Координаты центра масс окружности (3 видео)

iSopromat.ru

Формулы для расчета координат положения центра тяжести треугольника, дуги окружности и кругового сегмента.

Содержание

Центр тяжести треугольника
Центр тяжести дуги окружности
Центр тяжести кругового сектора
Как найти координаты центра масс
Сущность понятия «центр масс»
Нахождение координат центра масс
Готовые работы на аналогичную тему
Определение центра масс
Радиус-вектор и координаты центра масс
Скорость центра масс
Примеры задач на определение центра масс
🔍 Видео

Видео:Координаты центра тяжести пластиныСкачать

Центр тяжести треугольника

Центр тяжести площади треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан (рисунок 1.10, а).

Видео:координаты центра тяжести треугольникаСкачать

Центр тяжести дуги окружности

Дуга имеет ось симметрии (рисунок 1.10, б). Центр тяжести лежит на этой оси, т.е. y_C = 0.

dl – элемент дуги, dl = Rdφ, R – радиус окружности, x = Rcosφ, L = 2αR,

Видео:Найти центр и радиус окружностиСкачать

Центр тяжести кругового сектора

Сектор радиуса R с центральным углом 2α имеет ось симметрии Ox, на которой находится центр тяжести (рисунок 1.10, в).

Разбиваем сектор на элементарные секторы, которые можно считать треугольниками. Центры тяжести элементарных секторов располагаются на дуге окружности радиуса (2/3)R.

Центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги AB:

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Видео:Определение центра тяжести сложной фигуры. СопроматСкачать

Как найти координаты центра масс

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:Видеоурок 3. Определение центра тяжести.Скачать

Сущность понятия «центр масс»

Понятие «центр масс» широко используется в физике для решения задач, связанных с движением тел. Например, математический маятник удобно представить себе как подвешенное на нити тело, вся масса которого сконцентрирована в единой точке. В законе всемирного тяготения тоже речь идет о расстоянии не между телами, а между центрами тел, под каковыми подразумеваются именно центры масс, а не геометрические центры.

Центр масс — точка, характеризующая размещение и движение исследуемой системы как единого целого.

Признаком центра масс является то, что если тело подвесить, закрепив за эту точку, оно останется в покое, т.е. не будет раскачиваться или вращаться относительно этого центра. В простейшем случае, если речь идет о симметричном теле с равномерной плотностью, центр масс находится на пересечении осей симметрии рассматриваемого тела. Например, если взять линейку длиной 30 см, то ее центр масс будет расположен на отметке «15 см». Подложив карандаш под эту отметку, легко привести линейку в положение равновесия.

На практике далеко не все тела, центр масс которых нужно найти, являются симметричными и однородными по плотности. Более того, многие исследуемые объекты представляют собой системы из нескольких тел с различными геометрическими и химическими характеристиками. Для расчетов их разбивают на элементарные фрагменты и производят вычисления поэтапно.

Видео:Определение центра тяжести плоской фигуры. Подробное объяснение. Сопромат для чайниковСкачать

Нахождение координат центра масс

Центр масс двух тел с точечными массами $m_1$ и $m_2$ и координатами на координатной прямой $x_1$ и $x_2$ находится в точке, делящей расстояние между этими телами на отрезки с длинами обратно пропорциональными массам рассматриваемых тел.

Отсюда следует, что чем массивнее тело в такой элементарной системе, тем ближе оно к общему центру масс.

Расстояние между точечными телами равно:

$Delta x = x_2 — x_1$

Пропорция между массами и расстояниями, согласно определению:

Готовые работы на аналогичную тему

где $l_1$, $l_2$ — расстояния от соответствующих тел до центра масс.

Выразив, длины через координаты

$l_1 = x_c — x_1; l_2 = x_2 — x_c$,

центр масс можно определить как

где $x_c$ — координата центра тяжести.

Разложив любую сложную систему на множество элементарных тел с точечными массами, можно обобщить изложенный принцип в виде формулы (для оси абсцисс):

В большинстве случаев центр масс требуется найти не на координатной прямой, а в двух- или трехмерной системе координат. Для дополнительных осей координаты центра масс ($y_c$, $z_c$) находят по аналогичному принципу.

Центр тяжести системы тел представляет собой точку, подобную центру масс, но рассчитывается не для масс, а для весов (обусловленных гравитацией сил), действующих на точечные тела, входящие в систему. Центр тяжести определяется так же, как и центр масс, если размеры системы малы в сравнении с радиусом планеты Земля. Он в большинстве случаев с достаточной для практики точностью совпадает с центром масс рассматриваемой системы.

Найти центр масс двух линеек, изготовленных из одинакового материала, одинаковой толщины и ширины, левые концы линеек совмещены. Длины линеек — 10 и 30 см. Толщиной линеек можно пренебречь.

Поскольку толщиной можно пренебречь, найти нужно лишь координату центра масс по оси $x$.

Разобьем мысленно систему на два отрезка. Первый — где толщина линеек складывается. Его координаты — $[0, 10]$. Второй отрезок — где длинная линейка продолжается одна. Его координаты — $[10, 30]$. Примем за единицу измерения массу одного погонного сантиметра линейки. Тогда масса второго фрагмента:

$m_2 = 30 — 10 = 20$

На каждый сантиметр первого фрагмента приходится вдвое больше массы, поскольку там сложены две линейки:

$m_1 = 10 cdot 2 = 20$

Центры масс отрезков находятся на их осях симметрии, т.е. на середине длины каждого:

Подставим значения в формулу:

Ответ: центр масс находится на расстоянии 12,5 см от левого конца системы линеек.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 12 04 2022

Видео:Урок 79. Центр масс тела и методы определения его положенияСкачать

Определение центра масс

При исследовании поведения систем частиц, часто удобно использовать для описания движения такую точку, которая характеризует положение и движение рассматриваемой системы как единого целого. Такой точкой служит центр масс.

Для однородных тел обладающих симметрией центр масс часто совпадает с геометрическим центром тела. В однородном изотропном теле одной выделенной точке найдется симметричная ей точка.

Видео:начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать

Радиус-вектор и координаты центра масс

Предположим, что у нас имеются две частицы с равными массами, им соответствуют радиус-векторы: $<overline>_1 и <overline>_2$ . В этом случае центр масс расположен посередине между частицами. Центр масс (точка C) определён радиус-вектором $<overline>_C$ (рис.1).

Из рис.1 видно, что:

Можно ожидать, что вместе с геометрическим центром системы радиус-вектор, которого равен $<overline>_C,$ играет роль точка, положение которой определяет распределение массы. Ее определяют так, чтобы вклад каждой частицы был пропорционален ее массе:

Радиус -вектор $<overline>_C$, определенный выражением (2) — средне взвешенная величина радиус-векторов частиц $<overline>_1$ и $<overline>_2$. Это становится очевидным, если формулу (2) представить в виде:

Выражение (3) показывает, что радиус-вектор каждой частицы входит в $<overline>_C$ с весом, который пропорционален его массе.

Выражение (3) легко обобщается для множества материальных точек, которые расположены произвольным образом.

Если положения N материальных точек системы задано при помощи их радиус-векторов, то радиус — вектор, определяющий положение центра масс находим как:

Выражение (4) считают определением центра масс системы.

При этом абсцисса центра масс равна:

Ордината ($y_c$) центра масс и его аппликата ($z_c$):

Формулы (4-7) совпадают с формулами, которые используют для определения тяжести тела. В том случае, если размеры тела малы в сравнении с расстоянием до центра Земли, центр тяжести считают совпадающим с центром масс тела. В большинстве задач центр тяжести совпадает с центром масс тела.

Видео:Центр массСкачать

Скорость центра масс

Выражение для скорости центра масс ($<overline>_c=frac<d<overline>_c>

$) запишем как:

где $overline

$ — суммарный импульс системы частиц; $M$ масса системы. Выражение (8) справедливо при движениях со скоростями которые существенно меньше скорости света.

Если система частиц является замкнутой, то сумма импульсов ее частей не изменяется. Следовательно, скорость центра масс при этом величина постоянная. Говорят, что центр масс замкнутой системы перемещается по инерции, то есть прямолинейно и равномерно, и это движение не зависимо от движения составных частей системы. В замкнутой системе могут действовать внутренние силы, в результате их действия части системы могут иметь ускорения. Но это не оказывает влияния на движение центра масс. Под действием внутренних сил скорость центра масс не изменяется.

Видео:Как найти центр тяжести любой фигуры?Скачать

Примеры задач на определение центра масс

Задание. Система составлена из материальных точек (рис.2), запишите координаты ее центра масс?

Решение. Рассмотрим рис.2. Центр масс системы лежит на плоскости, значит, у него две координаты ($x_c,y_c$). Найдем их используя формулы:

Вычислим массу рассматриваемой системы точек:

Тогда абсцисса центра масс $x_ $равна:

Ответ. $x_c=0,5 b$; $y_с=0,3 b$

Задание. Космонавт, имеющий массу $m$, неподвижен относительно корабля массы $M$. Двигатель космического аппарата выключен. Человек начинает подтягиваться к кораблю при помощи легкого троса. Какое расстояние пройдет космонавт ($s_1$), какое корабль ($s_2$) до точки встречи? В начальный момент расстояние между ними равно $s$.

Решение. Центр масс корабля и космонавта лежит на прямой, соединяющей эти объекты.

В космосе, где внешние силы отсутствуют, центр масс замкнутой системы (корабль-космонавт) либо покоится, либо движется с постоянной скоростью. В избранной нами (инерциальной) системе отсчета он покоится. При этом: