Матрица грамма угол между векторами (2 видео)

33. Матрица Грама в евклидовом пространстве

Пусть Еn – N-Мерное евклидово пространство и пусть Е = (Е1, Е2, . , Еn ) – базис в нём. Так как в Еn для любой упорядоченной пары векторов определено их скалярное произведение, то определены скалярные произведения всех пар базисных векторов. Составим из них матрицу

Г = (41)

Матрица Г Называется Матрицей Грама Скалярного произведения для базиса Е.

Используя матрицу Грама, можно получить формулу для вычисления скалярного произведения векторов,

Пусть в базисе Е заданы векторы А = Х1Е1 + Х2Е2 + … + ХnЕn , В = У1Е1+ У2Е2 + … + УnЕn . Тогда (А, в) = (Х1Е1 + Х2Е2 + … + ХnЕn)×( у1Е1+ У2Е2 + … + УnЕn) = = Х Т×Г×У, где Х Т– строка координат вектора А, У – Столбец координат вектора В . Итак, (А, в) = Х Т×Г×У (42).

Свойства матрицы Грама.

10. Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали.

20. Диагональные элементы матрицы Грама строго положительны.

Это следует из того, что Ек ¹ 0 и, следовательно, (Ек, ек ) > 0.

30. Для матрицы Грама и любого N-Мерного столбца Х Выполняется условие Х Т×Г×Х > 0.

Это следует из 4-ой аксиомы определения скалярного произведения.

Симметрическую матрицу А, Удовлетворяющую условию Х Т×А×Х > 0 для любого

Ненулевого столбца Х, Называют Положительно определённой. Следовательно, матрица

Грама Положительно определённая.

Формула (42) даёт связь матриц Грама в разных базисах.

50. Определители матриц Грама во всех базисах имеют один и тот же знак.

Из формулы (43) следует ú Г1ú =ú ТТú ×úГú ×úТú = úГú ×úТú 2. Так как |Тú 2> 0, то ú Г1ú и ú Гú имеют одинаковые знаки.

60. Все главные миноры матрицы Грама строго положительны.

1. Во множестве М2 Квадратных матриц с действительными элементами скалярное произведение задано формулой . Найти матрицу Грама этого произведения в базисе Е1 = , Е2 = , Е3 = , Е4 = .

Г = .

Содержание

Матрица и определитель Грама: определение, свойства, приложения
Определение матрицы Грама
Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому
Определитель Грама и его свойства
Метрические приложения определителя Грама
Найти угол между векторами x и y, если их скалярное произведение задано матрицей Грамма.
🎬 Видео

Видео:Матрица ГрамаСкачать

Матрица и определитель Грама: определение, свойства, приложения

Видео:Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Определение матрицы Грама

Квадратная симметрическая матрица [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n)[/math] , составленная из скалярных произведений системы векторов [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_n[/math] называется матрицей Грама

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому

Пусть [math](mathbf)=(mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] и [math](mathbf)= (mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] — два базиса евклидова пространства [math]mathbb[/math] , a [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](mathbf)[/math] к базису [math](mathbf)colon, (mathbf)=(mathbf)S[/math] . Требуется найти связь матриц Грама систем векторов [math](mathbf)[/math] и [math](mathbf)[/math]

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] в разных базисах:

где [math]mathoplimits_<(mathbf)>,, mathoplimits_<(mathbf)>[/math] и [math]mathoplimits_<(mathbf)>,, mathoplimits_<(mathbf)>[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи [math]mathoplimits_<(mathbf)>= S mathoplimits_<(mathbf)>,[/math] [math]mathoplimits_<(mathbf)>= S mathoplimits_<(mathbf)>[/math] , получаем тождество

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому :

Записав это равенство для ортонормированных базисов [math](mathbf)[/math] и [math](mathbf)[/math] , получаем [math]E=S^TES[/math] , так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: [math]G(mathbf_1,ldots,mathbf_n)= G(mathbf_1,ldots,mathbf_n)=E[/math] . Поэтому матрица [math]S[/math] перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: [math]S^=S^T[/math] .

Видео:Дынников И.А.- Аналитическая геометрия - 4. Матрица Грама. Площадь и объем. Матрица переходаСкачать

Определитель Грама и его свойства

Определитель матрицы [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n)[/math] называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Действительно, если система [math]mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] линейно зависима, то существуют такие числа [math]x_1,x_2,ldots,x_k[/math] , не равные нулю одновременно, что

Умножая это равенство скалярно на [math]mathbf_1[/math] , затем на [math]mathbf_2[/math] и т.д. на [math]mathbf_k[/math] , получаем однородную систему уравнений [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k)x=o[/math] , которая имеет нетривиальное решение [math]x=beginx_1&cdots&x_k end^T[/math] . Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2. Определитель Грама [math]det<G (mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k)>[/math] не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] . Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] получены векторы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] , то

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] последовательно строятся векторы

После первого шага определитель Грама не изменяется

Выполним с определителем [math]det G(mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k)[/math] следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число [math](-alpha_)[/math] , а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](-alpha_)[/math] . Получим определитель

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:

Вычислим правую часть этого равенства. Матрица [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k)[/math] Грама ортогональной системы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] векторов является диагональной, так как [math]langle mathbf_i,mathbf_jrangle=0[/math] при [math]ine j[/math] . Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

3. Определитель Грама любой системы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] , для которых по свойству 2:

Оценим теперь скалярный квадрат [math]langle mathbf_j,mathbf_jrangle[/math] . Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем [math]mathbf_j= mathbf_j+ alpha_mathbf_1+ ldots+ alpha_mathbf_[/math] . Отсюда

Следовательно, по свойству 2 имеем

1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.

2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Метрические приложения определителя Грама

Пусть [math]boldsymbol_1,boldsymbol_2, ldots,boldsymbol_k[/math] — линейно независимая система векторов n-мерного евклидова пространства [math](kleqslant n)[/math] . Определим по индукции понятие многомерного объема. Обозначим через [math]boldsymbol_j[/math] — перпендикуляр, опущенный из конца вектора [math]boldsymbol_j[/math] на подпространство [math]operatorname (boldsymbol_1, ldots,boldsymbol_),[/math] [math]j=2,ldots,k[/math] .

[math]V_<ast boldsymbol_1>=|boldsymbol_1|[/math] — одномерный объем — длина вектора [math]boldsymbol_1[/math] ;

Проводя ортогонализацию системы векторов [math]boldsymbol_1,boldsymbol_2, ldots, boldsymbol_k[/math] , получаем, согласно пункту 4 замечаний 8.14, перпендикуляры [math]boldsymbol_1= boldsymbol_1,boldsymbol_2, ldots,boldsymbol_k[/math] . Тогда по свойству 2 определителя Грама имеем

т.е. определитель Грама векторов [math]boldsymbol_1, boldsymbol_2, ldots, boldsymbol_k[/math] равен квадрату k-мерного объема параллелепипеда, построенного на этих векторах. В этом заключается геометрический смысл определителя Грама.

Расстоянием от конца вектора [math]boldsymbol[/math] до подпространства [math]L[/math] называется наименьшее значение длин векторов [math](boldsymbol-boldsymbol)[/math] , где [math]boldsymbolin L[/math] , т.е.

Аналогично определяется расстояние от конца вектора до многообразия.

Углом между ненулевым вектором [math]boldsymbol[/math] и подпространством [math]L[/math] называется наименьший угол [math]varphi[/math] между вектором [math]boldsymbol[/math] и ненулевыми векторами подпространства, т.е.

Аналогично определяется угол между вектором и многообразием, как угол между вектором и однородной частью многообразия.

Из неравенств пункта 1 замечаний 8.14 следует, что

1) расстояние [math]d[/math] от конца вектора [math]boldsymbol[/math] до подпространства [math]L[/math] равно длине перпендикуляра [math]boldsymbol[/math] , опущенного из конца вектора [math]boldsymbol[/math] на подпространство [math]L[/math] , т.е. [math]d=|boldsymbol|[/math] ;

2) угол между ненулевым вектором [math]boldsymbol[/math] и подпространством [math]L[/math] равен углу между вектором [math]boldsymbol[/math] и его ортогональной проекцией на подпространство [math]L[/math] .

Для нахождения расстояний и углов можно использовать формулу (8.37).

Пусть задан вектор [math]boldsymbol[/math] и подпространство [math]L=operatorname (boldsymbol_1,ldots,boldsymbol_r)[/math] , причем векторы [math]boldsymbol_1, ldots, boldsymbol_r[/math] линейно независимы. Тогда [math]V_<ast boldsymbol_1,ldots, boldsymbol_r, boldsymbol>= V_<ast boldsymbol_1,ldots,boldsymbol_r>cdot |boldsymbol|[/math] , где [math]boldsymbol[/math] — ортогональная составляющая вектора [math]boldsymbol[/math] относительно подпространства [math]L[/math] . Отсюда, [math]boldsymbol= frac<V_<ast boldsymbol_1,ldots, boldsymbol_r, boldsymbol>><V_<ast boldsymbol_1,ldots,boldsymbol_r>>[/math] . Используя (8.37) для вычисления объемов, получаем, что длина [math]|boldsymbol|[/math] ортогональной составляющей (расстояние от конца вектора [math]boldsymbol[/math] до подпространства [math]L=operatorname( boldsymbol_1,ldots,boldsymbol_r)[/math] находится по формуле

а угол [math]varphi[/math] между ненулевым вектором [math]boldsymbol[/math] и подпространством находится по формуле

Пример 8.22. В пространстве [math]mathbb^4[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27) заданы: вектор [math]v=begin-3&2&0&0end^T[/math] и подпространство [math]L[/math] — множество [math][/math] решений однородной системы:

Требуется найти расстояние [math]|h|[/math] от конца вектора [math]boldsymbol[/math] до подпространства [math]L[/math] и угол между вектором [math]boldsymbol[/math] и подпространством [math]L[/math] .

Решение. Базис подпространства был найден в примере 8.9:

Составляем определители Грама [math]Bigl(langle boldsymbol, boldsymbol_1rangle= (-3)^2+ 2^2+0^2+0^2=13Bigr)[/math] , остальные скалярные произведения векторов найдены в примере 8.20):

Тогда [math]|h|=sqrt<frac>=sqrt<frac>[/math] , а [math]varphi= arcsinsqrt<frac>[/math] . В найдены ортогональная проекция [math]l=begindfrac&dfrac&dfrac&dfracend^T[/math] и ортогональная составляющая [math]h=begindfrac& dfrac&dfrac& dfrac end^T[/math] . Вычисляя длину вектора [math]h[/math] , получаем [math]|h|=sqrt<frac>[/math] . Результаты совпадают.

Видео:Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

Найти угол между векторами x и y, если их скалярное произведение задано матрицей Грамма.

Как я понимаю, матрица Грама состоит из всевозможных произведений, но как с помощью этого найти угол между векторами. Определитель матрицы не равен 0, значит угол не 90 градусов, так?

Угол между двумя ненулевыми векторами определяется с помощью вычисления скалярного произведения. По определению скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними. С другой стороны, скалярное произведение для двух векторов a с координатами (x1; y1) и b с координатами (x2; y2) вычисляется по формуле: ab = x1x2 + y1y2. Из этих двух способов нахождения скалярного произведения легко найти угол между векторами.
2

Найдите длины или модули векторов. Для наших векторов a и b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.
3

Найдите скалярное произведение векторов, перемножив их координаты попарно: ab = x1x2 + y1y2. Из определения скалярного произведения ab = |a|*|b|*cos α, где α — угол между векторами. Тогда получим, что x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Тогда cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.
4

Найдите угол α с помощью таблиц Брадиса.
5

В случае трехмерного пространства добавляется третья координата. Для векторов a (x1; y1; z1) и b (x2; y2; z2) формула для косинуса угла представлена на рисунке.