдите периметр треугольника OO 1 O 2.

2. Окружности S 1 и S 2 касаются окружности S внутренним образом в точках A и B , причём одна из точек пересечения окружностей S 1 и S 2 лежит на отрезке AB . Докажите, что сумма радиусов окружностей S 1 и S 2 равна радиусу окружности S .

3 . На отрезке AB взята точка C . Прямая, проходящая через точку C , пересекает окружности с диаметрами AC и BC в точках K и L , а окружность с диаметром AB —в точках M и N . Докажите, что KM = LN .

4. Даны четыре окружности S 1, S 2, S 3 и S 4, причём окружности Si и Si + 1 касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 ( S 5 = S 1). Докажите, что точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

Видео:Поступайте правильно Математика ЕГЭСкачать

Поступайте правильно Математика ЕГЭ

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.

Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, ADAB. Аналогично получаем, что BCAB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

б) Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.

Треугольники BKC и AKD подобны, Задачи на окружности касающиеся внутренним образомПусть Задачи на окружности касающиеся внутренним образомтогда Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, Задачи на окружности касающиеся внутренним образомто есть SAKB = 4S. Аналогично, SCKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.

Вычислим площадь трапеции ABCD. Заметим, что Задачи на окружности касающиеся внутренним образомПроведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1: Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Тогда Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и SAKB = 4S = 3,2.

Приведем вариант решения п. б) предложенный Рамилем Багавиевым.

Из первого решения известно, что Задачи на окружности касающиеся внутренним образомИз подобия треугольников AKD и AKB следует Задачи на окружности касающиеся внутренним образомтаким образом AK = 2BK. Напишем теорему Пифагора для треугольника AKB Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Теперь несложно вычислить Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.

а) Пусть АВ — диаметр большей из трёх окружностей, О — её центр, O1 — центр окружности радиуса r у касающейся окружности с диаметром АВ в точке А, O2 — центр окружности радиуса R, касающейся окружности с диаметром АВ в точке С, окружности с центром O1 — в точке D, отрезка АВ — в точке Е. Точки О, O2 и С лежат на одной прямой, поэтому OO2 = ОСO2С = ОСR. Аналогично ОО1 = OAО1А = ОАr и O1O2 = O1D + O2D = r + R. Следовательно, периметр треугольника OO1O2 равен

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

а так как О1E = OO1 + ОЕ, то Задачи на окружности касающиеся внутренним образомПолученное уравнение не имеет корней, что означает, что данная конфигурация невозможна.

Рассмотрим случай, когда точка Е лежит между точками О и А. В этом случае О1E = OO1ОЕ, то есть Задачи на окружности касающиеся внутренним образомИз этого уравнения находим, что Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Ответ: Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.

а) Докажите, что эти хорды равны.

б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E, F последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

а) Пусть две хорды равны 3x и 3y. По теореме о произведении пересекающихся хорд 2x · x = 2y · y. Отсюда находим, что x = y, значит, эти хорды равны. Аналогично докажем, что третья хорда равна каждой из первых двух.

б) Равные хорды равноудалены от центра окружности, поэтому центр равностороннего треугольника с вершинами в точках попарного пересечения хорд совпадает с центром данной окружности. Пусть хорды BE и CF пересекают хорду AD в точках P и Q соответственно, хорды BE и FC пересекаются в точке T, а H — проекция центра O на хорду AD. Тогда H — общая середина отрезков AD и PQ, а OH — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника PQT со стороной PQ.

Через точку T проведём прямую, параллельную AD, через точку P — прямую, параллельную CF, а через точку Q — прямую, параллельную BE. Эти прямые и хорды AD, BE и CF разбивают шестиугольник ABCDEF на 13 одинаковых равносторонних треугольников.

Обозначим PQ = 2a. Тогда

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Отсюда находим, что a = 3, значит, PQ = 2a = 6, Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Ответ: Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Я решил другим, но верным способом через площади 6 равных треугольников, перепроверил с репититором, у нас выходит ответ 126 корней из 3. Кстати именно такого альтернативного способа не хватает в решении.

Наверное, в этот момент стоило бы сравнить ваше решение с нашим и попробовать найти ошибку. В математике все просто: или ошибка есть, или ее нет.

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б) пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.

а) Пусть O — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OA — диаметр меньшей окружности.

Точка K лежит на окружности с диаметром OA, значит, ∠AKO = 90°. Отрезок OK — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду AB. Поэтому K — середина AB. Аналогично, M — середина AC, поэтому KM — средняя линия треугольника ABC. Следовательно, прямые MK и BC параллельны.

б) Опустим перпендикуляр OH на хорду BC. Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Пусть Q — центр меньшей окружности. Тогда прямые QP и OH параллельны. Опустим перпендикуляр QF из центра меньшей окружности на OH. Тогда

PH 2 = QF 2 = QO 2 − OF 2 = 25 − 1 =24,

OP 2 = OH 2 + PH 2 = 36 + 24 = 60,

а из прямоугольного треугольника APO находим, что

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Отрезок KM — средняя линия треугольника ABC, поэтому L средина AP. Следовательно,

Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Ответ: б) Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Приведём решение Марии Ковалёвой (Москва).

а) Проведём общую касательную к окружностям AT, как показано на рисунке слева. Тогда Задачи на окружности касающиеся внутренним образоми Задачи на окружности касающиеся внутренним образомпоскольку угол между касательной и хордой равен половине заключённой между ними дуги. Тогда Задачи на окружности касающиеся внутренним образомравны Соответственные углы при пересечении прямых KM и BC равны, поэтому данные прямые параллельны.

б) По обобщенной теореме синусов, в треугольниках AKM и ABC стороны KM и BC относятся так же, как радиусы данных в условии окружностей, то есть как 1 : 2. Следовательно, KM — средняя линия треугольника ABC, и Задачи на окружности касающиеся внутренним образомпо теореме Фалеса. Осталось найти .

Опустим перпендикуляр OH на хорду BC (см. рисунок справа). Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Треугольник OAP прямоугольный, так как угол OРA опирается на диаметр. Углы OAP и OPH равны по теореме об угле между касательной и хордой. Следовательно, прямоугольные треугольники OAP и OPH подобны по острому углу. Имеем: Задачи на окружности касающиеся внутренним образомто есть Задачи на окружности касающиеся внутренним образомСледовательно, Задачи на окружности касающиеся внутренним образомПо теореме Пифагора, Задачи на окружности касающиеся внутренним образомОкончательно получаем: Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Решение «сыпется», если концы хорды ВС расположить по разные стороны от диаметра (ОА). Тогда ОН, по-прежнему равный 6 из теоремы Пифагора, будет по чертежу меньше, чем параллельный ему радиус QP=5 меньшей окружности

Да, Ваше рассуждение доказывает, что этот случай невозможен.

По­че­му К се­ре­ди­на АВ при усло­вии,что ОК пер­пен­ди­ку­ляр? Что за свой­ство?

Свой­ство вы­со­ты рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка. Тре­уголь­ник ОАВ — рав­но­бед­рен­ный, ОК — его вы­со­та, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй&nbsp— в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Задание а). Обозначим центры окружностей Задачи на окружности касающиеся внутренним образоми Задачи на окружности касающиеся внутренним образомсоответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке Задачи на окружности касающиеся внутренним образомПо свойству касательных, проведённых из одной точки, Задачи на окружности касающиеся внутренним образоми. Задачи на окружности касающиеся внутренним образомТреугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.

Вписанный угол Задачи на окружности касающиеся внутренним образомпрямой, поэтому он опирается на диаметр Задачи на окружности касающиеся внутренним образомЗначит, Задачи на окружности касающиеся внутренним образомАналогично получаем, что Задачи на окружности касающиеся внутренним образомСледовательно, прямые AD и BC параллельны.

Задание б). Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.

Треугольники BKC и AKD подобны, Задачи на окружности касающиеся внутренним образомПусть Задачи на окружности касающиеся внутренним образомтогда Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

У треугольников Задачи на окружности касающиеся внутренним образомобщая высота, следовательно, Задачи на окружности касающиеся внутренним образомто есть Задачи на окружности касающиеся внутренним образомАналогично, Задачи на окружности касающиеся внутренним образомПлощадь трапеции ABCD равна Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Вычислим площадь трапеции Задачи на окружности касающиеся внутренним образомПроведём к AD перпендикуляр Задачи на окружности касающиеся внутренним образомравный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника Задачи на окружности касающиеся внутренним образом Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Тогда Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

Следовательно, Задачи на окружности касающиеся внутренним образомоткуда Задачи на окружности касающиеся внутренним образоми Задачи на окружности касающиеся внутренним образом

💥 Видео

Окружности соприкасаются внутренним образом.#hard (1 вариант решения)Скачать

Окружности соприкасаются внутренним образом.#hard (1 вариант решения)

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

ЕГЭ Задание 16 Три окружностиСкачать

ЕГЭ Задание 16 Три окружности

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Интересная задача о трёх попарно касающихся окружностяхСкачать

Интересная задача о трёх попарно касающихся окружностях

Три окружности касаются прямой и друг друга внешним образомСкачать

Три окружности касаются прямой и друг друга внешним образом

КРАСИВАЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА (3 ОКРУЖНОСТИ)Скачать

КРАСИВАЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА (3 ОКРУЖНОСТИ)

ТОП-3 конструкции с окружностями для №16 из ЕГЭ 2023 по математикеСкачать

ТОП-3 конструкции с окружностями для №16 из ЕГЭ 2023 по математике

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 16. Касающиеся окружностиСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 16. Касающиеся окружности

Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |

КАСАЮЩИЕСЯ ОКРУЖНОСТИ. # ЕГЭ 2023Скачать

КАСАЮЩИЕСЯ ОКРУЖНОСТИ. # ЕГЭ 2023

ПЛАНИМЕТРИЯ ЕГЭ | 16 задача из 1 варианта Ященко 2021 🔴Скачать

ПЛАНИМЕТРИЯ ЕГЭ | 16 задача из 1 варианта Ященко 2021 🔴

Факты про касающиеся окружности в задаче 16 #егэ2023 #математика #fyp #школа #математикапрофиль2023Скачать

Факты про касающиеся окружности в задаче 16 #егэ2023 #математика #fyp #школа #математикапрофиль2023

Задача №16. Пересекающиеся и касающиеся окружности.Скачать

Задача №16. Пересекающиеся и касающиеся окружности.

Касания внутренним образом двух округлостей 548386Скачать

Касания внутренним образом двух округлостей 548386
Поделиться или сохранить к себе: