Легкие задачи с окружностью (5 видео) | Курс школьной геометрии

Решение задач по теме «Окружность».

Содержание

«Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
Длина окружности
Длина окружности
Задачи на длину окружности
Задачи на площадь круга
Легкие задачи с окружностью
Простые вопросы по теме
ОТВЕТЫ на простые вопросы
Непростые вопросы
Ответы на непростые вопросы
🎥 Видео

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение задач по теме «Окружность» Составила учитель математики МБОУ «Гимназия №4» Андросова Елена Анатольевна

Окружность и ее элементы Центральные и вписанные углы Касательная, хорда, секущая Вписанные окружности Описанные окружности

Центральные и вписанные углы

Задача №1 Решение. Пусть вписанный угол АСВ равен х градусов, тогда центральный угол АОВ равен х+20 градусов, так как центральный угол вдвое больше вписанного угла, то можем составить уравнение: х+20=2х; 2х-х=20; х=20. Значит вписанный угол АСВ равен 20°. Ответ: 20°. Центральный угол на 20° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.

Задача №2 Угол ACB равен 6 °. Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 126 °. Найдите угол DAE. Решение. Пусть искомый угол DAE равен x, тогда дуга DE равна 2x, так как угол DAE вписанный угол и опирается на дугу DE. Учитывая, угол между секущими CB и CA равен полуразности дуг AB и DE, составим уравнение: 63-х=6; х=57. Значит угол DAE равен 57 ° Ответ: 57°. Теорема об угле между секущими. Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Задача №3 Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Решение. Угол ВАD является вписанным углом, значит угол ВАD равен его половине дуги ВD, на которую опирается. Известно, что градусные величины дуг AB, BC, CD и AD относятся соответственно как 4:2:3:6. Определим указанные градусные величины. Имеем 4+2+3+6=15 частей. Градусная мера окружности равна 3600. 3600:15=240, значит: ◡AB=4*240 =960, ◡BC=2*240=480, ◡CD=3*240=720 Таким образом градусная величина дуги ВD равна сумме градусных мер дуг ВС и АD. Поэтому ◡ВD =◡ ВС+ ◡ CD; ◡ВD =720+480=1200 Значит искомый угол ВАD равен половине дуги ВD , то есть 600. Ответ: 60°.

Задача №4 Хорда AB стягивает дугу окружности в 940. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. 3. Рассмотрим треугольник АОВ, он равнобедренный (АО = ОВ, как радиусы одной окружности). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны ∠ОВА= ∠ОАВ и сумма углов треугольника равна 1800, значит ∠ОВА= ∠ОАВ=(1800 -940):2=430 4. ∠АВС= ∠ОВС- ∠ОВА; ∠АВС= 900 — 430 =470 Ответ: 47°. Решение. 1. Проведем радиусы ОА и ОВ. ∠ ОВС= 900, т.к ОВ ⟂ВС по свойству касательной (касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания). 2. Хорде АВ соответствует центральный угол АОВ равный 940. Теорема об угле между хордой и касательной. Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой. ∠ АВС=1/2 ◡ АВ

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника. Описанный четырехугольник — четырехугольник у которого все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

Задача №5 Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 57˚ и 98˚. Найдите больший из оставшихся углов. Решение. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°, значит ∠А+ ∠ С=∠В+∠D=180° Данные два угла не могут быть противоположными, так как иначе их сумма должна была бы быть 180˚. ∠А= 57˚, ∠В= 98˚. ∠ С=180°- ∠А; ∠ С=180°- 57˚=123˚; ∠D=180°- ∠В; ∠D=180°- 98˚= 82˚ В ответ записываем наибольший из получившихся углов. Ответ: 123°.

Задача №6 Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32. Решение. Пусть сторона АВ равна х, АD равна 2х, а DС =3х. По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, АВ+DC=AD+ВС х+3х=ВС+2х Получается, что ВС = 2х . Тогда периметр четырехугольника равен х+3х+2х+2х=32. Мы получаем, что х=4, а большая сторона равна 3*4=12. Ответ: 12 .

Задача №7 Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь Решение. Так как для любого многоугольника, в который можно вписать окружность верно: Ответ: 30.

Задача №8 Известно, что в трапецию ABCD с основаниями AD и ВС можно вписать окружность и около неё можно описать окружность, EF – её средняя линия. Известно, что АВ + CD + EF = 18. Найдите периметр трапеции Решение. Так как в трапецию можно вписать окружность, то CD+АВ= AD+ВС Поскольку около трапеции можно описать окружность, то А+∠С=∠В+∠D=180°; учитывая, что ABCD трапеция получаем ∠А+∠В=∠С+∠D=180°; значит ∠А=∠D; ∠С=∠В; ABCD равнобедренная трапеция, поэтому АВ = CD. Пусть АВ = CD = а; AD + ВС = 2а. По условию АВ + CD + EF = 18, где EF- средняя линия Средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции. EF=(ВС+ AD):2; EF=2а:2=а, а + а + а = 18; а = 6. Периметр трапеции АВ + CD + AD + BC = 2(АВ + CD) = 4а, 4*6 = 24. Ответ: 24.

Задача №9 Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника АВCD , если стороны квадратных клеток равны 1. Решение. Диаметр описанной окружности около прямоугольника – диагональ прямоугольника. Ответ: 2,5.

Задачи для самостоятельного решения 1. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 50. Найдите его площадь. 2. В треугольнике ABC стороны AC = 4, BC = 3, угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности. 3. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 1/5 окружности. Ответ дайте в градусах. 4. В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Вписанный угол ACB равен 38°. Найдите центральный угол AOD. Ответ дайте в градусах. 5. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. 6. Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1:8:9. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Длина окружности

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Длина окружности

Длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз, а именно, приблизительно в 3,14 раза. Для обозначения этой величины используется маленькая (строчная) греческая буква π (пи):

C	= π.
D

Таким образом, длину окружности (C) можно вычислить, умножив константу π на диаметр (D), или умножив π на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так:

где C — длина окружности, π — константа, D — диаметр окружности, R — радиус окружности.

Так как окружность является границей круга, то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Задачи на длину окружности

Задача 1. Найти длину окружности, если её диаметр равен 5 см.

Решение: Так как длина окружности равна π умноженное на диаметр, то длина окружности с диаметром 5 см будет равна:

C ≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см).

Задача 2. Найти длину окружности, радиус которой равен 3,5 м.

Решение: Сначала найдём диаметр окружности, умножив длину радиуса на 2:

теперь найдём длину окружности, умножив π на диаметр:

C ≈ 3,14 · 7 = 21,98 (м).

Задача 3. Найти радиус окружности, длина которой равна 7,85 м.

Решение: Чтобы найти радиус окружности по её длине, надо длину окружности разделить на 2π:

R	=	C	,
		2π

следовательно, радиус будет равен:

R	≈	7,85	=	7,85	= 1,25 (м).
		2 · 3,14		6,28

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

Задачи на площадь круга

Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен 2 см.

Решение: Так как площадь круга равна π умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом 2 см будет равна:

S ≈ 3,14 · 2 2 = 3,14 · 4 = 12,56 (см 2 ).

Ответ: 12,56 см 2 .

Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 7 см.

Решение: Сначала найдём радиус круга, разделив его диаметр на 2:

теперь вычислим площадь круга по формуле:

S = πr 2 ≈ 3,14 · 3,5 2 = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см 2 ).

Данную задачу можно решить и другим способом. Вместо того чтобы сначала находить радиус, можно воспользоваться формулой нахождения площади круга через диаметр:

S = π	D 2	≈ 3,14 ·	7 2	= 3,14 ·	49	=
	4		4		4

=	153,86	= 38,465 (см 2 ).
	4

Ответ: 38,465 см 2 .

Задача 3. Найти радиус круга, если его площадь равна 12,56 м 2 .

Решение: Чтобы найти радиус круга по его площади, надо площадь круга разделить π, а затем из полученного результата извлечь квадратный корень:

Видео:7 класс, 21 урок, ОкружностьСкачать

Легкие задачи с окружностью

Наглядная геометрия 7 класс. задачи по теме Прямая. Окружность. Угол с ответами и решениями. Простые вопросы по теме. Непростые вопросы.

Вначале рассмотрим две главные задачи, которые встречаются практически во всех контрольных работах. Задачи эти очень простые. Но важно при решении сослаться на основное свойство измерения отрезков или углов.

Задача 1. На отрезке АВ, равном 24 см, взята точка М. Отрезок AM на 6 см больше отрезка МВ. Найдите длину отрезка МВ.

Решение. По основному свойству измерения отрезков AM + МВ = АВ. Пусть МВ=х см, тогда AM = (х+6) см. Получим х + (х+6) = 24,2х = 18, х=9.

Ответ: МВ = 9 см.

Задача 2 . Внутри угла ВАС, равного 60°, из его вершины проведен луч AM. Угол ВАМ в 2 раза больше угла MAC. Найдите величину угла MAC.

Решение. По основному свойству измерения углов ∠BAM+ ∠MAC = ∠BAC. Пусть ∠MAC = х, тогда ∠BAM = 2х.
Получим х + 2х = 60°, 3х = 60°, х = 20°.

Ответ: ∠MAC = 20°.

Примечание. Возможен другой способ записи решения, где вместо ∠MAC = х пишут ∠MAC = х°.
∠MAC = х°, ∠BAM = 2х°; х + 2х = 60, 3х = 60, х = 20; ∠MAC = 20°.

Задача 3 . Дано: О — центр окружности; АВ = 30 см, АК: КО = 3:2. Найти: КВ.

Решение. АО = ½ АВ = 15 см — радиус равен половине диаметра.
АК — 3 части, КО — 2 части, АО — 5 частей. На 1 часть приходится 15:5 = 3 (см).
КО = 2 • 3 = 6 (см), ОВ = АО = 15 см, КВ = КО + ОВ = 6 + 15 = 21 (см).

Ответ: 21 см.

Примечание. Второй способ записи решения: АК = 3х см, КО = 2х см, АВ = 10х см. По условию 10х = 30, тогда х = 3. КВ = КО + ОВ = 7х = 21 см.

Задача 4 . Дано: ∠1 + ∠2 = 140°. Найти: ∠3.

Решение. ∠1 = ∠2 как вертикальные; ∠1 = 140° : 2 = 70°. ∠1 + ∠3 = 180° как смежные; ∠3 = 180° — 70° = 110°.

Ответ: 110°.

Задача 5 . Докажите, что биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.
Дано: ОК — биссектриса ∠AOC, ОМ — биссектриса ∠BOC.
Доказать: ∠KOM = 90°. 1л О в .

Доказательство. (Идея доказательства: сумма смежных углов равна 180°, тогда сумма половинок двух смежных углов 180° : 2 = 90°.)
∠AOC + ∠BOC = 180° как смежные;
∠СOM = ½ ∠COB по определению биссектрисы;
∠COK = ½ ∠COA по определению биссектрисы;
∠COM + ∠COK = ½ (∠COA + ∠COB) = ½ • 180°=90°.

Примечание. Мы показали возможное оформление задачи на контрольной работе. При решении задач на уроке и дома (по согласованию с учителем) можно делать менее строгие записи. Это значительно экономит время. Например, возможно такое «рабочее» оформление решения:
2х + 2у = 180° (свойство смежных углов);
х + у = 90°.

Простые вопросы по теме

Сколько смежных углов имеет данный угол?
Сколько вертикальных углов имеет данный угол?
Если данный угол острый, то каким будет угол, смежный с ним? А вертикальный ему угол?
Если данный угол тупой, то каким будет угол, смежный с ним? А вертикальный ему угол?
Могут ли быть смежные углы равны?
Если данный угол увеличить, то как изменится угол, смежный с ним? А вертикальный ему угол?
Если данный угол уменьшить, то как изменится смежный с ним угол? А вертикальный ему угол?
Если данный угол увеличить на 20°, то как изменится смежный с ним угол? А вертикальный ему угол?
Если данный угол прямой, то каким будет смежный с ним угол? А вертикальный ему угол?
Если данный угол увеличить в 2 раза, то как изменится смежный с ним угол? А вертикальный ему угол?
Если данный угол тупой, то какой угол больше: смежный с данным или вертикальный ему?
Даны две пересекающиеся прямые. Сколько пар смежных углов они образуют? сколько пар вертикальных?
На прямой отметили точку. Сколько лучей можно указать?
На прямой отметили 10 точек. Сколько лучей образовалось?
Прямую разделили на части в десяти точках. Сколько и каких фигур образовалось?
На прямой отметили 3 точки. Сколько отрезков образовалось при этом? А если отметить 4 точки?
Не отрывая карандаша от бумаги, нарисуйте пятью прямолинейными отрезками звездочку. Сколько пар смежных углов при этом образовалось на рисунке? А сколько пар вертикальных?
Какие заглавные буквы русского алфавита можно изобразить ломаными линиями. Какого вида эти ломаные?
Сколько вы можете предложить неправильных вариантов написания слова «биссектриса»?
Как переводится слово «градус»?
Сколько теорем в данной теме?

ОТВЕТЫ на простые вопросы

Два.
Один.
Смежный — тупой. Вертикальный — острый.
Смежный — острый. Вертикальный — тупой.
Да, если они по 90°.
Смежный с ним угол уменьшится, вертикальный — увеличится.
Смежный с ним угол увеличится, вертикальный — уменьшится.
Смежный с ним угол уменьшится на 20°, вертикальный — увеличится на 20°.
Смежный с ним угол — прямой, вертикальный ему — прямой.
Смежный угол уменьшится, но не в 2 раза (были, например, углы 10° и 170°, стали 20° и 160°). Вертикальный угол увеличится в 2 раза.
Смежный угол меньше, чем вертикальный, так как смежный будет острым, а вертикальный — тупым.
Четыре пары смежных углов и две пары вертикальных.
Два противоположных луча.
Каждая из 10 точек будет началом двух противоположных лучей. Таким образом, всего образуется 20 лучей.
9 отрезков и 2 луча.
Если 3 точки, то 3 отрезка. Если 4 точки, то 6 отрезков.
Пять точек пресечения дадут по 4 пары смежных углов — всего 20 пар смежных. Пять точек пересечения дадут по 2 пары вертикальных углов — всего 10 пар вертикальных.
Б, Г, И, Л, М, О, П, Р, С, Ь, Ъ. Из них: Г, И, Л, П, С — простые незамкнутые, Б, Р, Ь, Ъ — непростые незамкнутые, О — простая замкнутая ломаная.
Например:
биСектриса биссектриССа бЕСектриССа
биСектриССа бЕссектриса
бЕСектриса бЕссектриССа

«Градус» переводится с латинского как «шаг», «ступень».
3.

Непростые вопросы

22* Сколько условий требуется, чтобы углы были по определению смежными?
23* Как звучит теорема о свойстве смежных углов в форме «Если…, то…»? Что в теореме дано, а что нужно доказать?
24.* Как звучит утверждение, обратное теореме о свойстве смежных углов («Если …, то …»)? Верно ли это утверждение?
25* Если у двух углов одна сторона общая и их сумма равна 180°, то обязательно ли они смежные?
26.* Если у двух углов две стороны являются противоположными лучами и их сумма равна 180°, то обязательно ли они смежные?
27* Как звучит теорема о свойстве вертикальных углов в форме «Если …, то …»? Что в теореме дано, а что нужно доказать?
28* Как звучит утверждение, обратное теореме о свойстве вертикальных углов («Если то …»)? Верно ли это утверждение? Примечание. Если хотя бы в одном случае утверждение неверно, то в математике такое утверждение считается неверным. В математике не бывает одно и то же утверждение иногда верным, а иногда неверным.
29* Если сторона одного угла является противоположным лучом к стороне другого и углы равны, то обязательно ли они вертикальные?
30.* Если на прямой отметить 10 точек, то сколько отрезков при этом образуется? А если 100 точек? А если п точек?
31* Если внутри угла из его вершины провести 5 лучей, то сколько углов при этом образуется? А если 100 лучей? А если п лучей?
32* На плоскости дано 10 точек, из них никакие три не лежат на одной прямой. Сколько существует отрезков с концами в данных точках?
33* На плоскости дано 10 прямых. Из них никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Сколько существует точек пересечения этих прямых?
34* Изобразите шестизвенную замкнутую ломаную, каждое звено которой имеет только одну точку пересечения с каким-то другим звеном.
35* Не отрывая карандаша от бумаги, соедините четырьмя прямолинейными отрезками изображенные 9 точек.

Ответы на непростые вопросы

22* Два: 1) одна сторона общая; 2) две другие — противоположные лучи.

23* «Если даны два смежных угла, то их сумма равна 180°». Дано: два смежных угла. Нужно доказать: их сумма равна 180°.

24.* «Если сумма двух углов 180°, то эти углы смежные». Это утверждение неверно. Например, любые два угла квадрата в сумме дают 180°, но они не являются смежными.

27* «Если углы вертикальные, то эти углы равны». Дано: два вертикальных угла. Нужно доказать: эти углы равны.

28* «Если два угла равны, то они вертикальные». Это утверждение неверно. Два любых угла прямоугольника равны, но они не являются вертикальными.

30* Ответ: 45. Из них 9 одинарных, 8 двойных, 7 тройных, 6 четверных, 5 пятерных, 4 шестерных, 3 семерных, 2 восьмерных и 1 данный отрезок, т. е. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Можно рассуждать иначе: каждая из 10 точек образует с оставшимися 9 точками девять отрезков. Всего таких образований 10 • 9 = 90. Самих отрезков в 2 раза меньше, т. е. 90 : 2 = 45 (2 образования — относительно одного конца, а затем относительно второго конца отрезка — дают 1 отрезок).

Если точек 100, то количество отрезков составит 100 • 99 / 2 = 4950. Если точек n, то образуется n(n — 1)/2 отрезков.

31 .* Ответ: 21. Из них 6 одинарных, 5 двойных, 4 тройных, 3 пятерных, 2 шестерных и 1 данный угол. Можно рассуждать иначе: каждый из 7 лучей образует с оставшимися 6 лучами угол. Всего таких образований 7.6 = 42. Самих углов в два раза меньше: 42:2 = 21.

Если внутри провести 100 лучей, то углов будет 102 • 101 / 2 = 5151. А если n лучей, то всего образуется (n + 2)(n +1)/2 углов.

Примечание. Мы не считали углы, большие 180°.

32* Каждая из 10 точек образует с оставшимися 9 точками отрезок. Всего таких образований 10 • 9 = 90. Самих отрезков в 2 раза меньше, т. е. 90:2 = 45.

33* Любая из 10 прямых пересекает каждую из 9 остальных в некоторой точке. Всего для данной прямой 9 точек пересечения. И для каждой из 10 прямых будет 9 точек пересечения с оставшимися 9 прямыми. Получаем 10-9 = 90 точек пересечений. Но при этом каждая точка засчитана дважды: относительно одной, а затем относительно второй прямой. Поэтому всего точек пересечения в 2 раза меньше, т. е. 90:2 = 45.

Ключевые задачи по теме Прямая. Окружность. Угол». Выберите дальнейшие действия: