Млнс системы векторов это

Млнс системы векторов это

Определение 1. Система векторов Млнс системы векторов это называется линейно зависимой, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, и линейно независимой — в противном случае.

Определение 1´. Система векторов Млнс системы векторов это называется линейно зависимой, если найдутся числа с 1 , с 2 , …, с k , не все равные нулю, такие, что линейная комбинация векторов с данными коэффициентами равна нулевому вектору: Млнс системы векторов это = Млнс системы векторов это , в противном случае система называется линейно независимой.

Покажем, что эти определения эквивалентны.

Пусть выполняется определение 1, т.е. один из векторов системы равен линейной комбинации остальных:

Млнс системы векторов это,

Млнс системы векторов это.

Линейная комбинация системы векторов равна нулевому вектору, причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю, т.е. выполняется определение 1´.

Пусть выполняется определение 1´. Линейная комбинация системы векторов равна Млнс системы векторов это , причем не все коэффициенты комбинации равны нулю, например, коэффициенты при векторе Млнс системы векторов это .

Млнс системы векторов это,

Млнс системы векторов это,

Млнс системы векторов это.

Один из векторов системы мы представили в виде линейной комбинации остальных, т.е. выполняется определение 1.

Определение 2. Единичным вектором, или ортом, Млнс системы векторов это называется n -мерный вектор , у которого i -я координата равна единице, а остальные — нулевые.

. Млнс системы векторов это (1, 0, 0, …, 0),

Млнс системы векторов это (0, 1, 0, …, 0),

Млнс системы векторов это (0, 0, 0, …, 1).

Теорема 1. Различные единичные векторы n -мерного пространства линейно независимы.

Доказательство. Пусть линейная комбинация этих векторов с произвольными коэффициентами равна нулевому вектору.

Млнс системы векторов это= Млнс системы векторов это .

Из этого равенства следует, что все коэффициенты равны нулю. Получили противоречие.

Каждый вектор n -мерного пространства ā(а 1 , а 2 , . а n ) может быть представлен в виде линейной комбинации единичных векторов с коэффициентами, равными координатам вектора

Млнс системы векторов это.

Теорема 2. Если системы векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Доказательство. Пусть дана система векторов Млнс системы векторов это и один из векторов является нулевым, например Млнс системы векторов это = Млнс системы векторов это . Тогда с векторами данной системы можно составить линейную комбинацию, равную нулевому вектору, причем не все коэффициенты будут нулевыми:

Млнс системы векторов это= Млнс системы векторов это .

Следовательно, система линейно зависима.

Теорема 3. Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Доказательство. Дана система векторов Млнс системы векторов это . Предположим, что система Млнс системы векторов это линейно зависима, т.е. найдутся числа с 1 , с 2 , …, с r , не все равные нулю, такие, что Млнс системы векторов это = Млнс системы векторов это . Тогда

Млнс системы векторов это= Млнс системы векторов это .

Получилось, что линейная комбинация векторов всей системы равна Млнс системы векторов это , причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю. Следовательно, система векторов линейно зависима.

Следствие. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема также линейно независима.

Предположим противное, т.е. некоторая подсистема линейно зависима. Из теоремы следует, что вся система линейно зависима. Мы пришли к противоречию.

Теорема 4 (теорема Штейница). Если каждый из векторов Млнс системы векторов это является линейной комбинацией векторов Млнс системы векторов это и m > n , то система векторов Млнс системы векторов это линейно зависима.

Следствие. В любой системе n -мерных векторов не может быть больше чем n линейно независимых.

Доказательство. Каждый n -мерный вектор выражается в виде линейной комбинации n единичных векторов. Поэтому, если система содержит m векторов и m > n , то, по теореме, данная система линейно зависима.

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Линейная зависимость системы векторов. Коллинеарные векторы

В данной статье мы расскажем:

  • что такое коллинеарные векторы;
  • какие существуют условия коллинеарности векторов;
  • какие существуют свойства коллинеарных векторов;
  • что такое линейная зависимость коллинеарных векторов.

Видео:Линейная оболочка. Базис и размерностьСкачать

Линейная оболочка. Базис и размерность

Коллинеарные векторы

Коллинеарные векторы — это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.

Млнс системы векторов это

Видео:Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

Условия коллинеарности векторов

Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:

  • условие 1. Векторы a и b коллинеарны при наличии такого числа λ , что a = λ b ;
  • условие 2. Векторы a и b коллинеарны при равном отношении координат:

a = ( a 1 ; a 2 ) , b = ( b 1 ; b 2 ) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

  • условие 3. Векторы a и b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:

Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.

Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.

Видео:Базис линейного пространства (01)Скачать

Базис линейного пространства (01)

Примеры задач на исследование коллинеарности векторов

Исследуем векторы а = ( 1 ; 3 ) и b = ( 2 ; 1 ) на коллинеарность.

В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:

Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.

Ответ: a | | b

Какое значение m вектора a = ( 1 ; 2 ) и b = ( — 1 ; m ) необходимо для коллинеарности векторов?

Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:

Отсюда видно, что m = — 2 .

Ответ: m = — 2 .

Видео:Решение "базисной системы векторов" (2)Скачать

Решение "базисной системы векторов" (2)

Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов

Система векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.

Пусть система e 1 , e 2 , . . . , e n является линейно зависимой. Запишем линейную комбинацию этой системы равную нулевому вектору:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.

Пусть a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:

a k — 1 ( a k — 1 a 1 ) e 1 + ( a k — 1 a k ) e k + . . . + ( a k — 1 a n ) e n = 0

— a k — 1 a m , где m ∈ 1 , 2 , . . . , k — 1 , k + 1 , n

β 1 e 1 + . . . + β k — 1 e k — 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

или e k = ( — β 1 ) e 1 + . . . + ( — β k — 1 ) e k — 1 + ( — β k + 1 ) e k + 1 + . . . + ( — β n ) e n

Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k — 1 e k — 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Переносим вектор e k в правую часть этого равенства:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k — 1 e k — 1 — e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Поскольку коэффициент вектора e k равен — 1 ≠ 0 , у нас получается нетривиальное представление нуля системой векторов e 1 , e 2 , . . . , e n , а это, в свою очередь, означает, что данная система векторов линейно зависима. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

  • Система векторов является линейно независимой, когда ни один из ее векторов нельзя выразить через все остальные векторы системы.
  • Система векторов, которая содержит нулевой вектор или два равных вектора, линейно зависима.

Видео:Что такое вектора? | Сущность Линейной Алгебры, глава 1Скачать

Что такое вектора? | Сущность Линейной Алгебры, глава 1

Свойства линейно зависимых векторов

  1. Для 2-х и 3-х мерных векторов выполняется условие: два линейно зависимых вектора — коллинеарны. Два коллинеарных вектора — линейно зависимы.
  2. Для 3-х мерных векторов выполняется условие: три линейно зависимые вектора — компланарны. (3 компланарных вектора — линейно зависимы).
  3. Для n-мерных векторов выполняется условие: n + 1 вектор всегда линейно зависимы.

Видео:Линейная зависимость и линейная независимость векторов.Скачать

Линейная зависимость и  линейная независимость  векторов.

Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов

Проверим векторы a = 3 , 4 , 5 , b = — 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 на линейную независимость.

Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.

Проверим векторы a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , — 1 , 1 на линейную независимость.

Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записываем векторное уравнение в виде линейного:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 — x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:

1 1 0 | 0 1 2 — 1 | 0 1 0 1 | 0

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей — 1-ю:

1 1 0 | 0 1 — 1 2 — 1 — 1 — 0 | 0 — 0 1 — 1 0 — 1 1 — 0 | 0 — 0

1 1 0 | 0 0 1 — 1 | 0 0 — 1 1 | 0

Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:

1 — 0 1 — 1 0 — ( — 1 ) | 0 — 0 0 1 — 1 | 0 0 + 0 — 1 + 1 1 + ( — 1 ) | 0 + 0

0 1 0 | 1 0 1 — 1 | 0 0 0 0 | 0

Из решения следует, что у системы множество решений. Это значит, что существует ненулевая комбинация значения таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , при которых линейная комбинация a , b , c равняется нулевому вектору. Следовательно, векторы a , b , c являются линейно зависимыми. ​​​​​​​

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

10. Линейная зависимость и независимость векторов

Рассмотрим далее основополагающие в линейной алгебре понятие о линейной зависимости и независимости векторов, а также определение базиса системы векторов.

Любую конечную последовательность векторов Млнс системы векторов этоБудем называть системой векторов, а любую ее подпоследовательность – подсистемой векторов. Линейной комбинацией векторов Млнс системы векторов этоназовем вектор Млнс системы векторов это, равный сумме произведений произвольных чисел Млнс системы векторов этона векторы системы, т. е. Млнс системы векторов это.

Система векторов Млнс системы векторов этоназывается линейно независимой, если их линейная комбинация равна нулевому вектору только в том случае, когда все числа Млнс системы векторов эторавны нулю. В обратном случае система векторов называется линейно зависимой. Отсюда, система векторов является линейно зависимой в том случае, когда линейная комбинация векторов равна нулевому вектору, а хотя бы один числовой коэффициент отличен от нуля.

Линейная зависимость и независимость есть свойства системы векторов. Однако часто соответствующие прилагательные относят и к самим векторам. Поэтому вместо «линейно независимая система векторов» допустимо говорить «линейно независимые векторы».

Например, двумерные арифметические векторы Млнс системы векторов этоИ Млнс системы векторов этоЛинейно независимы. Их линейная комбинация Млнс системы векторов эторавна вектору Млнс системы векторов это, который обращается в нулевой вектор Млнс системы векторов этоТолько тогда, когда Млнс системы векторов этои Млнс системы векторов это.

Если взять векторы Млнс системы векторов этоИ Млнс системы векторов это, то они являются линейно зависимыми, так как их линейная комбинация равна нулевому вектору при Млнс системы векторов этоИ Млнс системы векторов это, не равных нулю.

Из определения линейной зависимости (независимости) системы векторов вытекают следующие утверждения.

1) Если некоторая система векторов содержит нулевой вектор, то она является линейно зависимой.

Пусть для определенности первый вектор системы является нулевым, т. е. Млнс системы векторов это

Тогда линейная комбинация векторов вида Млнс системы векторов эторавна нулевому вектору, что и доказывает наше утверждение.

2) Если среди векторов системы есть такие, которые сами образуют линейно зависимую подсистему, то вся система также линейно зависима.

Так как исходная подсистема линейно зависима, то среди коэффициентов линейной комбинации векторов подсистемы имеется хотя бы один отличный от нуля. Добавим к этой линейной комбинацию линейную комбинацию векторов, не вошедших в исходную подсистему, с числовыми коэффициентами, равными нулю. Мы получим линейную комбинацию из векторов полной системы, которая равна нулевому вектору, причем имеется хотя бы один коэффициент отличный от нуля. Таким образом, наше утверждение доказано.

3) Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема также линейно независима.

Если предположить обратное, т. е. существование некоторой линейно зависимой подсистемы, то по предыдущему утверждению отсюда следует зависимость исходной системы, что противоречит условию доказываемой теоремы. Полученное противоречие доказывает сформулированное утверждение.

4) Для того чтобы система из Млнс системы векторов этоНенулевых векторов была линейно зависима необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов системы мог быть представлен как линейная комбинация предшествующих векторов.

Необходимость. Пусть система векторов Млнс системы векторов этолинейно зависима. Тогда равенство Млнс системы векторов этовыполняется при том условии, что хотя бы одно из чисел в левой части равенства отлично от нуля. Будем перебирать эти числа, начиная с большего номера, и остановимся на некотором номере Млнс системы векторов этотаком, что соответствующий коэффициент отличен от нуля, т. е. Млнс системы векторов это. Номер Млнс системы векторов этоне может быть равен единице, так как иначе из условий Млнс системы векторов этоИ теоремы о нулевом произведении следовало бы равенство Млнс системы векторов это, что противоречит правилу выбора номера Млнс системы векторов этои условию теоремы. Таким образом Млнс системы векторов это, и справедливо равенствоМлнс системы векторов это. Отсюда находим вектор Млнс системы векторов этоТаким образом, чтобы он является линейной комбинацией предшествующих ему векторов, а именно Млнс системы векторов это.

Достаточность. Пусть имеется некоторый вектор Млнс системы векторов это, который представлен в виде линейной комбинации предшествующих ему векторов Млнс системы векторов это. Тогда выполняется условие Млнс системы векторов это, что по определению означает линейную независимость исходной системы векторов.

По аналогичной схеме доказывается следующее утверждение.

5) Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов системы может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов.

🎬 Видео

Базис. Разложение вектора по базису.Скачать

Базис. Разложение вектора по базису.

Линейные комбинации, span и базисные вектора | Сущность Линейной Алгебры, глава 2Скачать

Линейные комбинации, span и базисные вектора | Сущность Линейной Алгебры, глава 2

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.

Неравномерная темперация и биения центра объектовСкачать

Неравномерная темперация и биения центра объектов

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

Национализм и марксистский вопросСкачать

Национализм и марксистский вопрос

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Линейная зависимость векторовСкачать

Линейная зависимость векторов

Линейная зависимость и независимость систем векторовСкачать

Линейная зависимость и независимость систем векторов
Поделиться или сохранить к себе: