Координаты точки окружности по хорде

Сегмент круга

Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.

Координаты точки окружности по хордеСегмент круга

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:

Видео:Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать

Как найти координаты точек на тригонометрической окружности

Как найти координаты точек на дуге зная координаты точек хорды?

Координаты точки окружности по хорде

Добрый день, спасибо за ответ.
Допустим, есть точки А(15,5), В(190,40) и радиус 300.
Тогда d = sqrt(300^2 — (190 — 15)^2 — (40 — 5)^2) = 241
Середина отрезка (x3, y3) = ((190 — 15)/2, (40 — 5)/2) = (87.5, 17.5)
|AB| = sqrt((190 — 15)^2 + (40 — 5)^2) = 178.5
Тогда направляющий вектор (x4, y4) = ((190 — 15)/178.5, (40 — 5)/178.5) = (0.98, 0.2)
Возьмем один вариант центра (x0, y0) = (87.5 + 241 * 0.2, 17.5 — 241 * 0.98) = (135.7, -218.7)

А что дальше, не понимаю. Подскажите плиз.

Координаты точки окружности по хорде

Координаты точки окружности по хорде

Итак, я уже записал, что d ≈ 286,4.
Середина отрезка (x3, y3) = ((190 + 15)/2, (40 + 5)/2) = (102,5, 22,5)
|AB| = sqrt((190 − 15)² + (40 − 5)²) = 178,5

КОНТРОЛЬ: 286,4² + 178,5²/4 = 300,0

(x4, y4) = (0,980, 0,196).
(x0, y0) = (102,5 + 286,4·0,196; 22,5 − 286,4·0,980) = (158,7, −258,1)

КОНТРОЛЬ: расстояние между точками:
(15 − 158,7)² + (5 + 258,1)² ≈ 299,8²
(190 − 158,7)² + (40 + 258,1)² ≈ 299,7²

Поскольку мы пошли вправо (в распространённой в математике правой системе координат; в компьютерах чаще используют левую) от вектора AB и нам нужна меньшая из двух дуг, в порядке увеличения полярного угла будет сначала B, потом A. (Пошли бы влево — было бы наоборот.) Радиус-векторы:
OB = (190 − 158,7; 40 + 258,1) = (31,3; 298,1)
OA = (15 − 158,7; 5 + 258,1) = (−143,7; 263,1)
atan2 соответствующих векторов: 84,0° и 118,6°. (Простите, считаю на эмуляторе МК-61, так что пусть будет в градусах.) Никакого упорядочивания не требуется. Разница 34,6°.
Промежуточные углы: 92,65°; 101,3°; 109,95°.

Возьмём, например, первую точку:
(158,7 + 300·cos 92,65°; −258,1 + 300·sin 92,65°) = (144,8, 41,6).

КОНТРОЛЬ: расстояние между точками:
(144,8 − 158,7)² + (41,6 + 258,1)² ≈ 300,0²

Видео:Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать

Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат Лекция

Геометрия круга

Круг, его части, их размеры и соотношения — вещи, с которыми ювелир постоянно сталкивается. Кольца, браслеты, касты, трубки, шары, спирали — много всего круглого приходится делать. Как же всё это посчитать, особенно если тебе посчастливилось в школе прогулять уроки геометрии.

Давайте сначала рассмотрим, какие у круга бывают части и как они называются.Координаты точки окружности по хорде

  • Окружность — линия, ограничивающая круг.
  • Дуга — часть окружности.
  • Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с какой-либо точкой окружности.
  • Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
  • Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
  • Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.

Интересующие нас величины и их обозначения:

  • R — радиус круга (здесь «радиус» — это уже не отрезок, а его длина);Координаты точки окружности по хорде
  • D — диаметр круга — двойной радиус;
  • C — длина окружности;
  • L — длина дуги;
  • X — длина хорды;
  • H — высота сегмента;
  • φ — центральный угол — угол между двумя радиусами;
  • Координаты точки окружности по хорде— площадь круга;
  • Координаты точки окружности по хорде— площадь сектора;
  • Координаты точки окружности по хорде— площадь сегмента.

Теперь посмотрим, какие задачи, связанные с частями круга, приходится решать.

  • Найти длину развертки какой-либо части кольца (браслета). Задан диаметр и хорда (вариант: диаметр и центральный угол), найти длину дуги.
  • Есть рисунок на плоскости, надо узнать его размер в проекции после сгибания в дугу. Заданы длина дуги и диаметр, найти длину хорды.
  • Узнать высоту детали, полученной сгибанием плоской заготовки в дугу. Варианты исходных данных: длина дуги и диаметр, длина дуги и хорда; найти высоту сегмента.

Жизнь подскажет и другие примеры, а эти я привел только для того, чтобы показать необходимость задания каких-нибудь двух параметров для нахождения всех остальных. Вот этим мы и займемся. А именно, возьмем пять параметров сегмента: D, L, X, φ и H. Затем, выбирая из них все возможные пары, будем считать их исходными данными и путем мозгового штурма находить все остальные.

Чтобы зря не грузить читателя, подробных решений я приводить не буду, а приведу лишь результаты в виде формул (те случаи, где нет формального решения, я оговорю по ходу дела).

И еще одно замечание: о единицах измерения. Все величины, кроме центрального угла, измеряются в одних и тех же абстрактных единицах. Это значит, что если, к примеру, вы задаёте одну величину в миллиметрах, то другую не надо задавать в сантиметрах, а результирующие значения будут измеряться в тех же миллиметрах (а площади — в квадратных миллиметрах). То же самое можно сказать и про дюймы, футы и морские мили.

И только центральный угол во всех случаях измеряется в градусах и ни в чём другом. Потому что, как показывает практика, люди, проектирующие что-нибудь круглое, не склонны измерять углы в радианах. Фраза «угол пи на четыре» многих ставит в тупик, тогда как «угол сорок пять градусов» — понятна всем, так как это всего на пять градусов выше нормы. Однако, во всех формулах будет присутствовать в качестве промежуточной величины еще один угол — α. По смыслу это половина центрального угла, измеренная в радианах, но в этот смысл можно спокойно не вникать.

1. Даны диаметр D и длина дуги L

Координаты точки окружности по хорде; длина хорды Координаты точки окружности по хорде;
высота сегмента Координаты точки окружности по хорде; центральный угол Координаты точки окружности по хорде.

2. Даны диаметр D и длина хорды X

Координаты точки окружности по хорде; длина дуги Координаты точки окружности по хорде;
высота сегмента Координаты точки окружности по хорде; центральный угол Координаты точки окружности по хорде.

Поскольку хорда делит круг на два сегмента, у этой задачи не одно, а два решения. Чтобы получить второе, нужно в приведенных выше формулах заменить угол α на угол Координаты точки окружности по хорде.

3. Даны диаметр D и центральный угол φ

Координаты точки окружности по хорде; длина дуги Координаты точки окружности по хорде;
длина хорды Координаты точки окружности по хорде; высота сегмента Координаты точки окружности по хорде.

4. Даны диаметр D и высота сегмента H

Координаты точки окружности по хорде; длина дуги Координаты точки окружности по хорде;
длина хорды Координаты точки окружности по хорде; центральный угол Координаты точки окружности по хорде.

6. Даны длина дуги L и центральный угол φ

Координаты точки окружности по хорде; диаметр Координаты точки окружности по хорде;
длина хорды Координаты точки окружности по хорде; высота сегмента Координаты точки окружности по хорде.

8. Даны длина хорды X и центральный угол φ

Координаты точки окружности по хорде; длина дуги Координаты точки окружности по хорде;
диаметр Координаты точки окружности по хорде; высота сегмента Координаты точки окружности по хорде.

9. Даны длина хорды X и высота сегмента H

Координаты точки окружности по хорде; длина дуги Координаты точки окружности по хорде;
диаметр Координаты точки окружности по хорде; центральный угол Координаты точки окружности по хорде.

10. Даны центральный угол φ и высота сегмента H

Координаты точки окружности по хорде; диаметр Координаты точки окружности по хорде;
длина дуги Координаты точки окружности по хорде; длина хорды Координаты точки окружности по хорде.

Внимательный читатель не мог не заметить, что я пропустил два варианта:

5. Даны длина дуги L и длина хорды X
7. Даны длина дуги L и высота сегмента H

Это как раз те два неприятных случая, когда у задачи нет решения, которое можно было бы записать в виде формулы. А задача-то не такая уж редкая. Например, у вас есть плоская заготовка длины L, и вы хотите согнуть ее так, чтобы ее длина стала X (или высота стала H). Какого диаметра взять оправку (ригель)?

Задача эта сводится к решению уравнений:
Координаты точки окружности по хорде; — в варианте 5
Координаты точки окружности по хорде; — в варианте 7
и хоть они и не решаются аналитически, зато легко решаются программным способом. И я даже знаю, где взять такую программу: на этом самом сайте, под именем Segment. Всё то, что я тут длинно рассказываю, она делает за микросекунды.

Для полноты картины добавим к результатам наших вычислений длину окружности и три значения площадей — круга, сектора и сегмента. (Площади нам очень помогут при вычислении массы всяких круглых и полукруглых деталей, но об этом — в отдельной статье.) Все эти величины вычисляются по одним и тем же формулам:

длина окружности Координаты точки окружности по хорде;
площадь круга Координаты точки окружности по хорде;
площадь сектора Координаты точки окружности по хорде;
площадь сегмента Координаты точки окружности по хорде;

И в заключение еще раз напомню о существовании абсолютно бесплатной программы, которая выполняет все перечисленные вычисления, освобождая вас от необходимости вспоминать, что такое арктангенс и где его искать.

🌟 Видео

Координаты точек на числовой окружности. Алгебра 10 класс.Скачать

Координаты точек на числовой окружности. Алгебра 10 класс.

Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Координаты точек на числовой окружности, часть 5. Алгебра 10 класс.Скачать

Координаты точек на числовой окружности, часть 5. Алгебра 10 класс.

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Решение задач по теме "Поворот точки вокруг начала координат"Скачать

Решение задач по теме "Поворот точки вокруг начала координат"

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Найти координаты точки единичной окружности полученной при повороте точки Ро(1;0) на угол π, 450°...Скачать

Найти координаты точки единичной окружности полученной при повороте точки Ро(1;0) на угол π, 450°...

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Координаты точек на числовой окружности, часть 2. Алгебра 10 класс.Скачать

Координаты точек на числовой окружности, часть 2. Алгебра 10 класс.

Как Найти Радиус Сегмента на Потолке. Радиус Окружности По Хорде И Высоте СегментаСкачать

Как Найти Радиус Сегмента на Потолке. Радиус Окружности По Хорде И Высоте Сегмента

"Парадоксальное" среднее расстояние между точками на окружностиСкачать

"Парадоксальное" среднее расстояние между точками на окружности

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Задача на нахождение длины хорды окружностиСкачать

Задача на нахождение длины хорды окружности

10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскостиСкачать

10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскости
Поделиться или сохранить к себе: