Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой касания окружностей. Касание окружностей бывает внутренним и внешним.
Видео:ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностейСкачать
Внутреннее касание
Касание называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от точки касания окружностей. Построим две окружности, первая с центром A и радиусом AC, отметим на радиусе AC точку B, это будет центр второй окружности с радиусом BC:
Построенные окружности имеют только одну общую точку C. Говорят, что они касаются внутренним образом.
При внутреннем касании двух окружностей, расстояние между их центрами равно разности их радиусов.
Видео:Задача. Две окружности касаются внутренним образом.Скачать
Внешнее касание
Касание называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от точки касания. Построим две окружности, первая с центром A и радиусом AC, вторая с центром B и радиусом BC:
Построенные окружности имеют только одну общую точку C. Говорят, что они касаются внешним образом.
При внешнем касании двух окружностей, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.
Видео:Окружности касаются внутренним образом.мой вариант решения задачи.#hard.Скачать
Подборка задач для работы на уроке по теме «Касание окружностей»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Видео:Геометрия Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая окружность проходитСкачать
«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Материал по теме «Касание окружностей»
Подборка задач для работы на уроке и самоподготовке по теме
Касание окружностей бывает внешним и внутренним.
«окружности касаются внешним образом ».
«окружности касаются внутренним образом».
Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры . Кроме того, эта п рямая перпендикулярна касательной , проведённой в точку касания окружностей.
Углом между двумя окружностями в точке их пересечения называется угол, образованный их касательными в этой точке.
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания.
Концентрическими окружностями называются окружности с общим центром.
Если — расстояние между центрами окружностей радиусов и общая внешняя касательная касается окружностей в точках и общая внутренняя в точках и то
Если две окружности внешне касаются в точке С и их общая внутренняя касательная, проведённая через С, пересекается в точке D с другой общей внешней касательной АВ (А и В –точки касания), то АВ=2С D
Две окружности касаются в точке A . К ним проведена общая (внешняя) касательная, касающаяся окружностей в точках C и B . Докажите, что CAB = 90 o .
Пусть M — точка пересечения прямой CB и касательной к окружностям в точке A . Тогда MC = MA = MB (равенство отрезков касательных). Поэтому точка A лежит на окружности с диаметром CB .
Равенство отрезков касательных,
Вписанный прямоугольный треугольник.
Окружности радиусов r и R ( R > r ) касаются внешним образом в точке K . К ним проведены две общие внешние касательные. Их точки касания с меньшей окружностью — A и D , с большей — B и C соответственно.
а) Найдите AB и отрезок MN общей внутренней касательной, заключённый между внешними касательными.
б) Докажите, что углы AKB и O 1 MO 2 — прямые ( O 1 и O 2 — центры окружностей).
Решение
а) Опустим перпендикуляр O 1 P из центра O 1 на O 2 B . Из прямоугольного треугольника O 1 PO 2 находим, что
O1O2 = r + R, O2P = R — r, O1P = = 2.
Поэтому AB = O 1 P = 2 .
Поскольку MK = MB и MK = MA , то
NM = 2 MK = AB = 2 .
б) Поскольку MO 1 и MO 2 — биссектрисы смежных углов AMK и BMK , то угол O 1 MO 2 — прямой.
Поскольку MA = MK = MB , то точка K лежит на окружности с диаметром AB . Поэтому AKB = 90 o .
а) Опустим перпендикуляр O 1 P из центра O 1 на O 2 B . Из прямоугольного треугольника O 1 PO 2 находим, что
O1O2 = r + R, O2P = R — r, O1P = = 2.
Поэтому AB = O 1 P = 2 .
Поскольку MK = MB и MK = MA , то
NM = 2 MK = AB = 2 .
б) Поскольку MO 1 и MO 2 — биссектрисы смежных углов AMK и BMK , то угол O 1 MO 2 — прямой.
Поскольку MA = MK = MB , то точка K лежит на окружности с диаметром AB . Поэтому AKB = 90 o .
а) Опустим перпендикуляр O 1 P из центра O 1 на O 2 B . Из прямоугольного треугольника O 1 PO 2 находим, что
O1O2 = r + R, O2P = R — r, O1P = = 2.
Поэтому AB = O 1 P = 2 .
Поскольку MK = MB и MK = MA , то
NM = 2 MK = AB = 2 .
б) Поскольку MO 1 и MO 2 — биссектрисы смежных углов AMK и BMK , то угол O 1 MO 2 — прямой.
Поскольку MA = MK = MB , то точка K лежит на окружности с диаметром AB . Поэтому AKB = 90 o .
Теорема Пифагора (прямая и обратная)
Даны две концентрические окружности радиусов 1 и 3 с общим центром O . Третья окружность касается их обеих. Найдите угол между касательными к третьей окружности, проведёнными из точки O .
Решение
Пусть O 1 — центр третьей окружности, OA и OB — касательные к ней ( A и B — точки касания). Тогда OO 1 — биссектриса угла AOB ,
AO 1 = 1, OO 1 = 2, OAO 1 = 90 o .
Поэтому AOO 1 = 30 o , а AOB = 60 o .
В окружности радиуса R проведён диаметр и на нём взята точка A на расстоянии a от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке A и изнутри касается данной окружности.
Решение
Пусть O и O 1 — центры данных окружностей, x — искомый радиус. В треугольнике OO 1 A известно, что
По теореме Пифагора
Отсюда находим, что x = .
Две окружности Ω 1 и Ω 2 с центрами O 1 и O 2 касаются внешним образом в точке O . Точки X и Y лежат на Ω 1 и Ω 2 соответственно так, что лучи O 1 X и O 2 Y одинаково направлены. Из точки X проведены касательные к Ω 2 , а из точки Y – к Ω 1 . Докажите, что эти четыре прямые касаются одной окружности, проходящей через точку O .
Решение
Обозначим через S точку пересечения XO 1 и YO 1 (см. рис.). Пусть r 1 и r 2 – радиусы соответствующих окружностей. Тогда . Значит, SO || O 2 Y и .
Пусть XZ – одна из касательных проведённых из точки X ко второй окружности, а Z ‘ – проекция S на XZ . Тогда .
Аналогично доказывается, что расстояние от S до остальных касательных также равно SO , то есть S и есть центр требуемой окружности.
Вспомогательные подобные треугольники
Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках
1. Две касающиеся окружности с центрами O 1 и O 2 касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром O . Найдите периметр треугольника OO 1 O 2.
2. Окружности S 1 и S 2 касаются окружности S внутренним образом в точках A и B , причём одна из точек пересечения окружностей S 1 и S 2 лежит на отрезке AB . Докажите, что сумма радиусов окружностей S 1 и S 2 равна радиусу окружности S .
3 . На отрезке AB взята точка C . Прямая, проходящая через точку C , пересекает окружности с диаметрами AC и BC в точках K и L , а окружность с диаметром AB —в точках M и N . Докажите, что KM = LN .
4. Даны четыре окружности S 1, S 2, S 3 и S 4, причём окружности Si и Si + 1 касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 ( S 5 = S 1). Докажите, что точки касания образуют вписанный четырёхугольник.
Видео:Поступайте правильно Математика ЕГЭСкачать
Задачи на окружности касающиеся внутренним образом
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.
Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD ⊥ AB. Аналогично получаем, что BC ⊥ AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
б) Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.
Треугольники BKC и AKD подобны, Пусть тогда
У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, то есть SAKB = 4S. Аналогично, SCKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.
Вычислим площадь трапеции ABCD. Заметим, что Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1:
Тогда
Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и SAKB = 4S = 3,2.
Приведем вариант решения п. б) предложенный Рамилем Багавиевым.
Из первого решения известно, что Из подобия треугольников AKD и AKB следует таким образом AK = 2BK. Напишем теорему Пифагора для треугольника AKB
Теперь несложно вычислить
Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.
а) Пусть АВ — диаметр большей из трёх окружностей, О — её центр, O1 — центр окружности радиуса r у касающейся окружности с диаметром АВ в точке А, O2 — центр окружности радиуса R, касающейся окружности с диаметром АВ в точке С, окружности с центром O1 — в точке D, отрезка АВ — в точке Е. Точки О, O2 и С лежат на одной прямой, поэтому OO2 = ОС − O2С = ОС − R. Аналогично ОО1 = OA − О1А = ОА − r и O1O2 = O1D + O2D = r + R. Следовательно, периметр треугольника OO1O2 равен
а так как О1E = OO1 + ОЕ, то Полученное уравнение не имеет корней, что означает, что данная конфигурация невозможна.
Рассмотрим случай, когда точка Е лежит между точками О и А. В этом случае О1E = OO1 − ОЕ, то есть Из этого уравнения находим, что
Ответ:
Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.
а) Докажите, что эти хорды равны.
б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E, F последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен
а) Пусть две хорды равны 3x и 3y. По теореме о произведении пересекающихся хорд 2x · x = 2y · y. Отсюда находим, что x = y, значит, эти хорды равны. Аналогично докажем, что третья хорда равна каждой из первых двух.
б) Равные хорды равноудалены от центра окружности, поэтому центр равностороннего треугольника с вершинами в точках попарного пересечения хорд совпадает с центром данной окружности. Пусть хорды BE и CF пересекают хорду AD в точках P и Q соответственно, хорды BE и FC пересекаются в точке T, а H — проекция центра O на хорду AD. Тогда H — общая середина отрезков AD и PQ, а OH — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника PQT со стороной PQ.
Через точку T проведём прямую, параллельную AD, через точку P — прямую, параллельную CF, а через точку Q — прямую, параллельную BE. Эти прямые и хорды AD, BE и CF разбивают шестиугольник ABCDEF на 13 одинаковых равносторонних треугольников.
Обозначим PQ = 2a. Тогда
Отсюда находим, что a = 3, значит, PQ = 2a = 6,
Ответ:
Я решил другим, но верным способом через площади 6 равных треугольников, перепроверил с репититором, у нас выходит ответ 126 корней из 3. Кстати именно такого альтернативного способа не хватает в решении.
Наверное, в этот момент стоило бы сравнить ваше решение с нашим и попробовать найти ошибку. В математике все просто: или ошибка есть, или ее нет.
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
а) Пусть O — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OA — диаметр меньшей окружности.
Точка K лежит на окружности с диаметром OA, значит, ∠AKO = 90°. Отрезок OK — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду AB. Поэтому K — середина AB. Аналогично, M — середина AC, поэтому KM — средняя линия треугольника ABC. Следовательно, прямые MK и BC параллельны.
б) Опустим перпендикуляр OH на хорду BC. Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что
Пусть Q — центр меньшей окружности. Тогда прямые QP и OH параллельны. Опустим перпендикуляр QF из центра меньшей окружности на OH. Тогда
PH 2 = QF 2 = QO 2 − OF 2 = 25 − 1 =24,
OP 2 = OH 2 + PH 2 = 36 + 24 = 60,
а из прямоугольного треугольника APO находим, что
Отрезок KM — средняя линия треугольника ABC, поэтому L средина AP. Следовательно,
Ответ: б)
Приведём решение Марии Ковалёвой (Москва).
а) Проведём общую касательную к окружностям AT, как показано на рисунке слева. Тогда и поскольку угол между касательной и хордой равен половине заключённой между ними дуги. Тогда равны Соответственные углы при пересечении прямых KM и BC равны, поэтому данные прямые параллельны.
б) По обобщенной теореме синусов, в треугольниках AKM и ABC стороны KM и BC относятся так же, как радиусы данных в условии окружностей, то есть как 1 : 2. Следовательно, KM — средняя линия треугольника ABC, и по теореме Фалеса. Осталось найти AР.
Опустим перпендикуляр OH на хорду BC (см. рисунок справа). Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что
Треугольник OAP прямоугольный, так как угол OРA опирается на диаметр. Углы OAP и OPH равны по теореме об угле между касательной и хордой. Следовательно, прямоугольные треугольники OAP и OPH подобны по острому углу. Имеем: то есть Следовательно, По теореме Пифагора, Окончательно получаем:
Решение «сыпется», если концы хорды ВС расположить по разные стороны от диаметра (ОА). Тогда ОН, по-прежнему равный 6 из теоремы Пифагора, будет по чертежу меньше, чем параллельный ему радиус QP=5 меньшей окружности
Да, Ваше рассуждение доказывает, что этот случай невозможен.
Почему К середина АВ при условии,что ОК перпендикуляр? Что за свойство?
Свойство высоты равнобедренного треугольника. Треугольник ОАВ — равнобедренный, ОК — его высота, проведенная к основанию
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Задание а). Обозначим центры окружностей и соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке По свойству касательных, проведённых из одной точки, и. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.
Вписанный угол прямой, поэтому он опирается на диаметр Значит, Аналогично получаем, что Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
Задание б). Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.
Треугольники BKC и AKD подобны, Пусть тогда
У треугольников общая высота, следовательно, то есть Аналогично, Площадь трапеции ABCD равна
Вычислим площадь трапеции Проведём к AD перпендикуляр равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника
Тогда
Следовательно, откуда и
💥 Видео
Окружности соприкасаются внутренним образом.#hard (1 вариант решения)Скачать
Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
ЕГЭ Задание 16 Три окружностиСкачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Интересная задача о трёх попарно касающихся окружностяхСкачать
Три окружности касаются прямой и друг друга внешним образомСкачать
КРАСИВАЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА (3 ОКРУЖНОСТИ)Скачать
ТОП-3 конструкции с окружностями для №16 из ЕГЭ 2023 по математикеСкачать
Профильный ЕГЭ 2024. Задача 16. Касающиеся окружностиСкачать
Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать
КАСАЮЩИЕСЯ ОКРУЖНОСТИ. # ЕГЭ 2023Скачать
ПЛАНИМЕТРИЯ ЕГЭ | 16 задача из 1 варианта Ященко 2021 🔴Скачать
Факты про касающиеся окружности в задаче 16 #егэ2023 #математика #fyp #школа #математикапрофиль2023Скачать
Задача №16. Пересекающиеся и касающиеся окружности.Скачать
Касания внутренним образом двух округлостей 548386Скачать