Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Касательная и секущая проходящая через центр окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Касательная и секущая проходящая через центр окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Касательная и секущая проходящая через центр окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Касательная и секущая проходящая через центр окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Касательная и секущая проходящая через центр окружностиТеорема о бабочке

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Видео:Касательная и секущая к окружности.Скачать

Касательная и секущая к окружности.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьКасательная и секущая проходящая через центр окружности
КругКасательная и секущая проходящая через центр окружности
РадиусКасательная и секущая проходящая через центр окружности
ХордаКасательная и секущая проходящая через центр окружности
ДиаметрКасательная и секущая проходящая через центр окружности
КасательнаяКасательная и секущая проходящая через центр окружности
СекущаяКасательная и секущая проходящая через центр окружности
Окружность
Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругКасательная и секущая проходящая через центр окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусКасательная и секущая проходящая через центр окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаКасательная и секущая проходящая через центр окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрКасательная и секущая проходящая через центр окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяКасательная и секущая проходящая через центр окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяКасательная и секущая проходящая через центр окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеКасательная и секущая проходящая через центр окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыКасательная и секущая проходящая через центр окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныКасательная и секущая проходящая через центр окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиКасательная и секущая проходящая через центр окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыКасательная и секущая проходящая через центр окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыКасательная и секущая проходящая через центр окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыКасательная и секущая проходящая через центр окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиКасательная и секущая проходящая через центр окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныКасательная и секущая проходящая через центр окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиКасательная и секущая проходящая через центр окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыКасательная и секущая проходящая через центр окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыКасательная и секущая проходящая через центр окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиКасательная и секущая проходящая через центр окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиКасательная и секущая проходящая через центр окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаКасательная и секущая проходящая через центр окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Пересекающиеся хорды
Касательная и секущая проходящая через центр окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Касательная и секущая проходящая через центр окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Касательная и секущая проходящая через центр окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Касательная и секущая проходящая через центр окружности
Пересекающиеся хорды
Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Видео:Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Тогда справедливо равенство

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27862Скачать

Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27862

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Секущая и касательная. 9 класс.Скачать

Секущая и касательная. 9 класс.

Касательная к окружности

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

О чем эта статья:

Видео:Задание 26 Свойство касательной и секущей Подобные треугольникиСкачать

Задание 26 Свойство касательной и секущей  Подобные треугольники

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:ЗАДАНИЕ 1 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ХОРДА, КАСАТЕЛЬНАЯ И СЕКУЩАЯ.Скачать

ЗАДАНИЕ 1 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ХОРДА, КАСАТЕЛЬНАЯ И СЕКУЩАЯ.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Касательная и секущая проходящая через центр окружности

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Видео:Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27859Скачать

Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27859

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Видео:Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Видео:ОГЭ математика. Задание 16. Окружность. Касательная.Скачать

ОГЭ математика. Задание 16. Окружность. Касательная.

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    📸 Видео

    Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

    Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

    касательная и секущая в окружностиСкачать

    касательная и секущая в окружности

    Касательная, хорда, секущая. ТеорияСкачать

    Касательная, хорда, секущая.  Теория

    Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27858Скачать

    Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27858

    ОГЭ математика 10 минут на подготовку. Задание 16 касательная хорда секущаяСкачать

    ОГЭ математика 10 минут на подготовку. Задание 16 касательная хорда секущая

    №658. Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая ADСкачать

    №658. Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая AD

    ОГЭ за одну минуту | ОГЭ, математика, задание 16 (окружность и касательная)Скачать

    ОГЭ за одну минуту | ОГЭ, математика, задание 16 (окружность и касательная)
    Поделиться или сохранить к себе: