Метрические соотношения в треугольника (8 видео)

Метрические соотношения в треугольника

Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике

Содержание

§1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.
Метрические соотношения в треугольника
§ 16. Теорема Пифагора.
§ 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника.
§ 18. Решение прямоугольных треугольников.
ИТОГИ ГЛАВЫ 3
Метрические соотношения в треугольнике.
🔥 Видео

§1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.

Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике

Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha` (рис. 1).

Используем обычные обозначения:

`c` — гипотенуза `AB`;

`a` и `b` – катеты `BC` и `AC` (по-гречески «kathetos — катет» означает отвес, поэтому такое изображение прямоугольного треугольника нам представляется естественным);

`a_c` и `b_c` – проекции `BD` и `AD` катетов на гипотенузу;

`h` – высота `CD`, опущенная на гипотенузу;

`m_c` – медиана `CM`, проведённая к гипотенузе;

`R` – радиус описанной окружности;

`r` – радиус вписанной окружности.

Напомним, что если `alpha` — величина острого угла `A` прямоугольного треугольника `ABC` (см. рис. 1), то

`sin alpha = a/c`, `cos alpha = b/c` и `»tg»alpha = a/b`.

Значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника зависят только от меры угла и не зависят от размеров и расположения треугольника.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

`c^2 = a^2 + b^2`

Доказательство теоремы повторите по учебнику.

Выведем ряд соотношений между элементами прямоугольного треугольника.

Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу

Если `/_ A = alpha` (см. рис. 1), то `/_ CBD = 90^@ — alpha` и `/_ BCD = alpha`. Из треугольника `ABC` `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треугольника `BCD` `sin alpha = (BD)/(BC)`.

Значит, `(BC)/(AB) = (BD)/(BC)`, откуда `BC^2 = AB * BD`, т. е. `a^2 = c * a_c` . Аналогично доказывается второе равенство.

Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу

Из треугольника `ACD` (рис. 1) имеем `»tg»alpha = (CD)/(AD)`, а из треугольника `BCD` `»tg»alpha = (BD)/(CD)`.

Значит `(BD)/(CD) = (CD)/(AD)`, откуда `CD^2 = AD * BD`, т. е. `h^2 = a_c * b_c`.

Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу

Из треугольника `ABC` имеем `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треуольника `ACD` `sin alpha = (CD)/(AC)`.

Таким образом, `(BC)/(AB) = (CD)/(AC)`, откуда `BC * AC = AB * CD`, т. е. `a * b = c * h`.

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т. е.

Пусть `AM = BM`. Проведём $$ MKVert BC$$ (рис. 2), тогда по теореме Фалеса `AK = CK`

Кроме того, из того, что `BC _|_ AC` и $$ MKVert BC$$ следует `MK _|_ AC`. В прямоугольных треугольниках `CMK` и `AMK` катет `MK` общий, катеты `CK` и `AK` равны. Эти треугольники равны и `CM = AM`, т. е. `CM = 1/2 AB`.

Полезно также запомнить, что медиана к гипотенузе разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы

Это следует из Свойства 4, действительно, `MA = MB = MC`, следовательно, окружность с центром в точке `M` и радиуса `c/2` проходит через три вершины.

Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей

`a + b = 2(R + r)` или `a + b = c + 2r`

Пусть `O` — центр вписанной окружности и `F`, `N` и `S` — точки касания сторон треугольника `ABC` (рис. 3), тогда `OF_|_ BC`, `ON _|_ AC`, `OS _|_ AB` и `OF = ON = OS = r`. Далее, `OFCN` — квадрат со стороной `r`, поэтому `BF = BC — FC`, `AN = AC — CN`, т. е. `BF = a — r` и `AN = b — r`.

Прямоугольные треугольники `AON` и `AOS` равны (гипотенуза `AO` — общая, катеты `ON` и `OS` равны), следовательно, `AS = AN`, т. е. `AS = b — r`.

Аналогично доказывается, что `BS = a — r`, поэтому из `AB = AS + BS` следует `c = (b — r) + (a — r)`, т. е. `a + b = c + 2r`. Зная, что `c = 2R`, окончательно получаем `a + b = 2(R + r)`.

Равенства, доказанные в Свойствах 1 и 2, записываются также как:

Видео:Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольникеСкачать

Метрические соотношения в треугольника

§ 16. Теорема Пифагора.

§ 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника.

§ 18. Решение прямоугольных треугольников.

ИТОГИ ГЛАВЫ 3

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Синус острого угла прямоугольного треугольника
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Тригонометрические формулы

Соотношения между сторонами и значениями тригонометрических функций углов в прямоугольном треугольнике

Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.
Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.
Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катету.
Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому катету.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

«Мерзляк Геометрия 8 Глава 3» СОДЕРЖАНИЕ: § 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. § 16. Теорема Пифагора. § 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. § 18. Решение прямоугольных треугольников.

Это конспект по теме «Мерзляк Геометрия 8 Глава 3». Выберите дальнейшие действия: Вернуться к Списку конспектов по геометрии.

Видео:МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ . §15 геометрия 8 классСкачать

Метрические соотношения в треугольнике.

Соотношения между сторонами и углами треугольника.

		В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
	В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
	В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
	В прямоугольном треугольнике котангенс угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему.

Теорема 24. (Пифагора) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема 25. (Теорема, обратная теореме Пифагора) Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

С помощью теоремы, обратной к теореме Пифагора, можно по длинам сторон определить, является он прямоугольным или нет.

Наиболее интересны прямоугольные треугольники с целочисленными длинами сторон. Так, например, треугольники

3, 4, 5 и далее им подобные 6, 8, 10, далее 9, 12, 15 и т.д.

5, 12, 13 и далее им подобные 10, 24, 26 и т.д.

8, 15, 17 и далее им подобные.

7, 24, 25 и далее им подобные.

Скорее всего таких независимых серий прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон бесконечно много.

Теорема 26. (синусов) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

. Следствием к теореме синусов можно считать следующую теорему. Теорема 27. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и их отношения равны двум радиусам описанной окружности около данного треугольника..

Теорема 28. (косинусов) Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.