Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.
Сегмент круга
Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота
Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:
Формулы вычисления параметров сегмента
Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:
Видео:Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать
Как найти координаты точек на дуге зная координаты точек хорды?
Добрый день, спасибо за ответ.
Допустим, есть точки А(15,5), В(190,40) и радиус 300.
Тогда d = sqrt(300^2 — (190 — 15)^2 — (40 — 5)^2) = 241
Середина отрезка (x3, y3) = ((190 — 15)/2, (40 — 5)/2) = (87.5, 17.5)
|AB| = sqrt((190 — 15)^2 + (40 — 5)^2) = 178.5
Тогда направляющий вектор (x4, y4) = ((190 — 15)/178.5, (40 — 5)/178.5) = (0.98, 0.2)
Возьмем один вариант центра (x0, y0) = (87.5 + 241 * 0.2, 17.5 — 241 * 0.98) = (135.7, -218.7)
А что дальше, не понимаю. Подскажите плиз.
Итак, я уже записал, что d ≈ 286,4.
Середина отрезка (x3, y3) = ((190 + 15)/2, (40 + 5)/2) = (102,5, 22,5)
|AB| = sqrt((190 − 15)² + (40 − 5)²) = 178,5
КОНТРОЛЬ: 286,4² + 178,5²/4 = 300,0
(x4, y4) = (0,980, 0,196).
(x0, y0) = (102,5 + 286,4·0,196; 22,5 − 286,4·0,980) = (158,7, −258,1)
КОНТРОЛЬ: расстояние между точками:
(15 − 158,7)² + (5 + 258,1)² ≈ 299,8²
(190 − 158,7)² + (40 + 258,1)² ≈ 299,7²
Поскольку мы пошли вправо (в распространённой в математике правой системе координат; в компьютерах чаще используют левую) от вектора AB и нам нужна меньшая из двух дуг, в порядке увеличения полярного угла будет сначала B, потом A. (Пошли бы влево — было бы наоборот.) Радиус-векторы:
OB = (190 − 158,7; 40 + 258,1) = (31,3; 298,1)
OA = (15 − 158,7; 5 + 258,1) = (−143,7; 263,1)
atan2 соответствующих векторов: 84,0° и 118,6°. (Простите, считаю на эмуляторе МК-61, так что пусть будет в градусах.) Никакого упорядочивания не требуется. Разница 34,6°.
Промежуточные углы: 92,65°; 101,3°; 109,95°.
Возьмём, например, первую точку:
(158,7 + 300·cos 92,65°; −258,1 + 300·sin 92,65°) = (144,8, 41,6).
КОНТРОЛЬ: расстояние между точками:
(144,8 − 158,7)² + (41,6 + 258,1)² ≈ 300,0²
Видео:Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать
Геометрия круга
Круг, его части, их размеры и соотношения — вещи, с которыми ювелир постоянно сталкивается. Кольца, браслеты, касты, трубки, шары, спирали — много всего круглого приходится делать. Как же всё это посчитать, особенно если тебе посчастливилось в школе прогулять уроки геометрии.
Давайте сначала рассмотрим, какие у круга бывают части и как они называются.
- Окружность — линия, ограничивающая круг.
- Дуга — часть окружности.
- Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с какой-либо точкой окружности.
- Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
- Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
- Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.
Интересующие нас величины и их обозначения:
- R — радиус круга (здесь «радиус» — это уже не отрезок, а его длина);
- D — диаметр круга — двойной радиус;
- C — длина окружности;
- L — длина дуги;
- X — длина хорды;
- H — высота сегмента;
- φ — центральный угол — угол между двумя радиусами;
- — площадь круга;
- — площадь сектора;
- — площадь сегмента.
Теперь посмотрим, какие задачи, связанные с частями круга, приходится решать.
- Найти длину развертки какой-либо части кольца (браслета). Задан диаметр и хорда (вариант: диаметр и центральный угол), найти длину дуги.
- Есть рисунок на плоскости, надо узнать его размер в проекции после сгибания в дугу. Заданы длина дуги и диаметр, найти длину хорды.
- Узнать высоту детали, полученной сгибанием плоской заготовки в дугу. Варианты исходных данных: длина дуги и диаметр, длина дуги и хорда; найти высоту сегмента.
Жизнь подскажет и другие примеры, а эти я привел только для того, чтобы показать необходимость задания каких-нибудь двух параметров для нахождения всех остальных. Вот этим мы и займемся. А именно, возьмем пять параметров сегмента: D, L, X, φ и H. Затем, выбирая из них все возможные пары, будем считать их исходными данными и путем мозгового штурма находить все остальные.
Чтобы зря не грузить читателя, подробных решений я приводить не буду, а приведу лишь результаты в виде формул (те случаи, где нет формального решения, я оговорю по ходу дела).
И еще одно замечание: о единицах измерения. Все величины, кроме центрального угла, измеряются в одних и тех же абстрактных единицах. Это значит, что если, к примеру, вы задаёте одну величину в миллиметрах, то другую не надо задавать в сантиметрах, а результирующие значения будут измеряться в тех же миллиметрах (а площади — в квадратных миллиметрах). То же самое можно сказать и про дюймы, футы и морские мили.
И только центральный угол во всех случаях измеряется в градусах и ни в чём другом. Потому что, как показывает практика, люди, проектирующие что-нибудь круглое, не склонны измерять углы в радианах. Фраза «угол пи на четыре» многих ставит в тупик, тогда как «угол сорок пять градусов» — понятна всем, так как это всего на пять градусов выше нормы. Однако, во всех формулах будет присутствовать в качестве промежуточной величины еще один угол — α. По смыслу это половина центрального угла, измеренная в радианах, но в этот смысл можно спокойно не вникать.
1. Даны диаметр D и длина дуги L
; длина хорды ;
высота сегмента ; центральный угол .
2. Даны диаметр D и длина хорды X
; длина дуги ;
высота сегмента ; центральный угол .
Поскольку хорда делит круг на два сегмента, у этой задачи не одно, а два решения. Чтобы получить второе, нужно в приведенных выше формулах заменить угол α на угол .
3. Даны диаметр D и центральный угол φ
; длина дуги ;
длина хорды ; высота сегмента .
4. Даны диаметр D и высота сегмента H
; длина дуги ;
длина хорды ; центральный угол .
6. Даны длина дуги L и центральный угол φ
; диаметр ;
длина хорды ; высота сегмента .
8. Даны длина хорды X и центральный угол φ
; длина дуги ;
диаметр ; высота сегмента .
9. Даны длина хорды X и высота сегмента H
; длина дуги ;
диаметр ; центральный угол .
10. Даны центральный угол φ и высота сегмента H
; диаметр ;
длина дуги ; длина хорды .
Внимательный читатель не мог не заметить, что я пропустил два варианта:
5. Даны длина дуги L и длина хорды X
7. Даны длина дуги L и высота сегмента H
Это как раз те два неприятных случая, когда у задачи нет решения, которое можно было бы записать в виде формулы. А задача-то не такая уж редкая. Например, у вас есть плоская заготовка длины L, и вы хотите согнуть ее так, чтобы ее длина стала X (или высота стала H). Какого диаметра взять оправку (ригель)?
Задача эта сводится к решению уравнений:
; — в варианте 5
; — в варианте 7
и хоть они и не решаются аналитически, зато легко решаются программным способом. И я даже знаю, где взять такую программу: на этом самом сайте, под именем Segment. Всё то, что я тут длинно рассказываю, она делает за микросекунды.
Для полноты картины добавим к результатам наших вычислений длину окружности и три значения площадей — круга, сектора и сегмента. (Площади нам очень помогут при вычислении массы всяких круглых и полукруглых деталей, но об этом — в отдельной статье.) Все эти величины вычисляются по одним и тем же формулам:
длина окружности ;
площадь круга ;
площадь сектора ;
площадь сегмента ;
И в заключение еще раз напомню о существовании абсолютно бесплатной программы, которая выполняет все перечисленные вычисления, освобождая вас от необходимости вспоминать, что такое арктангенс и где его искать.
🌟 Видео
Координаты точек на числовой окружности. Алгебра 10 класс.Скачать
Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать
Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать
10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать
Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать
Координаты точек на числовой окружности, часть 5. Алгебра 10 класс.Скачать
Окружность. 7 класс.Скачать
Решение задач по теме "Поворот точки вокруг начала координат"Скачать
Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать
Найти координаты точки единичной окружности полученной при повороте точки Ро(1;0) на угол π, 450°...Скачать
Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Координаты точек на числовой окружности, часть 2. Алгебра 10 класс.Скачать
Как Найти Радиус Сегмента на Потолке. Радиус Окружности По Хорде И Высоте СегментаСкачать
"Парадоксальное" среднее расстояние между точками на окружностиСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Задача на нахождение длины хорды окружностиСкачать
10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскостиСкачать