Матрица грама системы векторов (4 видео)

VMath

Содержание

Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Матрица и определитель Грама
Линейная независимость векторов
Свойства определителя Грама
Расстояние до линейного многообразия
Объемы параллелепипедов
ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение евклидова пространства. Матрица Грама
Матрица и определитель Грама: определение, свойства, приложения
Определение матрицы Грама
Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому
Определитель Грама и его свойства
Метрические приложения определителя Грама
📹 Видео

Инструменты сайта

Основное

Информация

Действия

Содержание

Вспомогательная страница к разделу ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

Видео:Лекция 5.7. Ортогонализация Грама-Шмидта: примерСкачать

Матрица и определитель Грама

Пусть в евклидовом пространстве $ mathbb E_ $ известным образом задано скалярное произведение $ langle X_,Y rangle $. Матрицей Грама системы векторов $ <X_,dots,X_m > $ называется квадратная матрица, состоящая из всевозможных скалярных произведений этих векторов: $$ G(X_1,dots,X_m)= left( begin langle X_1,X_1 rangle & langle X_1,X_2 rangle & dots & langle X_1,X_m rangle \ langle X_2,X_1 rangle & langle X_2,X_2 rangle & dots & langle X_2,X_m rangle \ dots & & & dots \ langle X_m,X_1 rangle & langle X_m,X_2 rangle & dots & langle X_m,X_m rangle end right) = left[ langle X_j,X_k rangle right]_^m . $$ Матрица Грама является симметричной матрицей. Ее определитель называется определителем Грама (или грамианом) системы векторов $ <X_,dots,X_m > $: $$ (X_1,dots,X_m)=left| begin langle X_1,X_1 rangle & langle X_1,X_2 rangle & dots & langle X_1,X_m rangle \ langle X_2,X_1 rangle & langle X_2,X_2 rangle & dots & langle X_2,X_m rangle \ dots & & & dots \ langle X_m,X_1 rangle & langle X_m,X_2 rangle & dots & langle X_m,X_m rangle end right| = det left[ langle X_j,X_k rangle right]_^m . $$

Пример. Если в пространстве $ mathbb R^ $ строк, состоящих из $ n_ $ вещественных чисел, скалярное произведение определяется по правилу 1)

$$ langle X,Y rangle=x_1y_1+x_2y_2+dots+x_ny_n quad npu quad X=(x_1,x_2,dots,x_n), Y=(y_1,y_2,dots,y_n) , $$ то матрица Грама строк $$ X_1=left(x_,x_,dots, x_right),dots,X_m=left(x_,x_,dots, x_right) $$ вычисляется перемножением матриц: $$ G(X_1,dots,X_m)=Xcdot X^ quad npu quad X= left(begin x_ & x_ &dots & x_ \ dots & & & dots \ x_& x_ & dots & x_ end right) $$ и при $ ^_ $ означающем транспонирование. Из теоремы Бине-Коши немедленно следует, что при $ m>n_ $ (числе строк превышающем размерность пространства) определитель Грама равен нулю. Этот результат обобщен НИЖЕ для произвольных евклидовых пространств.

Пример. Если в пространстве полиномов с вещественными коэффициентами скалярное произведение задано формулой

$$ langle p(x),q(x) rangle =int_0^1 p(t) q(t) d,t ,$$ то $$ G(1,x,x^2)= left( begin int_0^1 1 d,t & int_0^1 t d,t & int_0^1 t^2 d,t \ & & \ int_0^1 t d,t & int_0^1 t^2 d,t & int_0^1 t^3 d,t \ & & \ int_0^1 t^2 d,t & int_0^1 t^3 d,t & int_0^1 t^4 d,t end right)= left( begin 1 & 1/2 & 1/3 \ 1/2 & 1/3 & 1/4 \ 1/3 & 1/4 & 1/5 end right) . $$ Обобщение получившейся матрицы известно как матрица Гильберта.

Если система векторов $ <X_,dots,X_n > $ образует базис пространства $ mathbb E_ $ (т.е. пространство $ mathbb E_ $ является $ n_ $-мерным), то задание матрицы Грама $ G(X_,dots,X_n) $ позволяет свести вычисление скалярного произведения произвольных векторов из $ mathbb E_ $ к действиям над их координатами: $$ X=x_1X_1+x_2X_2+dots+x_nX_n, Y=y_1X_1+y_2X_2+dots+y_nX_n Rightarrow $$ $$ langle X,Y rangle=left(x_1,x_2,dots,x_n right) left( begin langle X_1,X_1 rangle & langle X_1,X_2 rangle & dots & langle X_1,X_n rangle \ langle X_2,X_1 rangle & langle X_2,X_2 rangle & dots & langle X_2,X_n rangle \ dots & & & dots \ langle X_n,X_1 rangle & langle X_n,X_2 rangle & dots & langle X_n,X_n rangle end right) left( begin y_1 \ y_2 \ vdots \ y_n end right) . $$

Видео:A.7.4 Ортогонализация набора векторов. Процесс Грама-Шмидта.Скачать

Линейная независимость векторов

Теорема. $ (X_,dots,X_m)=0 $ тогда и только тогда, когда система векторов $ <X_,dots,X_m > $ линейно зависима.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Если какой-то главный минор матрицы Грама обращается в нуль, то и все главные миноры бóльших порядков обращаются в нуль.

Видео:Матрица ГрамаСкачать

Свойства определителя Грама

Теорема. $ (X_,dots,X_m) ge 0 $ для любой системы векторов $ <X_,dots,X_m > $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ

При $ m=2_ $ получаем неравенство Коши-Буняковского: $$ langle X_1,X_1 rangle cdot langle X_2,X_2 rangle ge langle X_1,X_2 rangle^2 . $$

Матрица Грама линейно независимой системы векторов является положительно определенной.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ

Величина определителя Грама не превосходит его главного члена, т.е. произведения элементов его главной диагонали:

Для произвольной квадратной вещественной матрицы

$$A=left( begin a_ & a_ & dots & a_ \ a_ & a_ & dots & a_ \ dots & & & dots \ a_ & a_ & dots & a_ end right) $$ справедливо неравенство Адамара 2) : $$ left| det A right| le sqrt< sum_^n a_^2> sqrt< sum_^n a_^2> times dots times sqrt< sum_^n a_^2> . $$ Иными словами: модуль определителя матрицы не превосходит произведения длин его строк. Аналогичное утверждение справедливо и относительно столбцов матрицы.

Доказательство. Обозначим $ j_ $-ю строку матрицы $ A_ $ через $ A^ $. Тогда, поскольку $ det A= det A^ $ (см. свойство 1 ☞ ЗДЕСЬ ), имеем: $$left( det A right)^2= det left(Acdot A^ right)= det left[ begin langle A^,A^ rangle & langle A^,A^ rangle & dots & langle A^,A^ rangle \ langle A^,A^ rangle & langle A^,A^ rangle & dots & langle A^,A^ rangle \ dots & & & dots \ langle A^,A^ rangle & langle A^,A^ rangle & dots & langle A^,A^ rangle end right]= $$ $$ =mathfrakleft(A^,A^,dots,A^ right) $$ при задании скалярного произведения в $ mathbb R^n $ стандартным способом. На основании предыдущего следствия, имеем: $$ le left|A^ right|^2 left|A^ right|^2 times dots times left|A^ right|^2 . $$ Равенство возможно тогда и только тогда, когда либо все строки попарно ортогональны, либо хотя бы одна строка — нулевая. ♦

Пример.

$$ left|detleft( begin -47 & 40 & -81 \ 91 & 68 & -10 \ 31 & -51 & 77 end right) right| le $$ $$ le left< begin sqrt &le 1131360 \ & \ sqrt & le 1127957 end right. $$ при точной величине определителя $ 31867 $.

Теорема. Величина определителя Грама не изменится, если к системе векторов применить алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта. В обозначениях этого алгоритма имеет место равенство:

Видео:Линал 5.6. Матрица ГрамаСкачать

Расстояние до линейного многообразия

Теорема. Расстояние $ d_ $ от точки $ X_ in $ до линейного многообразия в $ mathbb E_ $

Доказательство для случая $ Y_0=mathbb O_ $ ☞ ЗДЕСЬ. Случай $ Y_ne mathbb O $ сводится к предыдущему сдвигом пространства на вектор $ (- Y_) $: см. комментарии к теореме $ 3_ $ ☞ ЗДЕСЬ. ♦

Другие применения определителя Грама в задачах вычисления расстояний между поверхностями в $ ^ $ ☞ ЗДЕСЬ.

Видео:Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. ПримерСкачать

Объемы параллелепипедов

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Если параллелограмм построен на векторах $ X_ $ и $ X_2 $ из $ mathbb R^2 $, то за основание можно принять длину вектора $ X_ $, а за высоту — длину перпендикуляра, опущенного из конца вектора $ X_2 $ на ось вектора $ X_ $.

Аналогично, объем параллелепипеда, построенного на векторах $ X_1,X_2,X_3 $ из $ mathbb R^ $, равен произведению площади основания на высоту; площадь основания — это площадь параллелограмма, построенного на векторах $ X_1,X_2 $, а высота — длина перпендикуляра, опущенного из конца вектора $ X_3 $ на плоскость векторов $ X_1,X_2 $.

Объем $ k_ $-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве $ mathbb E_ $ определим по индукции. Если этот параллелепипед построен на векторах $ X_1,X_2,dots,X_,X_k $, то за его объем примем произведение объема $ (k-1) $-мерного параллелепипеда, построенного на векторах $ X_1,X_2,dots,X_ $ на длину перпендикуляра, опущенного из точки $ X_ $ на линейную оболочку векторов $ X_1,X_2,dots,X_ $ (т.е. на длину ортогональной составляющей $ X_k $ относительно $ mathcal L ( X_1,X_2,dots,X_) $): $$mathbf V(X_1,X_2,dots,X_,X_k)=left|X_k^ right| mathbf V(X_1,X_2,dots,X_) . $$

Теорема. Квадрат объема параллелепипеда, построенного на векторах $ X_1,X_2,dots,X_k $, совпадает с величиной определителя Грама от той же системы векторов: $$[V(X_1,X_2,dots,X_k)]^2= mathfrak G (X_1,X_2,dots,X_k) .$$

Доказательство следует из представления длины ортогональной составляющей $ X_k^<^> $ через определители Грама (см. теорему $ 2_ $ и следствие к ней ☞ ЗДЕСЬ ).

Модуль определителя вещественной матрицы

$$ A= left( begin a_ & a_ & dots & a_ \ a_ & a_ & dots & a_ \ dots & & & dots \ a_ & a_ & dots & a_ end right) $$ равен объему параллелепипеда в пространстве $ mathbb R^_ $, построенного на вершинах с координатами $$ (0,0,dots, 0), (a_,a_, dots , a_),(a_,a_, dots , a_), dots, (a_,a_, dots, a_) $$ (т.е. «построенного на строках матрицы») и равен объему параллелепипеда построенного на вершинах с координатами $$ (0,0,dots, 0), (a_,a_, dots , a_),(a_,a_, dots , a_), dots, (a_,a_, dots, a_) $$ (т.е. «построенного на столбцах матрицы»).

Доказательство фактически совпадает с доказательством неравенства Адамара: $$ left(det A right)^2 = left< begin det left(A cdot A^right)=mathfrak G (A^,A^,dots,A^) &= left[mathbf V(A^,A^,dots,A^)right]^2 \ & \ det left(A^ cdot A right) = mathfrak G (A_,A_,dots,A_) & = left[mathbf V(A_,A_,dots,A_)right]^2 end right. $$ ♦

Видео:№4. "Найти матрицу Грама системы векторов, если скалярное произведение..." Алгебра и геометрия.Скачать

ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Видео:Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. ТемаСкачать

Определение евклидова пространства. Матрица Грама

Говорят, что в действительном линейном пространстве X определена операция скалярного умножения векторов, если любой паре векторов х и у из X поставлено в соответствие действительное число, которое называют скалярным произведением векторов х и у и обозначают символом <х,у),и если для любых х. у, z € X и любого действительного числа а выполняются следующие аксиомы скалярного произведения:

Пример 8.1. Пусть X — пространство геометрических векторов, изучаемых в векторной алгебре. Скалярное произведение, определяемое как произведение длин двух векторов на косинус угла между ними, удовлетворяет аксиомам скалярного произведения. ?

Пример 8.2. В арифметическом пространстве К_п столбцов высоты п скалярное произведение векторов

можно определить формулой

Нетрудно проверить выполнимость аксиом скалярного произведения. Например, проверим выполнимость аксиомы 4. Заметим, что

Но сумма квадратов положительна, если хотя бы одно из чисел Xi ненулевое (или х ф 0), и равна нулю, если все х* равны нулю (т.е. х = 0). ?

Пример 8.3. В линейном пространстве многочленов с действительными коэффициентами степени не выше п — 1 скалярное произведение можно ввести формулой

Проверка аксиом скалярного произведения опирается на свойства определенного интеграла и не составляет труда. ?

Пример 8.4. В линейном пространстве Са, Ъ] функций действительного переменного, непрерывных на отрезке [а, 6], скалярное произведение можно ввести таким же образом, как и в линейном пространстве многочленов — с помощью определенного интеграла:

Проверка аксиом скалярного произведения проводится так же, как и в предыдущем примере. ?

Из аксиом 2 и 3 следует, что любую конечную линейную комбинацию векторов моэюно умноэюать скалярно на другую линейную комбинацию векторов по правилу умноэюения многочлена на многочлен, т.е. по формуле

Действительное линейное пространство, в котором определено скалярное умножение векторов, называют евклидовым пространством. Конечномерное линейное пространство можно превратить в евклидово многими способами. Если в n-мерном евклидовом пространстве X фиксирован базис е, е^, . е_п, то любые векторы х и у имеют в нем разложения

и формула (8.1) для векторов хну дает

или в матричном виде где положено

Таким образом, скалярное произведение в евклидовом пространстве X полностью определяется матрицей Г. Не всякая квадратная матрица может появиться в формуле (8.3). Но если одно скалярное произведение в заданном базисе определяется некоторой матрицей Г, то нетрудно понять, что та же матрица, только в другом базисе также определяет скалярное произведение. Сохраняя матрицу Г и меняя базисы, мы получим бесконечное множество скалярных произведений в данном гг-мерном линейном пространстве.

Матрицу Г, участвующую в формуле (8.3), называют матрицей Грама базиса е = (е_х, в2. е_п). Матрицу Грама (матрицу скалярных произведений) можно определить не только для базисов, но и для произвольных упорядоченных конечных систем векторов.

Отметим некоторые свойства матрицы Грама базиса в п-мерном евклидовом пространстве.

1. Матрица Грама Г симметричная и для любого п-мерного столбца х ф 0 удовлетворяет условию х Т Г х > 0, в частности, диагональные элементы (ei,ej) = ef Г е* матрицы Грама полоэюительные.

Симметричность матрицы Грама вытекает из аксиомы 1 скалярного произведения, согласно которой (е*, ej) = (е^, е*) для любых двух векторов базиса, а условие х Т Г х > 0, х ф 0, равносильно аксиоме 4 скалярного произведения.

Симметричную матрицу А, удовлетворяющую условию х т Ах > > 0, х Ф 0, называют положительно определенной. С учетом этого термина доказанное свойство звучит так: матрица Грама является положительно определенной.

2. Матрицы Грама Г и Г’ двух базисов е и е’ евклидова пространства связаны соотношением

где Т — матрица перехода от базиса е к базису е’.

Действительно, при переходе от базиса е к базису е! координаты х и у двух векторов х и у преобразуются в координаты х’ и у’ по формулам (см. разд. 4.6)

Следовательно, матрица Т Т Г Т есть матрица Грама для базиса е!.

3. Определитель матрицы Грама любого базиса положителен.

Действительно, из формулы (8.4) вытекает, что при замене базиса определитель матрицы Грама сохраняет знак (или остается равным нулю), так как определитель матрицы перехода ненулевой:

Остается учесть, что в качестве матрицы Грама Г можно взять единичную матрицу (см. замечание ниже), которая имеет определитель, равный единице.

4. Все угловые диагональные миноры

Действительно, для любого к можно рассмотреть подпространство Lfc = (ei. efc) как самостоятельное евклидово пространство.

Тогда определитель матрицы Грама для базиса ei, 62, . будет совпадать с Д^. Согласно предыдущему свойству этот определитель положителен.

Замечание. В разд. 9.С установлено, что свойство 4 — необходимое и достаточное условие положительной определенности квадратной матрицы. Поэтому свойство 4 вытекает из свойства 1. Любая положительно определенная матрица является матрицей Г рама некоторого базиса в данном евклидовом пространстве. Действительно, скалярное произведение можно определить формулой (8.3), в которой в качестве Г можно взять любую положительно определенную матрицу. Тогда аксиома 1 скалярного произведения будет вытекать из симметричности матрицы Г, аксиомы 2 и 3 — из свойства дистрибутивности матричного произведения, а аксиома 4 — из условия положительной определенности Г. Следовательно, любая матрица, обладающая свойством 4, может рассматриваться как матрица Грама. В частности, в качестве матрицы Грама можно выбрать единичную матрицу, т.е. в заданном базисе е, . е_п определить скалярное произведение

Как уже отмечено, понятие матрицы Грама можно ввести для произвольной упорядоченной конечной системы векторов. При этом и в общем случае матрица Грама остается симметричной, но остальные свойства (положительная определенность, положительность определителя) утрачиваются. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 8.1. Матрица Грама системы векторов является невырожденной тогда и только тогда, когда эта система линейно независима. Матрица Грама линейно независимой системы векторов положительно определенная и, в частности, имеет положительный определитель. Определитель матрицы Грама линейно зависимой системы векторов равен нулю.

> Любая линейно независимая система векторов может рассматриваться как базис в некотором евклидовом пространстве, а именно в своей линейной оболочке. По свойствам матрицы Грама базиса матрица Грама рассматриваемой системы векторов положительно определенная. Следовательно, все ее угловые миноры, в частности, ее определитель, положительны. Это означает также, что матрица Гра- ма линейно независимой системы векторов невырожденная.

Рассмотрим далее произвольную линейную комбинацию системы векторов ai, й2, . а_к, равную нулю:

Умножая это векторное равенство скалярно на векторы а, а 2, а к,

получим однородную систему линейных уравнений

относительно коэффициентов ац, aк рассматриваемой линейной

комбинации. Матрицей этой системы является матрица Грама Г системы векторов а, а,2, . CLk• Если матрица Г невырождена, то однородная система имеет только нулевое решение. Это означает, что рассматриваемая система векторов а, а 2, •••, а к линейно независима.

Если система векторов а, ^к линейно зависима, то рассматриваемая линейная система имеет ненулевые решения. Поэтому ее определитель, т.е. определитель матрицы Грама Г рассматриваемой системы векторов, равен нулю.

Видео:Дынников И.А.- Аналитическая геометрия - 4. Матрица Грама. Площадь и объем. Матрица переходаСкачать

Матрица и определитель Грама: определение, свойства, приложения

Видео:Матрицы и векторыСкачать

Определение матрицы Грама

Квадратная симметрическая матрица [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n)[/math] , составленная из скалярных произведений системы векторов [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_n[/math] называется матрицей Грама

Видео:Ортогонализация Грама Шмидта 1361Скачать

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому

Пусть [math](mathbf)=(mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] и [math](mathbf)= (mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] — два базиса евклидова пространства [math]mathbb[/math] , a [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](mathbf)[/math] к базису [math](mathbf)colon, (mathbf)=(mathbf)S[/math] . Требуется найти связь матриц Грама систем векторов [math](mathbf)[/math] и [math](mathbf)[/math]

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] в разных базисах:

где [math]mathoplimits_<(mathbf)>,, mathoplimits_<(mathbf)>[/math] и [math]mathoplimits_<(mathbf)>,, mathoplimits_<(mathbf)>[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи [math]mathoplimits_<(mathbf)>= S mathoplimits_<(mathbf)>,[/math] [math]mathoplimits_<(mathbf)>= S mathoplimits_<(mathbf)>[/math] , получаем тождество

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому :

Записав это равенство для ортонормированных базисов [math](mathbf)[/math] и [math](mathbf)[/math] , получаем [math]E=S^TES[/math] , так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: [math]G(mathbf_1,ldots,mathbf_n)= G(mathbf_1,ldots,mathbf_n)=E[/math] . Поэтому матрица [math]S[/math] перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: [math]S^=S^T[/math] .

Видео:Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации (задача 1357)Скачать

Определитель Грама и его свойства

Определитель матрицы [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n)[/math] называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Действительно, если система [math]mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] линейно зависима, то существуют такие числа [math]x_1,x_2,ldots,x_k[/math] , не равные нулю одновременно, что

Умножая это равенство скалярно на [math]mathbf_1[/math] , затем на [math]mathbf_2[/math] и т.д. на [math]mathbf_k[/math] , получаем однородную систему уравнений [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k)x=o[/math] , которая имеет нетривиальное решение [math]x=beginx_1&cdots&x_k end^T[/math] . Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2. Определитель Грама [math]det<G (mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k)>[/math] не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] . Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] получены векторы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] , то

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] последовательно строятся векторы

После первого шага определитель Грама не изменяется

Выполним с определителем [math]det G(mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k)[/math] следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число [math](-alpha_)[/math] , а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](-alpha_)[/math] . Получим определитель

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:

Вычислим правую часть этого равенства. Матрица [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k)[/math] Грама ортогональной системы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] векторов является диагональной, так как [math]langle mathbf_i,mathbf_jrangle=0[/math] при [math]ine j[/math] . Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

3. Определитель Грама любой системы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] , для которых по свойству 2:

Оценим теперь скалярный квадрат [math]langle mathbf_j,mathbf_jrangle[/math] . Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем [math]mathbf_j= mathbf_j+ alpha_mathbf_1+ ldots+ alpha_mathbf_[/math] . Отсюда

Следовательно, по свойству 2 имеем

1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.

2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

Видео:Алгебра и геометрия 4. Проекция и скалярное произведение векторов, матрица Грама, ориентацияСкачать

Метрические приложения определителя Грама

Пусть [math]boldsymbol_1,boldsymbol_2, ldots,boldsymbol_k[/math] — линейно независимая система векторов n-мерного евклидова пространства [math](kleqslant n)[/math] . Определим по индукции понятие многомерного объема. Обозначим через [math]boldsymbol_j[/math] — перпендикуляр, опущенный из конца вектора [math]boldsymbol_j[/math] на подпространство [math]operatorname (boldsymbol_1, ldots,boldsymbol_),[/math] [math]j=2,ldots,k[/math] .

[math]V_<ast boldsymbol_1>=|boldsymbol_1|[/math] — одномерный объем — длина вектора [math]boldsymbol_1[/math] ;

Проводя ортогонализацию системы векторов [math]boldsymbol_1,boldsymbol_2, ldots, boldsymbol_k[/math] , получаем, согласно пункту 4 замечаний 8.14, перпендикуляры [math]boldsymbol_1= boldsymbol_1,boldsymbol_2, ldots,boldsymbol_k[/math] . Тогда по свойству 2 определителя Грама имеем

т.е. определитель Грама векторов [math]boldsymbol_1, boldsymbol_2, ldots, boldsymbol_k[/math] равен квадрату k-мерного объема параллелепипеда, построенного на этих векторах. В этом заключается геометрический смысл определителя Грама.

Расстоянием от конца вектора [math]boldsymbol[/math] до подпространства [math]L[/math] называется наименьшее значение длин векторов [math](boldsymbol-boldsymbol)[/math] , где [math]boldsymbolin L[/math] , т.е.

Аналогично определяется расстояние от конца вектора до многообразия.

Углом между ненулевым вектором [math]boldsymbol[/math] и подпространством [math]L[/math] называется наименьший угол [math]varphi[/math] между вектором [math]boldsymbol[/math] и ненулевыми векторами подпространства, т.е.

Аналогично определяется угол между вектором и многообразием, как угол между вектором и однородной частью многообразия.

Из неравенств пункта 1 замечаний 8.14 следует, что

1) расстояние [math]d[/math] от конца вектора [math]boldsymbol[/math] до подпространства [math]L[/math] равно длине перпендикуляра [math]boldsymbol[/math] , опущенного из конца вектора [math]boldsymbol[/math] на подпространство [math]L[/math] , т.е. [math]d=|boldsymbol|[/math] ;

2) угол между ненулевым вектором [math]boldsymbol[/math] и подпространством [math]L[/math] равен углу между вектором [math]boldsymbol[/math] и его ортогональной проекцией на подпространство [math]L[/math] .

Для нахождения расстояний и углов можно использовать формулу (8.37).

Пусть задан вектор [math]boldsymbol[/math] и подпространство [math]L=operatorname (boldsymbol_1,ldots,boldsymbol_r)[/math] , причем векторы [math]boldsymbol_1, ldots, boldsymbol_r[/math] линейно независимы. Тогда [math]V_<ast boldsymbol_1,ldots, boldsymbol_r, boldsymbol>= V_<ast boldsymbol_1,ldots,boldsymbol_r>cdot |boldsymbol|[/math] , где [math]boldsymbol[/math] — ортогональная составляющая вектора [math]boldsymbol[/math] относительно подпространства [math]L[/math] . Отсюда, [math]boldsymbol= frac<V_<ast boldsymbol_1,ldots, boldsymbol_r, boldsymbol>><V_<ast boldsymbol_1,ldots,boldsymbol_r>>[/math] . Используя (8.37) для вычисления объемов, получаем, что длина [math]|boldsymbol|[/math] ортогональной составляющей (расстояние от конца вектора [math]boldsymbol[/math] до подпространства [math]L=operatorname( boldsymbol_1,ldots,boldsymbol_r)[/math] находится по формуле

а угол [math]varphi[/math] между ненулевым вектором [math]boldsymbol[/math] и подпространством находится по формуле

Пример 8.22. В пространстве [math]mathbb^4[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27) заданы: вектор [math]v=begin-3&2&0&0end^T[/math] и подпространство [math]L[/math] — множество [math][/math] решений однородной системы:

Требуется найти расстояние [math]|h|[/math] от конца вектора [math]boldsymbol[/math] до подпространства [math]L[/math] и угол между вектором [math]boldsymbol[/math] и подпространством [math]L[/math] .

Решение. Базис подпространства был найден в примере 8.9:

Составляем определители Грама [math]Bigl(langle boldsymbol, boldsymbol_1rangle= (-3)^2+ 2^2+0^2+0^2=13Bigr)[/math] , остальные скалярные произведения векторов найдены в примере 8.20):

Тогда [math]|h|=sqrt<frac>=sqrt<frac>[/math] , а [math]varphi= arcsinsqrt<frac>[/math] . В найдены ортогональная проекция [math]l=begindfrac&dfrac&dfrac&dfracend^T[/math] и ортогональная составляющая [math]h=begindfrac& dfrac&dfrac& dfrac end^T[/math] . Вычисляя длину вектора [math]h[/math] , получаем [math]|h|=sqrt<frac>[/math] . Результаты совпадают.