Кривые второго порядка пара параллельных прямых

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде Кривые второго порядка пара параллельных прямых

  1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения Кривые второго порядка пара параллельных прямых
  2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение Кривые второго порядка пара параллельных прямыхназывается уравнением фигуры, если Кривые второго порядка пара параллельных прямых, то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения Кривые второго порядка пара параллельных прямых, т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

  1. дано уравнение Кривые второго порядка пара параллельных прямыхи надо построить фигуру Ф, уравнением которой является Кривые второго порядка пара параллельных прямых;
  2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения Кривые второго порядка пара параллельных прямыхи решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

  1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
  2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.
Содержание
  1. Эллипс
  2. Гипербола
  3. Кривые второго порядка на плоскости
  4. Исследование уравнений второго порядка
  5. Преобразование координат в уравнении второго порядка.
  6. Канонические виды уравнений второго порядка.
  7. Случай A’C’ > 0.
  8. Случай A’C’ Определение.
  9. Случай (A’C’ = 0).
  10. Кривые второго порядка
  11. Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:
  12. Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах — при вторых степенях одновременно не нули.
  13. Гипербола — множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.
  14. Парабола — множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.
  15. 🎬 Видео

Видео:Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек Кривые второго порядка пара параллельных прямых, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между Кривые второго порядка пара параллельных прямых).

Точки Кривые второго порядка пара параллельных прямыхназываются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

Кривые второго порядка пара параллельных прямых(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку Кривые второго порядка пара параллельных прямыхкоординаты которой задаются формулами Кривые второго порядка пара параллельных прямыхбудет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением Кривые второго порядка пара параллельных прямых

Число Кривые второго порядка пара параллельных прямыхназывается эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет Кривые второго порядка пара параллельных прямыххарактеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении Кривые второго порядка пара параллельных прямыхстановится более вытянутым

Кривые второго порядка пара параллельных прямых

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами Кривые второго порядка пара параллельных прямых. Их длины Кривые второго порядка пара параллельных прямыхи Кривые второго порядка пара параллельных прямыхзадаются формулами Кривые второго порядка пара параллельных прямыхПрямые Кривые второго порядка пара параллельных прямыхназываются директрисами эллипса. Директриса Кривые второго порядка пара параллельных прямыхназывается левой, а Кривые второго порядка пара параллельных прямых— правой. Так как для эллипса Кривые второго порядка пара параллельных прямыхи, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е. Кривые второго порядка пара параллельных прямых

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек Кривые второго порядка пара параллельных прямыхесть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между Кривые второго порядка пара параллельных прямых).

Точки Кривые второго порядка пара параллельных прямыхназываются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов Кривые второго порядка пара параллельных прямыхобозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть Кривые второго порядка пара параллельных прямых. Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты Кривые второго порядка пара параллельных прямых.

Кривые второго порядка пара параллельных прямых

Тогда Кривые второго порядка пара параллельных прямыхА расстояние Кривые второго порядка пара параллельных прямыхПодставив в формулу r=d, будем иметьКривые второго порядка пара параллельных прямых. Возведя обе части равенства в квадрат, получимКривые второго порядка пара параллельных прямых

Кривые второго порядка пара параллельных прямыхили

Кривые второго порядка пара параллельных прямых(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения Кривые второго порядка пара параллельных прямыхтакже определяют параболы.

Легко показать, что уравнение Кривые второго порядка пара параллельных прямых, определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а Кривые второго порядка пара параллельных прямыхО. Для этого выделим полный квадрат:

Кривые второго порядка пара параллельных прямых

и сделаем параллельный перенос по формуламКривые второго порядка пара параллельных прямыхКривые второго порядка пара параллельных прямых

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: Кривые второго порядка пара параллельных прямыхгде р — положительное число, определяется равенством Кривые второго порядка пара параллельных прямых.

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстояниюКривые второго порядка пара параллельных прямых, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условиюКривые второго порядка пара параллельных прямых, запишем это равенство с помощью координат: Кривые второго порядка пара параллельных прямых Кривые второго порядка пара параллельных прямых, или после упрощения Кривые второго порядка пара параллельных прямых. Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка пара параллельных прямых

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

Кривые второго порядка пара параллельных прямых

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю Кривые второго порядка пара параллельных прямых

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

Кривые второго порядка пара параллельных прямыхкоторое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число Кривые второго порядка пара параллельных прямых— мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки Кривые второго порядка пара параллельных прямыхназывают вершинами эллипса, а Кривые второго порядка пара параллельных прямых— его фокусами (рис. 12).

Кривые второго порядка пара параллельных прямых

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид Кривые второго порядка пара параллельных прямыхи определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Кривые второго порядка пара параллельных прямых

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы Кривые второго порядка пара параллельных прямыхи характеризует форму эллипса. Для окружности Кривые второго порядка пара параллельных прямыхЧем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

Кривые второго порядка пара параллельных прямых

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

Кривые второго порядка пара параллельных прямых

Кривые второго порядка пара параллельных прямых— каноническое уравнение эллипса с центром в точке Кривые второго порядка пара параллельных прямыхбольшей полуосью а=3 и меньшей полуосью Кривые второго порядка пара параллельных прямых

Найдем эксцентриситет эллипса:

Кривые второго порядка пара параллельных прямых

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке Кривые второго порядка пара параллельных прямыха оси Кривые второго порядка пара параллельных прямыхпараллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е. Кривые второго порядка пара параллельных прямых

В новой системе координат координаты Кривые второго порядка пара параллельных прямыхвершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Кривые второго порядка пара параллельных прямых

Переходя к старым координатам, получим:

Кривые второго порядка пара параллельных прямых

Построим график эллипса.

Кривые второго порядка пара параллельных прямыхЗадача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Кривые второго порядкаСкачать

Кривые второго порядка

Исследование уравнений второго порядка

Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Преобразование координат в уравнении второго порядка.

В общей декартовой системе координат линия второго порядка может быть задана уравнением
$$
Ax^ + 2Bxy + Cy^ + 2Dx + 2Ey + F = 0,label
$$
в котором коэффициенты (A), (B) и (C) не равны нулю одновременно. Исследуем множество точек, которые ему удовлетворяют, не предполагая заранее, что хоть одна такая точка существует. С этой целью мы будем менять систему координат так, чтобы уравнение стало возможно проще. С самого начала можно считать систему координат декартовой прямоугольной, так как при переходе к прямоугольной системе координат общий вид уравнения eqref не изменится.

При повороте базиса декартовой прямоугольной системы координат на угол (varphi) старые координаты точки (x), (y) будут связаны с ее новыми координатами (x’), (y’) формулами
$$
x = x’cos varphi-y’sin varphi,\ y = x’sin varphi + y’cos varphi.nonumber
$$
В новых координатах уравнение eqref примет вид
$$
A(x’cos varphi-y’sin varphi)^ + 2B(x’cos varphi-y’sin varphi) times \ times (x’sin varphi + y’cos varphi) + C(x’sin varphi + y’cos varphi) + … = 0.nonumber
$$
Здесь многоточием обозначены члены первой степени относительно (x’), (y’) и свободный член, которые нет необходимости выписывать. Нас будет интересовать член с произведением (x’y’) в преобразованном уравнении. В невыписанные члены это произведение не входит, и мы подсчитаем, что половина коэффициента при (x’y’) есть
$$
B’ = -Asin varphi cos varphi + B(cos^varphi-sin^varphi) + Csin varphi cos varphi.nonumber
$$
Если (B = 0), то поворачивать систему координат не будем. Если же (B neq 0), то выберем угол (varphi) так, чтобы (B’) обратилось в нуль.

Это требование приведет к уравнению
$$
2B cos 2varphi = (A-C)sin 2varphi.label
$$
Если (A = C), то (cos 2varphi = 0), и можно положить (varphi = pi/4). Если же (A neq C), то выбираем (varphi = displaystylefrac operatorname left[fracright]). Для нас сейчас важно то, что хоть один такой угол обязательно существует. После поворота системы координат на этот угол линия будет иметь уравнение
$$
A’x’^ + C’y’^ + 2D’x’ + 2E’y’ + F’ = 0.label
$$
Выражения для коэффициентов уравнения eqref через коэффициенты eqref подсчитать не трудно, но это не нужно. Теперь коэффициент при произведении переменных равен нулю, а остальные члены мы по-прежнему считаем произвольными.

Если в уравнение eqref входит с ненулевым коэффициентом квадрат одной из координат, то при помощи переноса начала координат вдоль соответствующей оси можно обратить в нуль член с первой степенью этой координаты.

В самом деле, пусть, например, (A’ neq 0). Перепишем eqref в виде
$$
A’left(x’^ + fracx’ + frac<D’^><A’^>right) + C’y’^ + 2E’y’ + F’-frac = 0.nonumber
$$
Если мы сделаем перенос начала координат, определяемый формулами (x″ = x’ + D’/A’), (y″ = y’), то уравнение приведется к виду
$$
A’x″^ + C’y″^ + 2E’y″ + F″ = 0,nonumber
$$
как и требовалось.

Канонические виды уравнений второго порядка.

Предположим, что (A’C’ neq 0), то есть оба коэффициента отличны от нуля. Согласно утверждению 1 при помощи переноса начала координат уравнение приведется к виду
$$
A’x″^ + C’y″^ + F″ = 0.label
$$

Могут быть сделаны следующие предположения относительно знаков коэффициентов в этом уравнении.

Случай A’C’ > 0.

Если (A’C’ > 0), то коэффициенты (A’) и (C’) имеют один знак. Для (F″) имеются следующие три возможности.

    Знак (F″) противоположен знаку (A’) и (C’). Перенесем (F″) в другую часть равенства и разделим на него. Уравнение примет вид
    $$
    frac<x″^><a^> + frac<y″^><b^> = 1,label
    $$
    где (a^ = -F″/A’), (b^ = -F″/C’). Можно считать, что в этом уравнении (a > 0), (b > 0) и (a geq b). Действительно, если последнее условие не выполнено, то можно сделать дополнительную замену координат
    $$
    x^ = y″, y^ = x″.label
    $$

Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением eqref при условии (a geq b), называется эллипсом, уравнение называется каноническим уравнением эллипса, а система координат — его канонической системой координат.

При (a = b) уравнение eqref есть уравнение окружности радиуса (a). Таким образом, окружность — частный случай эллипса.

  • Знак (F″) совпадает с общим знаком (A″) и (C″). Тогда аналогично предыдущему мы можем привести уравнение к виду
    $$
    frac<x″^><a^> + frac<y″^><b^> = -1,label
    $$
    Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, которое приводится к каноническому виду eqref, называется уравнением мнимого эллипса.
  • (F″ = 0). Уравнение имеет вид
    $$
    a^x″^ + c^y″^ = 0.label
    $$
    Ему удовлетворяет только одна точка (x″ = 0), (y″ = 0). Уравнение, приводящееся к каноническому виду eqref, называется уравнением пары мнимых пересекающихся прямых. Основанием для этого названия служит сходство с приведенным ниже уравнением eqref.
  • Случай A’C’ Определение.

    Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением eqref, называется гиперболой, уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат — ее канонической системой координат.

    Случай (A’C’ = 0).

    Допустим теперь, что (A’C’ = 0), и, следовательно, один из коэффициентов (A’) или (C’) равен нулю. В случае необходимости, делая замену eqref, мы можем считать, что (A’ = 0). При этом (C neq 0), так как иначе порядок уравнения был бы меньше двух. Используя утверждение 1, мы приведем уравнение к виду
    $$
    C’y″^ + 2D’x″ + F″ = 0.nonumber
    $$

    Пусть (D’ neq 0). Сгруппируем члены следующим образом:
    $$
    C’y″^ + 2D’left(x″ + fracright) = 0.nonumber
    $$
    Перенесем начало координат вдоль оси абсцисс в соответствии с формулами перехода (x^ = x″ + F″/2D’), (y^ = y″). Тогда уравнение примет вид
    $$
    C″y^ + 2D’x^ = 0,nonumber
    $$
    или
    $$
    y^ = 2px^,label
    $$
    где (p = -D’/C″). Мы можем считать, что (p > 0), так как в противном случае можно сделать дополнительную замену координат, изменяющую направление оси абсцисс: (tilde = -x^), (tilde = y^).

    Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением eqref при условии (p > 0), называется параболой, уравнение называется каноническим уравнением параболы, а система координат — ее канонической системой координат.

    Допустим, что (D’ = 0). Уравнение имеет вид (C’y″^ + F″ = 0). Относительно (F″) есть следующие три возможности.

    1. Если (C’F″ 0) знаки (C’) и (F″) совпадают. Разделив на (C’), приведем уравнение к виду
      $$
      y″^ + a^ = 0.label
      $$
      Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, приводящееся к каноническому виду eqref, называют уравнением пары мнимых параллельных прямых.
    2. Остался последний случай (F″ = 0). После деления на (C’) уравнение принимает вид
      $$
      y″^ = 0.label
      $$
      Это уравнение эквивалентно уравнению (y″ = 0), и потому определяет прямую линию. Уравнение, приводящееся к каноническому виду eqref, называется уравнением пары совпавших прямых.

    Теперь мы можем объединить всё вместе.

    Пусть в декартовой системе координат задано уравнение второго порядка eqref.

    Тогда существует такая декартова прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов:

    1. Уравнение эллипса.
      $$
      frac<x^><a^> + frac<y^><b^> = 1;nonumber
      $$
    2. Мнимый эллипс. Данному уравнению не удовлетворяет ни одна точка.
      $$
      frac<x^><a^> + frac<y^><b^> = -1;nonumber
      $$
    3. Уравнение пары мнимых пересекающихся прямых (точка).
      $$
      a^x^ + c^y^ = 0;nonumber
      $$
    4. Уравнение гиперболы.
      $$
      frac<x^><a^>-frac<y^><b^> = 1;nonumber
      $$
    5. Пересекающиеся прямые.
      $$
      a^x^-c^y^ = 0;nonumber
      $$
    6. Уравнение параболы.
      $$
      y^ = 2px;nonumber
      $$
    7. Пара параллельных прямых.
      $$
      y^-a^ = 0;nonumber
      $$
    8. Пара мнимых параллельных прямых. Данному уравнению не удовлетворяет ни одна точка.
      $$
      y^ + a^ = 0;nonumber
      $$
    9. Прямая (пара совпавших прямых).
      $$
      y^ = 0.nonumber
      $$

    Видео:Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

    Лекция 31.1. Кривые второго порядка. Эллипс

    Кривые второго порядка

    Видео:Кривые второго порядкаСкачать

    Кривые второго порядка

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    Видео:Математика это не ИсламСкачать

    Математика это не Ислам

    Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

    Видео:Кривые второго порядка. Парабола. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

    Кривые второго порядка. Парабола. Приведение к каноническому виду и чертеж

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

    §31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

    Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах — при вторых степенях одновременно не нули.

    Видео:Кривые 2 порядка ПрактикаСкачать

    Кривые 2 порядка  Практика

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    или можно встретить следующую форму записи:

    Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

    Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

    Покажем на примере определение значений коэффициентов.

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    Рассмотрим кривую второго порядка:

    Видео:5.2 Кривые второго порядкаСкачать

    5.2 Кривые второго порядка

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    Вычислим определитель из коэффициентов:

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

    если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

    если Δ F1 и F2 — фокусы.

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    с — фокальное расстояние,

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    2а — большая ось эллипса, 2b — малая ось эллипса.

    а — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса.

    Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x0;y0), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    Эксцентриситет — число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси:

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

    Гипербола — множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    с — фокальное расстояние,

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

    Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    x — действительная ось, y — мнимая ось.

    а — действительная полуось, b — мнимая полуось.

    Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x0;y0), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    Эксцентриситет гиперболы — число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

    Директриса гиперболы — прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

    f1 — правая директриса, f2 — левая директриса.

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    Порядок построения гиперболы :

    1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    2. Провести асимптоты гиперболы — диагонали построенного прямоугольника.

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых

    3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0).

    Кривые второго порядка пара параллельных прямых
    Кривые второго порядка пара параллельных прямыхКривые второго порядка пара параллельных прямых

    Парабола — множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

    F — фокус параболы, f — директриса параболы.

    🎬 Видео

    Практическое занятие: кривые второго порядка. Свинцов Михаил Викторович.Скачать

    Практическое занятие: кривые второго порядка. Свинцов Михаил Викторович.

    Семинар 6. Приведение уравнения кривой II порядка к каноническому видуСкачать

    Семинар 6. Приведение уравнения кривой II порядка к каноническому виду

    10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

    10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

    Лекция. Гиперболоиды, параболоиды, конус. Исследование методом сечений.Скачать

    Лекция. Гиперболоиды, параболоиды, конус. Исследование методом сечений.

    Приводим уравнение кривой 2 порядка к каноническому видуСкачать

    Приводим уравнение кривой 2 порядка  к каноническому виду
    Поделиться или сохранить к себе: