Методика изучения темы вектора (2 видео)

Методика изучения темы «Векторы»

В математике обычно имеют дело с так называемым свободным вектором (вектором, не связанным ни с какой прямой и ни с какой фиксированной точкой). Следует отметить, что в математике вектор рассматривается как элемент векторного пространства, но в школьном курсе математики понятие «векторное пространство» не изучается. Поэтому и выделяют различные подходы к введению вектора. Каждый из этих подходов имеет свои достоинства и недостатки. И фактически ни один из них не является идеальным и логически безупречным.

Так, в пособии под редакцией Колмогорова А. Н. дается такое определение: «В геометрии параллельные переносы имеют и другое название — их называют векторами». Данное определение основано на рассуждениях, что вектор — это объект, характеризуемый направлением и длиной. Однако, как известно, теми же самыми признаками характеризуется и параллельный перенос. Поэтому представляется наиболее естественным всякий параллельный перенос называть вектором.

Новое определение вектора не связано с понятием направленного отрезка. Под вектором понимают либо множество упорядоченных пар точек, задающих некоторый параллельный перенос, либо сам этот перенос. Рассмотрим множество всех пар точек плоскости. Для элементов рассматриваемого множества введем следующее отношение: пары (А, В) и (С, D), если [АВ) [СВ) и , |АВ|=|СО|. Это те пары точек, которые задают один и тот же параллельный перенос. Эквивалентными между собой будем считать и пары, у которых первая точка совпадает со второй. Легко проверить, что такое отношение эквивалентности обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Данное отношение эквивалентности разбивает множество пар точек плоскости на непересекающиеся подмножества (классы), элементами которых являются эквивалентные пары. Каждое из таких подмножеств можно назвать вектором. Заметим, что при данной трактовке вектора направленный отрезок АВ выступает как удобное наглядное изображение вектора. Однако в статье А. Д. Александрова «Понятие вектора в физике и геометрии» говорится о том, что неправильно определять вектор как направленный отрезок.

В этой же статье в качестве наиболее удачного предлагается такое определение вектора; «Вектором в геометрии называется направленный отрезок, рассматриваемый с точностью до выбора его начала, т.е. равные друг другу направленные отрезки считаются представителями или изображениями одного и того же вектора. Данный вектор -это любой из таких отрезков».

«Направленный отрезок называется вектором» — так определяется данное понятие в учебниках. Отличительной чертой изложения векторов здесь является широкое использование координатного метода. При этом широко применяются свойства параллельного переноса, который сам вводится с использованием координат. С помощью параллельного переноса вводятся такие понятия, как «одинаково направленные векторы», «равенство векторов».

У этого подхода к введению векторов есть достоинства и недостатки. К достоинствам можно отнести отсутствие трудностей, связанных с введением операций над векторами и законов векторной алгебры. К недостаткам следует отнести то, что геометрический смысл этих операций отодвигается на второй план, а приложения векторов в физике и в геометрии практически не рассматриваются. Эти недостатки частично устранены в учебнике Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия 7-9 кл.», где сначала изложена декартова система координат, затем тема «Векторы» (вектор и операции над векторами рассматриваются с геометрической точки зрения, уделяется внимание их приложениям) и только потом идет векторная алгебра.

Содержание темы в школьном курсе математики и некоторые особенности ее изучения

Операции над векторами.

Операции над векторами, которые изучаются в средней школе, следующие;

— сложение векторов (вычитание);

— скалярное произведение векторов;

Чаще всего эти операции вводятся в геометрической форме (Л.С. Атанасян).

Отличительной чертой учебного пособия по геометрии А.В. По-горелова является то, что все операции над векторами вводятся в координатной форме. (Фактический материал см. по соответствующим учебникам).

Важным для приложений векторов является тот факт, что любой вектор а(а_иа₂) допускает разложение в виде , гдее , -единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, их называют координатными векторами, или ортами.

В этой теме обязательно доказательство теоремы о скалярном произведении векторов (доказательство знать), поскольку ряд важных следствий из этой теоремы, а также свойства скалярного произведения позволяют применять векторы к доказательству теорем и решению задач.

Применение векторов при доказательстве теорем.

С помощью векторов могут быть доказаны следующие теоремы:

— средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне и равна ее половине;

— сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна гумме квадратов длин всех его сторон;

— диагонали ромба взаимно перпендикулярны;

— диагонали в прямоугольнике имеют равные длины; и т.д. (одну доказать).

Методика решения геометрических задач с помощью векторов.

Введенный в среднюю школу векторный аппарат дает новый метод для решения геометрических задач. По значимости его мож-ю сравнить с методом составления уравнений.

Так как этот метод является новым для учащихся, необходимо:

а) заинтересовать учащихся, показав им эффективность его использования на специально подобранных задачах;

в) обучать учащихся некоторым эвристикам (системе опредеделённых правил, помогающих найти ключ к решению задачи), которые помогут создать у них навык в его применении;

с) обучать учащихся этому методу достаточно на простых задачах, не отвлекая внимание на трудности чисто геометрического содержания.

Содержание

Лекция XII МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ВЕКТОРОВ НА ПЛОСКОСТИ
Различные подходы к введению понятия вектора
Методика изучения векторов в курсе геометрии 9 класса
Курсовая.doc
Коллинеарные векторы :
Равенство векторов :
Сложение и вычитание векторов :
Умножение вектора на число :
Пояснительная записка
Содержание обучения
📸 Видео

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Лекция XII МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ВЕКТОРОВ НА ПЛОСКОСТИ

Видео:Геометрия - 9 класс (Урок№1 - Понятие вектора. Равенство векторов)Скачать

Различные подходы к введению понятия вектора

Вектор — одно из фундаментальных понятий современной математики, оно широко используется в различных её областях. В работах Г. Бесселя,

Ж. Аргана и К. Ф. Гаусса по теории комплексных чисел установлена связь между арифметическими операциями над комплексными числами и геометрическими операциями над векторами в двумерном пространстве. В работах В. Гамильтона, Г. Грассмана, Ф. Мёбиуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трёхмерного и многомерного пространств.

В настоящее время на векторной основе излагаются линейная алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрия, функциональный анализ и др.

В математике иод вектором понимают элемент векторного пространства. Векторное пространство трактуется как множество объектов, на котором введены операции сложения объектов и умножения объекта на действительное число так, что выполняются известные вам аксиомы:

1) внутренний закон композиции: для любых элементов я, Ъ, принадлежащих множеству V, существует единственный элемент (а+Ъ)_у принадлежащий множеству К;
2) закон ассоциативности: а + (Ь + с) = (а + Ъ)+с, для любых элементов а , Ь, с, принадлежащих множеству V;
3) закон коммутативности: а + Ъ = Ь+а, для любых элементов# ,6, принадлежащих множеству V;
4) для любых элементов а, Ь, принадлежащих множеству V, существует такой элемент х, принадлежащий множеству V, что а + х = b;
5) внешний закон композиции: дтя любого элемента а, принадлежащего множеству V и для любого элемента а, принадзежащего множеству R. существует элемент аа, принадлежащий множеству V.

6) закон ассоциативности для умножения: <а(3)а = а((3а), где 0 и противоположно ему, если m Достоинства трактовки вектора как направленного отрезка:

1) Трактовка вектора как направленного отрезка придает этим объектам и операциям над ними хорошую наглядность. Это очень важно, гак как в процессе формирования понятия большую роль играет образный компонент, поэтому желательны такие определения, которые позволяют воображению легко конструировать образы определяемых объектов. Такой вывод согласуется с результатами психологических исследований.
2) Трактовка вектора как направленного отрезка обычно используется в физике. Таким образом, она способствует осуществлению межпредметных связей. Следует отметить и то, что в решении геометрических задач вектор используется как направленный отрезок.

Недостатки трактовки вектора как направленного отрезка:

1) Её реализация связана с громоздкостью доказательства свойств сложения векторов и умножения вектора на число. Так, доказательство переместительного свойства сложения векторов предполагает рассмотрение двух случаев: а) векторы а и b коллинеарны; б) векторы а и b неколлинеарны. Доказательство свойства: для любых k, I и вектора a (kl)a = к(1а) требует рассмотрение четырех случаев.

Кроме того, реализация трактовки вектора как направленного отрезка отличается непоследовательностью. При этой трактовке векторы считаются равными, если они имеют одинаковую длину и направление. Такое определение нельзя считать математически корректным, так как «равные векторы» — это по существу «один и тот же вектор» (аналогично тому, как «равные числа» — по существу «одно и то же число»), тогда как направленные отрезки АВ и CD — это различные отрезки, а не один и тот же отрезок. Тем самым, приняв это определение вектора, мы отождествляем два различных (хотя и родственных) математических понятия: понятие равенства и понятие эквивалентности.

Равенство двух математических объектов есть их совпадение; эквивалентность же объектов означает любое отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Непоследовательность такой трактовки вектора проявляется при доказательстве теорем или решении задач. Например, доказательство того, что сумма векторов зависит от выбора «начальной» точки предполагает не различать равные векторы, то есть понимать под вектором множество сонаправленных отрезков равной длины, хотя вектор определен как направленный отрезок.

Конечно, эту непоследовательность легко можно исключить, если с самого начала вектор определить как множество сонаправленных отрезков равной длины, но в этом случае наглядность затруднительна.

Трактовка вектора как параллельного переноса наиболее абстракта, лишена наглядности, неприемлема в физике. Ее достоинства — это отсутствие непоследовательностей в действиях с векторами, естественное введение сложения векторов и умножения вектора на число, более простые доказательства основных законов векторной алгебры. Ее реализация требует обширных знаний теории геометрических преобразований. Но геометрические преобразования не составляют основу наших учебников, поэтому такой подход к введению понятия вектора нс используется в настоящее время.

Трудность выбора того или иного определения вектора возникает потому, что в различных научных дисциплинах используются различные виды векторов. Так, в механике обычно рассматриваются так называемые скользящие векторы (вектор, начало которого можно выбирать на некоторой прямой, по которой он может перемещаться) и связанный вектор (вектор, начало которого отождествляется с некоторой фиксированной точкой); в математике же обычно имеют дело с так называемым свободным вектором (не связанным ни с какой прямой и ни с какой фиксированной точкой).

Итак, рассмотрение различных интерпретаций векторного пространства приводит к выводу о том, что наиболее приемлемой в средней школе является интерпретация вектора как направленного отрезка.

Следует заметить, что есть предложения отказаться в школьном курсе геометрии от определения вектора. В этом случае вектор появляется как термин, обозначающий векторные величины; направленный отрезок выступает как изображение этой величины (вектора).

Такой подход реализуется в учебнике геометрии А. Д. Александрова, А. Л. Вернера и В. И. Рыжика и в «Экспериментальном учебном пособии по математике» для ПТУ М. И. Баш макова (М., 1987).

Последовательность изучения векторных понятий в действующих учебниках геометрии представлена в таблице 14.

Л. С. Атанасян и др.

8 класс (последняя глава)

Понятие вектора, нулевой вектор, длина или модуль вектора, равные векторы, откладывание вектора от точки, сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число

Понятие вскгора, абсолютная величина (модуль) вскгора, равные векторы, нулевой вектор, откладывание вектора от точки, координаты вектора, сложение векторов. умножение вектора на число, коллинсарныс вектора, скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов

Изложение теории векторов в учебнике А. В. Погорелова отличается от соответствующего изложения в учебнике Л. С. Атанасяна и др. не только последовательностью, но и методом изложения.

В основу изложения векторов в учебнике А. В. Погорелова положен координатный метод, поэтому здесь широко используются координатные модели векторных понятий и доказательства теорем с использованием координат вектора.

В учебнике Л. С. Атанасяна и др., а также в учебнике А. Д. Александрова и др. используется метод изложения без использования координат. Это создаст определенные трудности в обосновании законов векторной алгебры. Трудности возникают, главным образом, за счет необходимости рассмотрения большого количества частных случаев. Так, доказательство независимости суммы векторов от выбранной точки требует рассмотрения кроме стандартного случая (точки А, В,С,А, В|, С не лежат на одной прямой), который приведен в учебнике Л. С. Атанасяна и др., случая, при котором все точки Л, В, С, А₉ В_ь С расположены на одной прямой. Доказательство переместительного свойства сложения векгоров предполагает рассмотрение двух частных случаев, а доказательство сочетательного свойства умножения вектора на число — четырех случаев.

В учебнике Л. С. Атанасяна и др. большинство теорем, связанных со свойствами векторов, сообщаются без доказательства. В учебнике А.Д. Александрова и др. — все свойства обосновываются.

Тема «Векторы» как в учебнике Л. С. Атанасяна и др., так и в учебнике А. В. Погорелова, является последней в курсе геометрии 8 класса. Это, очевидно, отражает точку зрения авторов на функции векторов в изложении геометрии: им отводится, в основном, служебная роль (способствовать изучению физических векторных величин). Об этом говорит и то, что векторы никак нс связаны с изучением основного содержания курса геометрии.

В действующих учебниках геометрии вектор трактуется как направленный отрезок. При введении понятия вектора следует обратить внимание на понимание различия между отрезком и направленным отрезком. Ученики должны усвоить, что отрезок АВ и отрезок В А — один и тот же объект, направленный отрезок АВ и направленный отрезок ВА — разные объекты. Для этого можно использовать упражнения.

1. Сколько отрезков и сколько векторов определяют две (три) различные точки?
2. Начертите параллелограмм. Назовите все отрезки, концами которых являются вершины параллелограмма. Назовите все векторы, определяемые вершинами параллелограмма. И т. д.

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Методика изучения векторов в курсе геометрии 9 класса

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 16 Апреля 2012 в 16:50, курсовая работа

Краткое описание

Цель и задачи курсового исследования:
 выявить место изучения понятия вектор и действий над векторами в школьном курсе геометрии;
 определить эффективность векторного метода для решения геометрических задач;
 разобрать доказательства теорем с помощью векторов и методы решения геометрических задач с использованием основных векторных соотношений.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ
1.1.Место изучения понятия вектор и действий над векторами
1.2.Операции над векторами
1.2.Основные результаты изучения векторов на плоскости

ГЛАВА II. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ И РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
2.1.Доказательство теорем с помощью векторов
2.2.Методика решения геометрических задач с помощью векторов

Вложенные файлы: 1 файл

Видео:ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)Скачать

Курсовая.doc

ГБОУ СПО Пензенской области

«Белинский многопрофильный колледж»

Тема: Методика изучения векторов в курсе геометрии 9 класса

студентка 4 курса группы «А»

ГЛАВА I . ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

1.1. Место изучения понятия вектор и действий над векторами

1.2.Операции над векторами

1.2. Основные результаты изучения векторов на плоскости

ГЛАВА II . ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ И РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

2.1. Доказательство теорем с помощью векторов

2.2. Методика решения геометрических задач с помощью векторов

В настоящее время проблемам преподавания математики в школе стали уделять больше внимания. Это связано с научно-техническим прогрессом и развитием наукоемких производств. Технические науки, среди которых, в последнее время, быстро развиваются и имеют огромное практическое значение, такие как информационные технологии, электроника и т.д., немыслимы без математического аппарата.

Основа для математической грамотности закладывается именно в школе, поэтому изучению вопросов, связанных с этим процессом, уделяется пристальное внимание. Математика является одним из опорных предметов школы. Она требует от учащихся волевых и умственных усилий, развитого воображения, концентрации внимания. Математика развивает личность учащегося. Изучение математики существенно способствует развитию логического мышления и расширяет кругозор школьников.

Курс геометрии занимает большое место и играет важную роль в школьном математическом образовании. На него приходится около 40% учебного времени, отводимого на математику в VI – X классах, причем геометрия изучается на протяжении всего времени обучени я в школе. Наряду с традиционными методами геометрии, использующими равенство и подобие треугольник ов, тригонометрию и алгебру (уравнения), в школьном курсе геометрии последовательно усиленно применяются аксиоматический метод, метод геометрических преобразований, координатный и векторный методы, методы математического анализа.

Изучение понятия вектора и операций над векторами, т.е. векторный аппарат дает новый эффективный метод для решения геометрических задач . Принимая во внимание все вышесказанное, темой курсовой работы выбрана «Методика изучения векторов в курсе геометрии 9 класса».

Цель и задачи курсового исследования:

 выявить место изучения понятия вектор и действий над векторами в школьном курсе геометрии;

 определить эффективность векторного метода для решения геометрических задач;

 разобрать доказательства теорем с помощью векторов и методы решения геометрических задач с использованием основных векторных соотношений.

Объектом курсового исследования является процесс формирования умений выполнять операции с векторами, процесс применения векторов при решении геометрических задач.

Предметом курсового исследования – формы, методы, виды упражнений , особенности применения векторного аппарата при решении геометрических задач.

Гипотеза исследования: при целенаправленном выполнении, требований к знаниям и умениям векторного аппарата учащимися на уро ках геометрии позволит векторному метод у выступать в качестве одного из средств развития заинтересованности учащихся при решении геометрических задач.

ГЛАВА I . ВЕКТОРЫ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

1.1.Место изучения понятия вектор и действий над векторами

Материалу, непосредственно связанному с изучением векторов на плоскости, отводится достаточно немного времени в школьной программе по математике. Хотя, стоит заметить, что курс геометрии в старших классах средней школы строится именно на основе векторных представлений. Данный материал играет важную роль при решении школьниками многих геометрических и физических задач, закладывает основу для изучения понятия вектора в пространстве.

Изучение векторов начинается в четвертой четверти VIII класса. Для успешного освоения учащимися данного материала, они должны быть знакомы с понятием декартовых координат на плоскости, понятием отрезок, уметь определять координаты на плоскости и расстояние между двумя точками на плоскости, а также понимать значение понятия параллельный перенос и знать его свойства.

Понятие вектора — одно из основополагающих, поэтому оно размыто и многолико. В старых учебниках встречается понятие «закреплённый (связанный) вектор» (это современный направленный отрезок) и «свободный вектор» (соответствующий современному вектору). С точки зрения линейной алгебры вектор — элемент векторного пространства, объект, для которого определены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие определённым требованиям. Отождествление точки с её радиус-вектором позволяет считать, что вектор — это точка плоскости (пространства) или же пара (тройка) чисел — её координаты. Можно также сказать, что вектор есть параллельный перенос плоскости (пространства). Этот подход был общепринят в период распространения учебников Колмогорова и Скопеца. В определении вектора особую сложность представляет понятие сонаправленности, большинство учебников апеллирует к наглядным представлениям. Достаточно строгим изложение можно сделать, прибегнув к координатному определению вектора, хотя при этом теряется наглядность. Элементы этого подхода есть в учебнике Погорелова «Геометрия 7-9», но в весьма причудливой смеси с другими подходами .

В учебнике Атанасян Л.С., который сейчас в основном используется в школах, материал преподносится учащимся в следующем порядке:

1) Понятие вектора

 Откладывание вектора от данной точки

2) Сложение и вычитание векторов

 Сумма двух векторов

 Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

 Сумма нескольких векторов

3) Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач.

 Произведение вектора на число

 Применение векторов к решению задач

 Средняя линия трапеции

4) координаты вектора. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам .

В учебнике Погорелова А.В. [4] материал преподносится учащимся в следующем порядке:

1) Даются основные понятия: вектор, направление вектора, абсолютная величина (модуль), нулевой вектор.

2) Рассматривается понятие равенства векторов.

3) Определяются координаты вектора.

4) Рассматриваются действия над векторами: сложение (вычитание) векторов, умножение вектора на число. Разбирается, как применяются вектора в физических задачах, на примере сложения сил.

5) Дается понятие коллинеарных векторов и рассматривается разложения вектора по двум неколлинеарным векторам.

6) Рассматривается понятие скалярного произведения векторов.

7) Дается понятия единичного вектора, координатного вектора (орта) и рассматривается разложение вектора по координатным осям.

1.2.Операции над векторами

Методика обучения математики устанавливает, какими способами можно добиться у всех учащихся прочных знаний, умений и навыков, затрачивая на это минимум сил и времени, а также как развивать творческие способности учащихся и достигать всех тех учебно-воспитательных целей, которые ставятся при изучении математики. Для решения этих задач в методике математики разрабатывают систему методов и приемов обучения.

При использовании различных приемов и методик следует учитывать уровень подготовки учащихся, специфику изучаемой темы и т.п. факторы. Используя в своей работе совокупность различных методов, приемов и их комбинации, учитель может добиться желаемых успехов.

Для более глубокого понимания сути вопроса и возможности подбора необходимых методик преподавания изучаемой нами темы, в данной работе мы рассмотрим содержание основной части школьной программы связанной с этим вопросом.

В различной литературе понятие вектор вводится по-разному. Так в учебнике Погорелова А.В. [4] дается следующее определение:

« Вектором мы будем называть направленный отрезок (рис. 1). Направление вектора определяется указанием его начала и конца. На чертеже направле ние вектора отмечается стрелкой » .

В учебнике Атанасяна Л.С. можно увидеть другой подход во введении этого понятия: «Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором » .

Для обозначения векторов обычно используются строчные латинские буквы: а, b, с и т.д. Кроме этого, обозначить вектор можно указанием его начала и конца (причем, начало вектора указывается первым). Вместо слова “вектор” над буквенным обозначением вектора обычно ставят стрелку или черту. Изображенный на рисунке 1 вектор можно обозначить как: , или , . « Абсолютной величиной (или модулем ) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор». Абсолютную величину вектора иногда называют, также, длиной вектора и обозначают: или .

Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называют нулевым вектором. Такой вектор обозначают . Длина нулевого вектора равна нулю и он не имеет определенного направления.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Коллинеарные векторы :

« Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых .» Такое определение дается как в учебнике Погорелова А.В. , так и в учебнике Атанасяна Л.С.

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или проти вопо лож но направлены . Можно по-разному разъяс нить эти понятия:

1) Расположим два коллинеарных вектора таким образом, чтобы их начала лежали на одной прямой. Если они оба лежат в одной полуплоскости от но си тельно прямой, то векторы одинаково направлены. Если они лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, то векторы противоположно нап равлены.

2) Векторы и называются одинаково направленными, если полупрямые АВ и CD одинаково направлены. Векторы и называются противоположно направленными, если полупрямые АВ и CD противоположно направлены.

3) Если два вектора лежат на одной прямой, они одинаково направлены в том случае, если их направления совпадают с направлением одной из полупрямых данной прямой, и противоположно направлены, если их направления не совпадают с направлением одной полупрямой.

На рисунке 2 векторы и одинаково направлены, а векторы и противоположно направлены. Одинаково направленные векторы принято обозначать   , противоположно направленные –   .

Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

Равенство векторов :

« Два вектора называются равными , если они одинаково н аправлены и имеют равные длины». Такое определение дается в учебнике Атанасяна Л.С.

В учебнике Погорелова А.В. определение дается через п онятие параллельного переноса: « Два вектора называются равными, если они совмещаютс я параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора, соответственно в начало и конец другого вектора.

Из данного определения равенства векторов следует, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

Обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абс олютной величине, то они равны».

Рассмотрим наглядно. На рисунке 3 изображены векторы и одинаково направленные и равные по модулю. При параллельном переносе точка С переходит в точку А , совмещая, таким образом, полупрямую CD с полупрямой АВ , так как они одинаково направлены (а соответственно и коллинеарны). Так как векторы равны, то при осуществляемом нами параллельном переносе точка D совмещается с точкой В , а следовательно вектор переходит . Следовательно, векторы и равны, что и требовалось доказать.

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Сложение и вычитание векторов :

Суммой векторов и с координатами а 1 , а 2 и b 1 , b 2 называется вектор с координатами а 1 + b 1 , a 2 + b 2 , т.е.

Для любых векторов , , имеют место следующие свойства:

Для доказательства достаточно срав нить соответствующие координаты векторов, стоящих в правой и левой частях равенств. Мы видим, что они равны. А векторы с соответственно равными координатами рав ны.

Теорема. Каковы бы ни были точки А , В , С имеет место векторное равенство .

Доказательство. Пусть , , — данные точки (см. рисунок 5). Вектор имеет координаты , , вектор имеет координаты , . Следовательно, вектор имеет координаты , . А это есть координаты вектора . Значит, векторы и равны. Теорема доказана.

Доказанная теорема дает воз мож ность следующего графического пос трое ния суммы произвольных векторов и . Надо от конца вектора отложить вектор равный вектору . Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , будет суммой векторов и (см. рисунок 6). Такой способ на зы ва ет ся «правилом треугольника» сложения векторов.

Для двух векторов с общим началом сумма может также изо бражаться диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Такой метод построения на зывается «пра ви лом параллело грамма». Действительно, , а . Значит, (см. рисунок 7).

Разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор : . Отсюда находим координаты вектора : , . Очевидно, что вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и . Началом его является конец вычитаемого вектора , концом – конец уменьшаемого вектора (см. рисунок 7).

Видео:ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Умножение вектора на число :

Произведением вектора на число называется вектор , т.е. .

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами для любых векторов и любых чисел:

3) (дистрибутивность относительно векторного мно жи теля;

4) (дистрибутивность относительно числового множи теля.

Теорема. Абсолютная величина вектора при совпадает с направлением вектора , если , и противоположно направлению вектора , если .

Доказательство. Построим векторы и , равные и соответственно (О – начало координат). Пусть и — координаты вектора . Тогда координатами точки А будут числа и , а координатами точки В будут и (см. рисунок 9). Уравнение прямой ОА имеет вид: .

Так как уравнению удовлетворяют координаты точки , то ему удовлетворяют и координаты точки . Отсюда следует, что точка В лежит на прямой ОА . Координаты и любой точки С , лежащей на полупрямой ОА , имеют те же знаки, что и координаты и полупрямой, дополнительной к ОА , имеют противоположные знаки.

Поэтому если , то точка В лежит на полупрямой ОА , а следовательно, векторы и одинаково направлены. Если , то точка В лежит на дополнительной полупрямой, векторы и противоположно направлены.

Абсолютная величина вектора равна:

Скалярное произведение векторов :

Скалярным произведением векторов и называется число .

Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение обозначается и называется скалярным квадратом. Очевидно, .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

Углом между ненулевыми векторами и называется угол ВАС . Угол между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство. Пусть и – данные векторы и – угол между ними. Имеем:

Отсюда видно, что скалярное произведение выражается через длины векторов , и , а поэтому не зависит от выбора системы координат, т.е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 11. При таком выборе системы координат координатами вектора будут и 0 , а координатами вектора будут и . Скалярное произведение . Теорема доказана.

Из доказанной нами теоремы следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

1.3 .Основные результаты изучения векторов на плоскости

Прочное освоение в 9 классе материалов, связанных с векторами на плоскости является важным моментом в изучении геометрии, как мы указывали это ранее. Перед преподавателем ставится цель закрепить следующие знания и навыки у учащихся.

1) Учащиеся должны знать:

— основные понятия: вектор, направление вектора, модуль вектора, нулевой вектор, равенства векторов;

— как определяются координаты вектора;

— как выполняются действия над векторами: сложение (вычитание) векторов, умножение вектора на число и какие свойства имеют место при выполнении этих действий;

— понятие коллинеарных векторов;

— понятие скалярного произведения векторов и свойства, которыми обладает скалярное произведение векторов;

— понятия единичного вектора и координатного вектора.

2) Учащиеся должны уметь:

— строить вектор в декартовой системе координат;

— находить модуль вектора;

— находить и записывать координаты вектора;

— выполнять сложение и вычитание векторов графическими методами по «правилу треугольника» и «правилу параллелограмма», а также выполнять эти действия, используя координаты векторов;

— выполнять умножение вектора на число;

— находить скалярное произведение векторов;

— находить разложение вектора по двум неколлинеарных векторам;

— находить разложение вектора по координатным осям;

— решать геометрические задачи, в которых используются основные понятия, связанные с вектором на плоскости, и применять полученные знания о действиях над векторами.

Рабочая программа по геометрии 9 класс к учебнику Атанасян, Л. С.

Видео:Все о векторах за 60 минут | Математика ОГЭ | Молодой РепетиторСкачать

Пояснительная записка

Программа направлена на достижение следующих целей:

 овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения практической деятельности изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

 интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений;

 формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;

 воспитание культуры личности, отношения к математике как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно технического прогресса;

развитие представлений о полной картине мира, о взаимосвязи математики с другими предметами.

В курсе геометрии 9-го класса формируется понятие вектора. Особое внимание уделяется выполнению операций над векторами в геометрической форме. Учащиеся дополняют знания о треугольниках сведениями о методах вычисления элементов произвольных треугольниках, основанных на теоремах синусов и косинусов. Даются систематизированные сведения о правильных многоугольниках, об окружности, вписанной в правильный многоугольник и описанной. Особое место занимает решение задач на применение формул. Даются первые знания о движении, повороте и параллельном переносе. Серьезное внимание уделяется формированию умений рассуждать, делать простые доказательства, давать обоснования выполняемых действий. Параллельно закладываются основы для изучения систематических курсов стереометрии, физики, химии и других смежных предметов.

Содержание обучения

Повторение векторы и метод координат

Понятие вектора. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора. Простейшие задачи в координатах. Уравнения окружности и прямой. Применение векторов и координат при решении задач.

Основная цель — научить учащихся выполнять действия над векторами как направленными отрезками, что важно для применения векторов в физике; познакомить с использованием векторов и метода координат при решении геометрических задач. Вектор определяется как направленный отрезок и действия над векторами вводятся так, как это принято в физике, т. е. как действия с направленными отрезками. Основное внимание должно быть уделено выработке умений выполнять операции над векторами (складывать векторы по правилам треугольника и параллелограмма, строить вектор, равный разности двух данных векторов, а также вектор, равный произведению данного вектора на данное число).

На примерах показывается, как векторы могут применяться к решению геометрических задач. Демонстрируется эффективность применения формул для координат середины отрезка, расстояния между двумя точками, уравнений окружности и прямой в конкретных геометрических задачах, тем самым дается представление об изучении геометрических фигур с помощью методов алгебры.

Требования к уровню подготовки учащихся.

В результате изучения курса геометрии 9-го класса учащиеся должны уметь:

 пользоваться геометрическим языком для описания предметов окружающего мира;

 распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;

 изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразование фигур;

 вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей), в том числе: определять значение тригонометрических функций по заданным значениям углов; находить значения тригонометрических функций по значению одной из них; находить стороны, углы и площади треугольников, дуг окружности, площадей основных геометрических фигур и фигур, составленных из них;

 решать геометрические задания, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, соображения симметрии;

 проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;

 решать простейшие планиметрические задачи в пространстве.

ГЛАВА II . ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ И РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

2.1.Доказательство теорем с помощью векторов

Рассмотрим доказательство некоторых теорем с помощью векторов.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Пусть АВС D – данный ромб (рис.7). Введем обозначения: АВ = а , ВС = в . Из определения ромба: АВ = DC = а , AD = ВС = в. По определению суммы и разности векторов АС = а + в; D В = а – в. Рассмотрим АС * D В = ( а + в )*( а – в ) = а 2 – в 2 .

Так как стороны ромба равны, то а = в . Следовательно, AC * DB =0. Из последн его получаем .

Средняя линия трапеции параллельна основанию и равна их полусумме.

Пусть MN – средняя линия трапеции ABCD . Докажем, что MN ║ AD и MN =( AD + BC )/2.

ПО правилу многоугольника MN = MB + BC + CN и MN = MA + AD + DN . Сложив эти равенства, получим: 2 MN =( MB + MA )+( BC + AD )+( CN + DN ).

Но M и N – середины сторон AB и CD , поэтому MB + MA =0 и CN + DN =0. Следовательно, 2 MN = AD + BC , откуда MN =½( AD + BC ). Так как векторы AD и BC сонаправлены, то векторы MN и AD также сонаправлены, а длина вектора ( AD + BC ) равна AD + BC . Отсюда следует, что MN ║ AD и MN =( AD + BC )/2.

2.2.Методика решения геометрических задач с помощью векторов

Рассмотрим теперь решение задач с помощью векторов.

Даны два вектора AB и CD , причем А(-1; 2; 4), В (-4; 5; 4), С(-1; -2; 2) и D (2; 1;5).

Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

Найдем сначала координаты векторов. АВ = ( -3; 3; 0) и С D = (3; 3; 3).

Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

АВ х С D = (-3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0.

Последнее и означает, что АВ С D .

Дан произвольный треугольник АВС. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам треугольника АВС.

Обозначим медианы треугольника АВС через ВЕ, С F и обозначим векторы, идущие вдоль сторон треугольника АВС, через а, в, с :

ВС = а, СА = в , АВ = с

А D = АВ + В D = АВ + = с +

аналогично определяются и другие медианы:

Так как, в силу условия замкнутости

ВС + СА + АВ = а + в + с = 0,

А D + ВЕ + С F = ( с + ) + ( а + ) + ( в + ) = ( а + в + с ) = х 0 = 0.

Следовательно, отложив от точки В, вектор В 1 С 1 = ВЕ и от точки С 1 – вектор С 1 D 1 = С F , мы получим.

А 1 В 1 + В 1 С 1 + С 1 D 1 = А D + ВЕ + С F = 0.

А это значит (в силу условия замкнутости), что ломаная А 1 В 1 С 1 D 1 является замкнутой, т.е. точка D 1 совпадает с А 1 .

Таким образом, мы получаем треугольник А 1 В 1 С 1 (рис.9), стороны которого равны и параллельны медианам АD, ВЕ, СF исходного треугольника.

Доказать, что для любого треугольника имеет место формула

с 2 = а 2 + в 2 – 2ав х соs С (теорема косинусов)

Положим: а = СВ, в = СА,

Тогда с = а – в , и мы имеем

(учитывая, что угол между векторами а и в равен С):

с 2 = ( а – в ) 2 = а 2 – 2ав + в 2 = а 2 – 2ав х соs С + в 2 .

Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Пусть четырехугольник АВСD – параллелограмм (рис.11). Имеем векторные равенства

АВ + AD = АС, АВ – А D = D В.

Возведем эти равенства в квадрат. Получим:

АВ 2 + 2 АВ х А D + А D 2 = АС 2 , АВ 2 – 2АВ х А D + А D 2 = D В 2

Сложим эти равенства почленно. Получим:

2АВ 2 + 2 А D 2 = АС 2 + DВ 2 .

Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то это равенство и означает, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, что и требовалось доказать.

Даны три точки: А ( 1; 1), В ( -1; 0), С ( 0; 1). найдите такую точку D ( х; y ), чтобы векторы АВ и С D были равны.

Вектор АВ имеет координаты –2, -1. Вектор С D имеет координаты х – 0, y – 1. Так как АВ = С D , то х – 0 = -2, y – 1 = -1. Отсюда находим координаты точки D : х = -2, y = 0.

Даны два вектора АВ и С D , причем А ( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4), С ( -1; -2; 2), D ( 2; 1; 5).Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

Найдем сначала координаты векторов. АВ = ( -3; 3; 0) и С D ( 3; 3; 3).

Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

AB х CD = (-3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0.

Последнее означает, что АВ С D .

Рассмотренные выше примеры задач показывают, что векторный метод является весьма мощных средством решения геометрических и многих физических (и технических) задач.