Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Куб — свойства, виды и формулы

Среди многогранников куб – это один из наиболее известных объектов, знакомых с далёкого детства. Более подробно эта тема изучается на уроках геометрии в старших классах, когда от фигур на плоскости переходят к телам в пространстве.

Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:

многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;

прямая призма, все грани которой есть квадраты;

прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.

Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.

Видео:10 класс - Геометрия - Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс - Геометрия - Скрещивающиеся прямые

Элементы куба

Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.

Грань

Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть. Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.

Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.

Ребро

Линии пересечения сторон называются рёбрами.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать. Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.

Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.

Вершина

Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.

Центр грани

Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.

Центр куба

Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Это есть центр симметрии куба.

Ось куба

Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.

Диагональ куба

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.

Диагональ куба — одна из осей симметрии.

Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ грани куба

Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Объем куба

Как для любого параллелепипеда, объём куба равен произведению всех трёх измерений, которые в данном случае равны:

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Видео:10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

Периметр куба

Сумма длин всех рёбер равна:

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Видео:Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

Перпендикулярные прямые. 6 класс.

Площадь поверхности

Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Видео:10 класс, 15 урок, Перпендикулярные прямые в пространствеСкачать

10 класс, 15 урок, Перпендикулярные прямые в пространстве

Сфера, вписанная в куб

Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Радиус равен половине ребра:

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

Сфера, описанная вокруг куба

Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

Координаты вершин куба

В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).

Видео:Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.

Свойства куба

Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Построение сечений необходимо для решения многих задач. Как правило, используется метод следов или условие параллельности прямых и плоскостей.

у куба все грани равны, являются квадратами;

у куба все рёбра равны;

один центр и несколько осей симметрии.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№33 - Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№33 - Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые.)

Четыре способа решения задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми

Разделы: Математика

Среди огромного количества стереометрических задач в учебниках геометрии, в различных сборниках задач, пособиях по подготовке в ВУЗы крайне редко встречаются задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. Возможно, это обусловлено как узостью их практического применения (относительно школьной программы, в отличие от «выигрышных» задач на вычисление площадей и объемов), так и сложностью данной темы.

Практика проведения ЕГЭ показывает, что многие учащиеся вообще не приступают к выполнению заданий по геометрии, входящих в экзаменационную работу. Для обеспечения успешного выполнения геометрических заданий повышенного уровня сложности необходимо развивать гибкость мышления, способность анализировать предполагаемую конфигурацию и вычленять в ней части, рассмотрение которых позволяет найти путь решения задачи.

Школьный курс предполагает изучение четырех способов решения задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. Выбор способа обусловлен, в первую очередь, особенностями конкретной задачи, предоставленными ею возможностями для выбора, и, во вторую очередь, способностями и особенностями «пространственного мышления» конкретного учащегося. Каждый из этих способов позволяет решить самую главную часть задачи — построение отрезка, перпендикулярного обеим скрещивающимся прямым (для вычислительной же части задач деление на способы не требуется).

Основные способы решения задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми

Нахождение длины общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых, т.е. отрезка с концами на этих прямых и перпендикулярного каждой из этих прямых.

Нахождение расстояния от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

Нахождение расстояния между двумя параллельными плоскостями, проходящими через заданные скрещивающиеся прямые.

Нахождение расстояния от точки, являющейся проекцией одной из скрещивающихся прямых, на перпендикулярную ей плоскость (так называемый «экран») до проекции другой прямой на ту же самую плоскость.

Проведем демонстрацию всех четырех способов на следующей простейшей задаче: «В кубе с ребром а найти расстояние между любым ребром и диагональю не пересекающей его грани». Ответ: Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

hскр перпендикулярна плоскости боковой грани, содержащей диагональ d и перпендикулярна ребру, следовательно, hскр и является расстоянием между ребром а и диагональю d.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Плоскость A параллельна ребру и проходит через данную диагональ, следовательно, данная hскр является не только расстоянием от ребра до плоскости A, но и расстоянием от ребра до данной диагонали.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Плоскости A и B параллельны и проходят через две данные скрещивающиеся прямые, следовательно, расстояние между этими плоскостями равно расстоянию между двумя скрещивающимися прямыми.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Плоскость A перпендикулярна ребру куба. При проекции на A диагонали d данная диагональ обращается в одну из сторон основания куба. Данная hскр является расстоянием между прямой, содержащей ребро, и проекцией диагонали на плоскость C, а значит и между прямой, содержащей ребро, и диагональю.

Остановимся подробнее на применении каждого способа для изучаемых в школе многогранников.

Применение первого способа достаточно ограничено: он хорошо применяется лишь в некоторых задачах, так как достаточно сложно определить и обосновать в простейших задачах точное, а в сложных — ориентировочное местоположение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых. Кроме того, при нахождении длины этого перпендикуляра в сложных задачах можно столкнуться с непреодолимыми трудностями.

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде с размерами a, b, h найти расстояние между боковым ребром и не пересекающейся с ним диагональю основания.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Пусть AHКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеBD. Так как А1А перпендикулярна плоскости АВСD , то А1А Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеAH.

AH перпендикулярна обеим из двух скрещивающихся прямых, следовательно AH?- расстояние между прямыми А1А и BD. В прямоугольном треугольнике ABD, зная длины катетов AB и AD, находим высоту AH, используя формулы для вычисления площади прямоугольного треугольника. Ответ: Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Задача 2. В правильной 4-угольной пирамиде с боковым ребром L и стороной основания a найти расстояние между апофемой и стороной основания, пересекающей боковую грань, содержащую эту апофему.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

SHКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеCD как апофема, ADКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеCD, так как ABCD — квадрат. Следовательно, DH — расстояние между прямыми SH и AD. DH равно половине стороны CD. Ответ:Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Применение этого способа также ограничено в связи с тем, что если можно быстро построить (или найти уже готовую) проходящую через одну из скрещивающихся прямых плоскость, параллельную другой прямой, то затем построение перпендикуляра из любой точки второй прямой к этой плоскости (внутри многогранника) вызывает трудности. Однако в несложных задачах, где построение (или отыскивание) указанного перпендикуляра трудностей не вызывает, данный способ является самым быстрым и легким, и поэтому доступен.

Задача 2. Решение уже указанной выше задачи данным способом особых трудностей не вызывает.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Плоскость EFM параллельна прямой AD, т. к AD || EF. Прямая MF лежит в этой плоскости, следовательно, расстояние между прямой AD и плоскостью EFM равно расстоянию между прямой AD и прямой MF. Проведем OHКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеAD. OHКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеEF, OHКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеMO, следовательно, OHКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые(EFM), следовательно, OH — расстояние между прямой AD и плоскостью EFM, а значит, и расстояние между прямой AD и прямой MF. Находим OH из треугольника AOD.

Ответ:Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде с размерами a,b и h найти расстояние между боковым ребром и не пересекающейся с ним диагональю параллелепипеда.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Прямая AA1 параллельна плоскости BB1D1D, B1D принадлежит этой плоскости, следовательно расстояние от AA1 до плоскости BB1D1D равно расстоянию между прямыми AA1 и B1D. Проведем AHКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеBD. Также, AH Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеB1B, следовательно AHКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые(BB1D1D), следовательно AHКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеB1D, т. е. AH — искомое расстояние. Находим AH из прямоугольного треугольника ABD.

Ответ: Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Задача 4. В правильной шестиугольной призме A:F1 c высотой h и стороной основания a найти расстояние между прямыми:

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Рассмотрим плоскость E1EDD1. A1E1Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеEE1, A1E1Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеE1D1, следовательно

A1E1 Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые(E1EDD1). Также A1E1 Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеAA1. Следовательно, A1E1 является расстоянием от прямой AA1 до плоскости E1EDD1. ED1Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые(E1EDD1)., следовательно AE1 — расстояние от прямой AA1 до прямой ED1. Находим A1E1 из треугольника F1A1E1 по теореме косинусов. Ответ:Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

б) AF и диагональю BE1.

Проведем из точки F прямую FH перпендикулярно BE. EE1Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеFH, FHКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеBE, следовательно FHКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые(BEE1B1), следовательно FH является расстоянием между прямой AF и (BEE1B1), а значит и расстоянием между прямой AF и диагональю BE1. Ответ:Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Применение этого способа крайне ограничено, так как плоскость, параллельную одной из прямых (способ II) строить легче, чем две параллельные плоскости, однако способ III можно использовать в призмах, если скрещивающиеся прямые принадлежат параллельным граням, а также в тех случаях, когда в многограннике несложно построить параллельные сечения, содержащие заданные прямые.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

а) Плоскости BAA1B1 и DEE1D1 параллельны, так как AB || ED и AA1 || EE1. ED1Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеDEE1D1, AA1Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые(BAA1B1), следовательно, расстояние между прямыми AA1 и ED1 равно расстоянию между плоскостями BAA1B1 и DEE1D1. A1E1Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеAA1, A1E1Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеA1B1, следовательно, A1E1Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеBAA1B1. Аналогично доказываем, что A1E1Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые(DEE1D1). Т.о., A1E1 является расстоянием между плоскостями BAA1B1 и DEE1D1, а значит, и между прямыми AA1 и ED1. Находим A1E1 из треугольника A1F1E1, который является равнобедренным с углом A1F1E1, равным Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Ответ:Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

б) Расстояние между AF и диагональю BE1 находится аналогично.

Ответ:Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые.

Задача 5. В кубе с ребром а найти расстояние между двумя непересекающимися диагоналями двух смежных граней.

Данная задача рассматривается как классическая в некоторых пособиях, но, как правило, ее решение дается способом IV, однако является вполне доступной для решения с помощью способа III.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Некоторую трудность в данной задаче вызывает доказательство перпендикулярности диагонали A1C обеим параллельным плоскостям (AB1D1 || BC1D). B1CКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеBC1 и BC1Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеA1B1, следовательно, прямая BC1 перпендикулярна плоскости A1B1C, и следовательно, BC1Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеA1C. Также, A1CКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеBD. Следовательно, прямая A1C перпендикулярна плоскости BC1D. Вычислительная же часть задачи особых трудностей не вызывает, так как hскр = EF находится как разность между диагональю куба и высотами двух одинаковых правильных пирамид A1AB1D1 и CC1BD.

Ответ:Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Данный способ имеет достаточно широкое применение. Для задач средней и повышенной трудности его можно считать основным. Нет необходимости применять его только тогда, когда один из трех предыдущих способов работает проще и быстрее, так как в таких случаях способ IV может только усложнить решение задачи, или сделать его труднодоступным. Данный способ очень выгодно использовать в случае перпендикулярности скрещивающихся прямых, так как нет необходимости построения проекции одной из прямых на «экран»

Задача 5. Все та же «классическая» задача (с непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба) перестает казаться сложной, как только находится «экран» — диагональное сечение куба.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Рассмотрим плоскость A1B1CD. C1F Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые(A1B1CD), т. к. C1FКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеB1C и C1FКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеA1B1. Тогда проекцией C1D на «экран» будет являться отрезок DF. Проведем EMКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеDF. Отрезок EM и будет являться расстоянием между двумя непересекающимися диагоналями двух смежных граней. Находим EM из прямоугольного треугольника EDF. Ответ:Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые.

Задача 6. В правильной треугольной пирамиде найти расстояние и угол между скрещивающимися прямыми: боковым ребром l и стороной основания a.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

В данной и аналогичных ей задачах способ IV быстрее других способов приводит к решению, так как построив сечение, играющее роль «экрана», перпендикулярно AC (треугольник BDM), видно, что далее нет необходимости строить проекцию другой прямой (BM) на этот экран. DH — искомое расстояние. DH находим из треугольника MDB, используя формулы площади. Ответ: Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Перпендикулярность в пространстве с примерами решения

Содержание:

Видео:Расстояние между скрещивающимися прямыми за 1 минуту. #математикапрофиль2023 #егэ2023 #школа #fypСкачать

Расстояние между скрещивающимися прямыми за 1 минуту.  #математикапрофиль2023 #егэ2023 #школа #fyp

Перпендикулярность в пространстве

В этом параграфе вы ознакомитесь с понятиями угла между прямыми в пространстве, угла между прямой и плоскостью, угла между двумя плоскостями; узнаете, что такое ортогональная проекция, изучите свой­ство ортогональной проекции многоугольника.

Угол между прямыми в пространстве

Поскольку две любые пересекающиеся прямые пространства лежат в одной плоскости, то угол между ними определим так же, как в планиметрии. Определение. Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину того из углов, образовавшихся при их пересечении, который не превышает Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые (рис. 33.1).

Угол между двумя параллельными прямыми считают равным Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые Следовательно, если Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые— угол между двумя прямыми, лежащими в одной плоскости, то Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые.

Введем понятие угла между скрещивающимися прямыми. Определение. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся пря­мым.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Пусть прямые Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыескрещивающиеся. Через точку М простран­ства проведем прямые Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыетак, что Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые(рис. 33.2). По определению угол между скрещивающимися прямыми Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеравен углу между пересекающимися прямыми Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые.

Возникает естественный вопрос: зависит ли угол между данными скрещивающимися прямыми Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеот выбора точки М ? Ответить на этот вопрос помогает следующая теорема.

Теорема 33.1. Угол между двумя пересекающимися прямыми равен углу между двумя другими пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

Воспользовавшись теоремой 33.1, можно показать, что угол между скрещивающимися прямыми Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеравен углу между пересекающимися прямыми Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые, где Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Например, на рисунке 33.3 изображена треугольная призма Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеи ВС равен углу между пересекающимися прямыми Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеи ВС.

Определение. Две прямые в пространстве называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Заметим, что перпендикулярные прямые могут как пересекаться, так и быть скрещивающимися.

Если прямые Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеперпендикулярны, то записывают: Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеДва отрезка в пространстве называют перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.

Например, ребра AD и Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыекуба Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеперпендикулярны (рис. 33.4). Действительно, поскольку Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыето угол между прямыми AD и Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеравен углу между прямыми AD и Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Но Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые, поэтому Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые.

Пример:

На рисунке 33.5 изображен куб Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Най­дите угол между прямыми Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеи Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые.

Решение:

Соединим точки Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Поскольку Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые, то точки Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыележат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыепо параллельным прямым Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Следовательно, угол между прямыми Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеравен углу Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Соединим точки В и D. Отрезки Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеравны как диагонали равных квадратов. Следовательно, треугольник Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеравносторонний. Тогда Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Ответ : 60°.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Перпендикулярность прямой и плоскости

В повседневной жизни мы говорим: флагшток перпендикулярен поверхности земли (рис. 34.1), мачты парусника перпендикулярны поверхности палубы (рис. 34.2), шуруп вкручивают в доску перпендикулярно ее поверхности (рис. 34.3) и т.п.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Эти примеры дают представление о прямой, перпендикулярной плоскости. Определение. Прямую называют перпендикулярной пло­скости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости (рис. 34.4).

Если прямая Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеперпендикулярна плоскости Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыето записывают: Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеТакже принято говорить, что плоскость Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеперпендикулярна прямой Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеили прямая Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеи плоскость Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеперпендикулярны.

Из определения следует, что если прямая Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеперпендикулярна плоскости Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыето она пересекает эту плоскость.

Отрезок называют перпендикулярным плоскости, если он принадлежит прямой, перпендикулярной этой плоскости.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Например, интуитивно понятно, что ребро Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыепрямоугольного параллелепипеда Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеперпендикулярно плоскости АВС (рис. 34.5). Доказать этот факт нетрудно, воспользовавшись следующей теоремой.

Теорема 34.1 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости.

На рисунке 34.5 прямая Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеперпендикулярна двум пересекающимся прямым АВ и AD плоскости АВС. Следовательно, по признаку перпен­дикулярности прямой и плоскости Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеа значит, и ребро Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыетакже перпендикулярно плоскости АВС.

Теорему 34.1 часто используют на практике. Например, подставка для новогодней елки имеет форму крестовины. Если елку установить так, чтобы ее ствол был перпендикулярен направлениям крестовины, то елка будет стоять перпендикулярно плоскости пола (рис. 34.6).

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Приведем теорему, которую можно рассматривать как еще один признак перпендикуляр­ности прямой и плоскости.

Теорем а 34.2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости (рис. 34.7).

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Например, на рисунке 34.5 прямая Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеперпендикулярна плоскости АВС, а прямая Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыепараллельна прямой Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Следовательно, по теореме 34.2 прямая Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыетакже перпендикулярна плоскости АВС. Сформулируем теорему, являющуюся признаком параллельности двух прямых.

Теорем а 34.3. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны (рис. 34.8). Справедлива и такая теорема.

Теорема 34.4. Через данную точку можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, и притом только одну.

Пример:

Плоскость Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеперпендикулярная катету АС прямоугольного треугольника АВС, пересекает катет АС в точке Е, а ги­потенузу АВ — в точке F (рис. 34.9). Найдите отрезок EF, если АЕ : ЕС = 3 : 4, ВС = 21 см.

Решение:

Поскольку прямая АС перпендикулярна плоскости Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыето прямая АС перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности прямой EF. Прямые EF и ВС лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой АС, поэтому Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Из этого следует, что треугольники AEF и Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеподобны. Следовательно, можно записать: EF : СВ=АЕ : АС. Отсюда EF : 21 = 3 : 7, EF = 9 см. Ответ: 9 см.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Перпендикуляр и наклонная

Пусть фигура Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые— параллельная проекция фигуры F на плоскость Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыев направлении прямой Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеЕсли Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые, то фигуру Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеназывают ортогональной проекцией фигуры F на плоскость Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Например, основание ABCD прямоугольного параллелепипеда Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеявляется ортогональной проекцией основания Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыена пло­скость АВС в направлении прямой Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые(рис. 35.1).

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

В дальнейшем, говоря о проекции фигуры, если не оговорено противное, будем иметь в виду ортогональную проекцию.

Пусть даны плоскость Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеи не принадлежащая ей точка А . Через точку А проведем прямую Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеперпендикулярную плоскости Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеПусть Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые(рис. 35.2).

Отрезок АВ называют перпендикуляром, опущенным из точки А на плоскость Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеточку В — основанием перпендикуляра. Основание В перпендикуляра АВ — это проекция точки А на плоскость Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые.

Отметим на плоскости Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыекакую-нибудь точку С, отличную от точки В. Проведем отрезок АС (рис. 35.2). Отрезок АС называют наклонной, проведенной из точки А к плоскости Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеточку С — основанием наклонной. Отрезок ВС является проекцией наклонной АС.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Теорема 35.1. Если из одной тонки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонная, то наклонная больше перпендикуляра.

Пример:

Докажите, что если точка, не принадлежащая плоскости многоугольника, равноудалена от его вершин, то проекцией этой точки на плоскость многоугольника является центр его описанной окружности.

Решение:

Проведем доказательство для треугольника. Для других многоугольников доказательство будет аналогичным. Пусть точка М не принадлежит плоскости АВС, причем МА = = МВ = МС. Опустим из точки М перпендикуляр МО на плоскость АВС (рис. 35.3). Докажем, что точка О — центр описанной окружности треугольника АВС. Поскольку Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые, то Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. В пря­моугольных треугольниках МОА, МОВ, МОС катет МО — общий, гипотенузы равны, следовательно, эти треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства данных треугольников следует, что ОА = ОВ = ОС, то есть точка О — центр описанной окружности треугольника АВС.

Заметим, что когда надо определить расстояние между двумя геометрическими фигурами, то стремятся найти расстояние между их ближайшими точками. Например, из курса планиметрии вы знаете, что расстоянием от точки, не принадлежащей прямой, до этой прямой называют расстояние от данной точки до ближайшей точки на прямой, то есть длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Теорема 35.1 показывает, что целесообразно принять следующее определение.

Определение. Если точка не принадлежит плоскости, то рас­стоянием от точки до плоскости называют длину перпен­дикуляра, опущенного из точки на плоскость. Если точка принадлежит плоскости, то считают, что расстояние от точки до плоскости равно нулю.

Пример:

Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от плоскости.

Решение:

Пусть А и В — две произвольные точки прямой Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыепараллельной плоскости Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеТочки Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые— основания перпендикуляров, опущенных соответственно из точек А и В на плоскость Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые(рис. 35.4). Докажем, что Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

По теореме 34.3 Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Следовательно, точки Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыележат в одной пло­скости. Плоскость Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыепроходит через прямую Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыепараллельную плоскости Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеи пересекает плоскость Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыепо прямой Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Тогда по теореме 30.2 получаем: Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Таким образом, в четырехугольнике Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыекаждые две противолежащие стороны параллельны. Следовательно, четырехугольник Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые— параллелограмм. Отсюда Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеТак как точки А и В выбраны на прямой Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыепроизвольно, то утверждение задачи доказано.

Доказанное свойство позволяет принять следующее определение. Определение. Расстоянием от прямой до параллель­ной ей плоскости называют расстояние от любой точки этой прямой до плоскости. Используя результат, полученный в ключевой задаче 2, можно решить следующую задачу.

Пример:

Докажите, что если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости. Определение. Расстоянием между двумя параллель­ными плоскостями называют расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.

Результаты, полученные в ключевых задачах 2 и 3, часто ис­пользуют в практической деятельности, например в строительстве (рис. 35.5).

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Теорема 35.2 (теорема о трех перпендикулярах). Если прямая, принадлежащая плоскости, перпендикулярна проекции наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и самой наклонной. И наоборот, если прямая, принадлежащая плоскости, перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и проекции наклонной на эту плоскость.

Доказательство. Докажем первую часть теоремы.Пусть прямая Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыепринадлежащая плоскости Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеперпендикулярна проекции ВС наклонной АС (рис. 35.6). Докажем, что Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Имеем: Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеследовательно, Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Получили, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым АВ и ВС плоскости АВС; следовательно,Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Поскольку Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыето Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеДоказательство второй части теоремы аналогично доказатель­ству первой части.

Пример:

Точка М не принадлежит плоскости выпуклого многоугольника и равноудалена от всех прямых, содержащих его стороны. Проекцией точки М на плоскость многоугольника является точка О, принадлежащая многоугольнику. Докажите, что точка О — центр вписанной окружности многоугольника.

Решение:

Проведем доказательство для треугольника. Для других многоугольников доказательство будет аналогичным. Опустим из точки О перпендикуляры ON, ОК и ОЕ соответственно на прямые АВ, ВС и СА (рис. 35.7). Соединим точку М с точками Е, К и N.

Отрезок ON является проекцией на­клонной MN на плоскость АВС. По построению Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Тогда по теореме о трех перпендикулярах получаем: Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Аналогично можно доказать, что Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Следовательно, длины отрезков MN, МК и ME — расстояния от точки М до прямых АВ, ВС и СА соответственно. По условию MN = МК = МЕ. Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

В прямоугольных треугольниках MON, МОК, МОЕ катет МО общий, гипотенузы равны; следовательно, данные треугольники равны по катету и гипотенузе. Из равенства этих треугольников следует, что ON = ОК = ОЕ.

Длины отрезков ON, ОК и ОЕ являются расстояниями от точки О до прямых, содержащих стороны треугольника АВС. Мы показали, что эти расстояния равны. Так как точка О принадлежит треугольнику АВС, то точка О — центр вписанной окружности треугольника АВС.

Угол между прямой и плоскостью

Вы знаете, что в давние времена путешественники ориентировались по звездам. Они измеряли угол, который образовывал с плоскостью горизонта луч, идущий от данной точки к небесному телу.

Сегодня человеку в своей деятельности также важно определять углы, под которыми наклонены к данной плоскости некоторые объекты (рис. 36.1). Эти примеры показывают, что целесообразно ввести понятие угла между прямой и плоскостью.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Определение. Если прямая параллельна плоскости или принадлежит ей, то считают, что угол меж ду такой прямой и плоскостью равен 0°.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то считают, что угол между такой прямой и плоскостью равен Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые.

Если прямая пересекает плоскость и не перпендикулярна ей, то углом между такой прямой и плоскостью называют угол между прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 36.2).

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Из определения следует, что если Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые— угол между прямой и плоскостью, то Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые.

Также принято говорить, что прямая образует угол Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыес плоскостью.

Углом между отрезком и плоскостью называют угол между прямой, содержащей этот отрезок, и плоскостью.

Например, рассмотрим куб Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые(рис. 36.3). Угол между диагональю Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеграни Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеи плоскостью АВС равен 45°. Действительно, прямая АВ — проекция прямой Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыена плоскость АВС. Тогда угол между прямой Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеи плоскостью АВС равен величине угла Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Поскольку четырехугольник Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые— квадрат, то Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые.

Пример:

Докажите, что если из одной точки к плоскости проведены наклонные, образующие равные углы с плоскостью, то проекция данной точки на плоскость равноудалена от оснований наклонных.

Решение:

Пусть МЛ и М В — наклонные, образующие с плоскостью Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеравные углы, отрезки ОА и ОВ — проекции этих наклонных (рис. 36.4). Докажем, что ОА = ОВ.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Прямая ОА является проекцией прямой МА на плоскость Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеТак как угол МАО острый, то он равен углу между прямыми ОА и МА. Следовательно, величина угла МАО равна углу между наклонной МА и плоскостью Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Аналогично можно доказать, что величина угла МВО равна углу между наклонной МВ и плоскостью Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеПо условию Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые.

Поскольку Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыето Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Получаем, что прямоугольные треугольники МОА и МОВ равны по катету и противолежащему острому углу. Отсюда Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые.

Двугранный угол. Угол между плоскостями

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

На рисунке 37.1 изображена фигура, состоящая из двух полуплоскостей, имеющих общую границу. Эта фигура делит пространство на две части, выделенные на рисунке 37.2 разными цветами. Каждую из этих частей вместе с полуплоскостями называют двугран­ным углом. Полуплоскости называют гранями двугранного угла, а их общую границу — ребром двугранного угла. Как видим, «желтый» и «синий» двугранные углы, изображенные на рисунке 37.2, существенно различаются. Это различие выражается следующим свойством. На гранях двугранного угла выберем произвольные точки М и N (рис. 37.3).

Отрезок MN принадлежит «желтому» двугранному углу, а «сине­му» двугранному углу принадлежат лишь концы отрезка. В дальнейшем, говоря «двугранный угол», будем подразумевать такой двугранный угол, который содержит любой отрезок с концами на его гранях («желтый» двугранный угол).

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Наглядное представление о двугранном угле дают полуоткрытая классная доска, двускатная крыша, открытый ноутбук (рис. 37.4).

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Двугранный угол считают пространственным аналогом угла на плоскости. Вы знаете, как определяют величину угла на плоскости. Научимся определять величину двугранного угла.

Отметим на ребре MN двугранного угла произ­вольную точку О. Через точку О в гранях двугран­ного угла проведем лучи ОА и ОВ перпендикулярно ребру MN (рис. 37.5). Угол АОВ, образованный этими лучами, называют линейным углом двугран­ного угла. Поскольку Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеи Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые, то Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Таким образом, если через произвольную точку ребра двугранного угла провести плоскость перпендикулярно ребру, то эта плоскость пересечет двугранный угол по его линейному углу.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Определение. Величиной двугранного угла называют величину его линейного угла.

Двугранный угол называют острым, прямым, тупым или развернутым, если его линейный угол соответственно острый, прямой, тупой или развернутый.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Например, рассмотрим куб Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые(рис. 37.6). Двугранный угол с ребром Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые, грани которого принадлежат плоскостям Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеи Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеявляется прямым. Действительно, поскольку Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеи Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые, то угол ADC — линейный угол двугранного угла с ребром Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые.

Угол ADC прямой.

При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла, отличных от развернутого (рис. 37.7). Здесь возможны два случая:

  1. все четыре двугранных угла прямые (рис. 37.7, а);
  2. из четырех двугранных углов два равных угла острые и два равных угла тупые (рис. 37.7, б).

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

В обоих случаях из четырех двугранных углов найдется такой, величина которого не превышает 90°.

Определение. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называют величину того из образовавшихся дву­гранных углов, который не превышает 90°. Угол между двумя параллельными плоскостям и равен 0°.

Углом между многоугольником и плоскостью, которой много угольник не принадлежит, называют угол между плоскостью, содержащей многоугольник, и данной плоскостью.

Углом между двумя многоугольниками, лежащими в разных плоскостях, называют угол между плоскостями, в которых лежат эти многоугольники.

Пример:

Прямоугольные треугольники Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеи АВМ Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеимеют общий катет АВ (рис. 37.8). Отрезок МВ перпендикулярен плоскости АВС. Известно, что МВ = 4 см, АС = 6 см, МС = 10 см. Найдите угол между плоскостями АВС и АМС.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Решение:

Отрезок ВА является проекцией наклонной МА на плоскость АВС. Так как Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые, то по теореме о трех перпендикулярах Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Следователь но, угол МАВ — линейный угол двугранного угла с ребром АС, грани которого принадлежат плоскостям АВС и АМС. Поскольку угол МАВ острый, то угол между плоскостями АВС и АМС равен величине угла МАВ.

Для стороны AM прямоугольного треугольника АМС можно записать: Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Отсюда Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Для угла МАВ прямоугольного треугольника МАВ запишем: Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Отсюда Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеи Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Ответ: 30°.

Имеет место теорема, устанавливающая связь между площадью данного многоугольника и площадью его проекции.

Теорема 37.1 (площадь ортогональной проекции мно­гоугольника). Площадь проекции выпуклого многоугольника равна произведению его площади и косинуса угла а между многоугольником и его проекцией, где Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые.

Определение. Две плоскости называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Если плоскости Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеперпендикулярны, то записывают: Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Также принято говорить, что плоскость Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеперпендикулярна плоскости Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеили плоскость Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеперпендикулярна плоскости Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые.

Наглядное представление о перпендикулярных плоскостях дают плоскости стены и потолка комнаты, плоскости двери и пола, плоскости сетки и теннисного корта (рис. 37.9).

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Очевидно, что перпендикулярные плоскости при пересечении образуют четыре прямых двугранных угла (рис. 37.10).

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеКуб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Теорема 37.2 (признак перпендикулярности плоско­стей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Например, плоскость грани Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыепрямоугольного параллелепипеда Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые, (рис. 37.11) перпендикулярна плоскости грани ABCD. Действительно, плоскость Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыепроходит через прямую Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые, перпендикулярную плоскости АВС.

Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 5

Угол между прямыми в пространстве Углом между двумя пересекающимися прямыми называют ве­личину того из углов, образовавшихся при их пересечении, который не превышает 90°. Считают, что угол между двумя параллельными прямыми равен 0°. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым. Две прямые в пространстве называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Перпендикулярность прямой и плоскости

  • Прямую называют перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
  • Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости.
  • Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
  • Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
  • Через данную точку можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, и притом только одну.

Ортогональная проекция фигуры

Пусть фигура Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые— параллельная проекция фигуры F на плоскость Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыев направлении прямой Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Если Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые, то фигуру Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямыеназывают ортогональной проекцией фигуры F на плоскость Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Расстояние от точки до плоскости

Если точка не принадлежит плоскости, то расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Если точка принадлежит плоскости, то считают, что расстояние от точки до плоскости равно нулю.

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости

Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называют расстояние от любой точки этой прямой до плоскости.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями

Расстоянием между двумя параллельными плоскостями назы­вают расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах

Если прямая, принадлежащая плоскости, перпендикулярна проекции наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и самой наклонной. И наоборот, если прямая, принадлежащая плоскости, перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и проекции наклонной на эту плоскость.

Угол между прямой и плоскостью

  • Если прямая параллельна плоскости или принадлежит ей, то считают, что угол между такой прямой и плоскостью равен 0°.
  • Если прямая перпендикулярна плоскости, то считают, что угол между такой прямой и плоскостью равен 90°.
  • Если прямая пересекает плоскость и не перпендикулярна ей, то углом между такой прямой и плоскостью называют угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Величина двугранного угла

Величиной двугранного угла называют величину его линейного угла.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называют величину того из образовавшихся двугранных углов, который не превышает 90°.

Площадь ортогональной проекции многоугольника

Площадь проекции выпуклого многоугольника равна произведению его площади и косинуса угла а между многоугольником и его проекцией, где Куб его параллельные перпендикулярные скрещивающиеся прямые

Перпендикулярные плоскости

Две плоскости называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Признак перпендикулярности плоскостей

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Векторы и координаты в пространстве
  • Множества
  • Рациональные уравнения
  • Рациональные неравенства и их системы
  • Предел числовой последовательности
  • Предел и непрерывность числовой функции одной переменной
  • Функции, их свойства и графики
  • Параллельность в пространстве

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔥 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Перпендикулярность прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямых в пространстве. 10 класс.

7. Скрещивающиеся прямыеСкачать

7. Скрещивающиеся прямые

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.

Скрещивающиеся прямыеСкачать

Скрещивающиеся прямые

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Как провести множество параллельных или перпендикулярных прямых без транспортира?Скачать

Как провести множество параллельных или перпендикулярных прямых без транспортира?

Тема ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕСкачать

Тема ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ

Параллельные и перпендикулярные прямые.Скачать

Параллельные и перпендикулярные прямые.
Поделиться или сохранить к себе: