Параллельные прямые и углы в чертежах (6 видео)

51. Планиметрия Читать 0 мин.

Содержание

51.65. Углы и параллельные прямые
Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы
Геометрия. 7 класс
📸 Видео

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

51.65. Углы и параллельные прямые

Взаимное расположение прямых:

Прямые пересекаются, у них есть одна общая точка.
Прямые не пересекаются, у них нет общих точек. Такие прямые называются параллельными.

При пересечении двух прямых образуются вертикальные и смежные углы.

Вертикальные углы — равны.

Сумма смежных углов равна 180°.

Параллельные прямые

Прямые называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их не продолжать.

О параллельных прямых:

Если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то все прямые параллельны между собой.
На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются следующие углы:

внутренние накрест лежащие (4 и 5, 3 и 6) — попарно равны;
внешние накрест лежащие (1 и 8, 2 и 7) — попарно равны;
соответственные (1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8) — попарно равны;
внутренние односторонние (3 и 5, 4 и 6) — сумма таких углов равна 180°;
внешние односторонние (1 и 7, 2 и 8) — сумма таких углов равна 180°.

Часто для использования свойств углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых секущей, необходимо применять дополнительные построения.

Пример: Даны углы с попарно параллельными сторонами. Что можно сказать об углах 1 и 2? Что можно сказать об углах 3 и 4?

Продолжим стороны углов до пересечения:

Получаем, что углы 1 и 2 равны, т. к. являются накрест лежащими при параллельных прямых.

Сумма углов 3 и 4 равна 180°, т. к. они являются односторонними при параллельных прямых.

Теорема Фалеса: При пересечении сторон угла параллельными прямыми стороны угла делятся на пропорциональные отрезки (образуются подобные треугольники).

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Формулировка определения параллельных прямых.
Изображение параллельных прямых различными методами.
Как распознать на чертежах параллельные прямые?
Нахождение на рисунке пары накрест лежащих односторонних углов.

Параллельные прямые – две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Параллельные отрезки – два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Параллельные лучи – два луча называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже знаете, что на плоскости бывают пересекающиеся и непересекающиеся прямые, вы знаете, как их строить на чертеже. Теперь давайте рассмотрим прямые, которые называются параллельными, и научимся их строить различными способами.

Для начала дадим определение параллельным прямым.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Параллельные прямые имеют своё обозначение: a ║ b.

Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные прямой c. Ранее мы выяснили, что такие прямые не пересекаются, следовательно, прямые а и b параллельны.

Очень часто рассматриваются не только параллельные прямые, но и параллельные отрезки.

Дадим им определение.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Два луча называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Рассмотрим прямую с, пересекающую прямые а и b.

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них.

Как видно из рисунка, при пересечении прямых а и b секущей c образуются 8 углов. Пронумеруем полученные углы.

Оказывается, некоторые пары образованных углов имеют свои названия.

Так, например, углы 3 и 5, 4 и 6 ‑ называются накрест лежащие углы.

Углы 4 и 5 или 3 и 6 ‑ называются односторонними углами.

А пары углов 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6 или 3 и 7 ‑ называются соответственными углами.

Как же можно построить параллельные прямые?

Для построения параллельных прямых существует несколько способов построения с помощью различных чертёжных инструментов. Рассмотрим построение параллельных прямых с помощью чертёжного угольника и линейки.

Построим прямую b, проходящую через точку M и параллельную данной прямой а.

Приложим чертёжный угольник к прямой а, к нему приложим линейку. Теперь передвинем угольник вдоль линейки так, чтобы точка M оказалась на стороне угольника, остается провести прямую b. Прямые а и b будут параллельны, на основе признаков параллельности двух прямых, которые будут изучены позднее.

Материал для углублённого изучения темы

Другие способы построения параллельных прямых.

Рассмотрим ещё два способа построения параллельных прямых с помощью чертёжных инструментов.

В чертёжной практике очень часто используется способ построения параллельных прямых с помощью рейсшины.

При выполнении столярных работ, для разметки параллельных прямых используется ещё один инструмент – малка, который представляет собой две планки, скреплённые шарниром.

При нанесении параллельных рисок можно использовать рейсмус, который представляет собой деревянную заготовку с двумя регулируемыми брусками, на концах который прикреплены для нанесения рисок иглы или гвозди.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Один из односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей на 40º меньше другого. Найдите меньший угол, если известно, что сумма односторонних углов равна 180°.

Пусть х – меньший из односторонних углов, тогда больший равен х + 40. Т. к. сумма односторонних углов по условию равна 180°, составим уравнение.

х = 70° – градусная мера меньшего угла.

№ 2. Через параллельные прямые а и m проведены секущие АК и КР так, как показано на рисунке. КО = ВК = АК, при этом АК = КР = 9 см, отрезок ВО =АР, АР = 6 см. На сколько сантиметров периметр ∆ВОК меньше периметра ∆АКР?