Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Вневписанная окружность треугольника.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Определение.

Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжения двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника.

Теорема 1.

Центр окружности, вневписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис двух внешних и одного внутреннего угла треугольника.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Доказательство.

BF — биссектриса ∠JBG, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.

СF — биссектриса ∠JСH, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.

Следовательно, точка F равноудалена от сторон ∠BAC.

Таким образом, точка F — центр окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AB и AC. По определению данная окружность называется вневписанной окружностью треугольника.

Теорема 2.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой касания вневписанной окружности и противолежащей стороны, делит треугольник на два треугольника равного периметра.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Доказательство.

BJ=BG, GC=CH и AJ=AH (свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности).

PΔABC=AB+ BC +AC=AB+ BG + GC +AC=AB+ BJ + AC +CH=AJ+AH.

Так как AJ=AH, то PΔABC/2=AJ=AH и PΔABC/2+AG=AJ+AG=AH+AG=AB+BG+GA=AC+CG+GA.

Следовательно, отрезок AG поделил треугольник ABC на два треугольника равного периметра PΔABC/2+AG.

Видео:Окружность, радиус которой равен 14, касается одной из сторон треугольника и продолжений двух другихСкачать

Окружность, радиус которой равен 14, касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других

Вневписанные окружности

Теорема 1 . В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Проведём биссектрисы углов DAC и ECA , которые являются внешними углами треугольника ABC . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O . Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC , который является внутренним углом треугольника ABC , не смежным с внешними углами DAC и ECA . С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF , OG и OH на прямые AB , AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC , то справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство

Замечание 1 . В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства

откуда вытекает, что точки F , G и H лежат на одной окружности с центром в точке O .

Определение . Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник , или вневписанной окружностью, если она касается касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Замечание 2 . У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.

Замечание 3 . Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B , а окружность касается стороны b . Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b , и обозначать её радиус символом rb .

Теорема 2 . Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC . Тогда отрезки касательных касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

где a, b, c – стороны треугольника ABC . Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A . Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C . Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B . Отсюда получаем:

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC . Теорема 2 доказана.

Теорема 3 . Радиус вневписанной окружности , касающейся стороны b , вычисляется по формуле

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

где буквой S обозначена площадь треугольника ABC , а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC .

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Следовательно, справедливо равенство

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

что и требовалось доказать.

Следствие . Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC окружностей вычисляются по формулам:

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Теорема 4 . Если обозначить буквой r радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон,

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

что и требовалось доказать.

Теорема 5 . Площадь треугольника можно вычислить по формуле

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Доказательство . Перемножим формулы

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

что и требовалось доказать.

Теорема 6 . Если обозначить буквой R радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:

Доказательство . Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Окружность касающаяся сторон треугольника и продолжений двух других

Видео:Задача по геометрии.Скачать

Задача по геометрии.

Вневписанная окружность треугольника.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Определение.

Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжения двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника.

Теорема 1.

Центр окружности, вневписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис двух внешних и одного внутреннего угла треугольника.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Доказательство.

BF — биссектриса ∠JBG, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.

СF — биссектриса ∠JСH, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.

Следовательно, точка F равноудалена от сторон ∠BAC.

Таким образом, точка F — центр окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AB и AC. По определению данная окружность называется вневписанной окружностью треугольника.

Теорема 2.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой касания вневписанной окружности и противолежащей стороны, делит треугольник на два треугольника равного периметра.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Доказательство.

BJ=BG, GC=CH и AJ=AH (свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности).

PΔABC=AB+ BC +AC=AB+ BG + GC +AC=AB+ BJ + AC +CH=AJ+AH.

Так как AJ=AH, то PΔABC/2=AJ=AH и PΔABC/2+AG=AJ+AG=AH+AG=AB+BG+GA=AC+CG+GA.

Следовательно, отрезок AG поделил треугольник ABC на два треугольника равного периметра PΔABC/2+AG.

Видео:Задача 16. ЕГЭ по математике-1Скачать

Задача 16. ЕГЭ по математике-1

Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжении двух других его сторон, называется вневписанной окружностью этого

Видео:№ 845 - Геометрия 10-11 класс АтанасянСкачать

№ 845 - Геометрия 10-11 класс Атанасян

Ваш ответ

Видео:№251. Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.Скачать

№251. Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,282
  • гуманитарные 33,619
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 607,013
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

Содержание:

Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

2. Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонгде Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— радиус вписанной окружности треугольника,

3. Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонгде R — радиус описанной окружности Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон
Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Найдем радиус Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонвневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонПо свойству касательной Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонИз подо­бия прямоугольных треугольников АОЕ и Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(по острому углу) следуетОкружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонТак как Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонто Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других стороноткуда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Пример:

Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы: Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Видео:Вневписанная окружностьСкачать

Вневписанная окружность

Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

На рисунке 90 изображена окружность с ради­усом R и центром Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонописанная около треугольни ка АВС.

Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

На рисунке 92 изображена окружность с цент­ром О и радиусом Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонвписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
Так как Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони по свойству касательной к окружности Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОкружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонто центр вписанной окружности равно­удален от сторон треугольника.

Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точ­ку пересечения любых двух из них.

Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонгде Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— полупериметр треугольника, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Пусть дан треугольник АВС со сторонами Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точ­ку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонРадиусы Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонпроведенные в точки касания, будут высотами этих тре­угольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Следствие:

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
(рис. 95).

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— иско­мый радиус. Поскольку Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(как прямо­угольные с общим острым углом СВК), то , Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон
Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других стороноткуда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(см. рис. 95) Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторониз Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других стороноткуда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонДальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонкак вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное меж­ду гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других стороноткуда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон
Ответ: Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонсм.
Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружно­сти, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, про­веденной к основанию, или на ее продолжении».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Полезно запомнить!
Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторона высоту, проведенную к основанию, — Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонто получится пропорция Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон.
Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окруж­ности, описанной около равнобедренного треугольника:

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный тре­угольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонпо теореме Пифагора Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(см), откуда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— общий) следует:Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Тогда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОкружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(см).
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(см. рис. 97) Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, из Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОкружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других стороноткуда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон‘ откуда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон= 3 (см).

Способ 4 (формула Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон). Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонИз формулы площади треугольника Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонследует: Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон
Ответ: 3 см.

Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в тре­угольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Пример:

Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонего вписанной окружности.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Решение:

Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— радиусы вписанной окружности. Так как AM — бис­сектриса и Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонПоскольку ВК — высота и медиана, то Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонИз Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, откуда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон.
В Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонкатет ОК лежит против угла в 30°, поэтому Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонВысоту равностороннего треугольника можно найти по формуле Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Откуда

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Ответ: Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Полезно запомнить!

Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонто Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонЗначит, сторона равностороннего
треугольника в Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонраз больше радиуса его описанной окружности.
Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонразделить на Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонгде с — гипотенуза.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонгде с — гипотенуза.
Теорема доказана.

Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, где Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— искомый радиус, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— катеты, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— гипотенуза треугольника.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Рассмотрим прямоугольный треуголь­ник АВС с катетами Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони гипотенузой Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонкасается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
Проведем радиусы в точки касания и получим: Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОкружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонЧетырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Тогда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОкружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонТак как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонНо Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, т. е. Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, откуда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Следствие: Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонгде р — полупериметр треугольника.

Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Формула Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонв сочетании с формулами Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторондает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

Пример. Дан прямоугольный треугольник, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонНайти Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

Решение:

Так как Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонто Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон
Из формулы Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонследует Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон. По теореме Виета (обратной) Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— посторонний корень.
Ответ: Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон= 2.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— квадрат, то Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон
По свойству касательных Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон
Тогда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонПо теореме Пифагора

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Следовательно, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон
Радиус описанной окружности Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон
Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонзначения Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонполучим Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонПо теореме Пифагора Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, т. е. Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонТогда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон
Ответ: 5.

Пример:

Гипотенуза прямоугольного треугольника Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонрадиус вписанной в него окружности Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонНайти площадь треугольника.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонгипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонвписанной окружности, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— высота Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окруж­ности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
Отсюда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонпо катету и гипотенузе.
Площадь Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонравна сумме удвоенной площади Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони площади квадрата CMON, т. е.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Способ 2 (алгебраический). Из формулы Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонследует Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОкружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонВозведем части равенства в квадрат: Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОкружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонТак как Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОкружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Способ 3 (алгебраический). Из формулы Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонследует, что Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонИз формулы Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонследует, что Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон
Ответ: 40.

Реальная геометрия:

Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со сторо­ной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Видео:4.3. Вписанные и описанные окружности. Вневписанные окружности.Скачать

4.3. Вписанные и описанные окружности. Вневписанные окружности.

Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоуголь­ника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонДуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонАналогично доказывается, что Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон180°. Теорема доказана.

Теорема (признак вписанного четырехугольника).
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонто около него можно описать окружность.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонили внутри нее в положении Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонто в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше поло­вины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
Тогда сумма Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонне была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того что­бы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

Следствия.

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Докажите эти следствия самостоятельно.

Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Пусть ABCD — описанный четырех­угольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны меж­ду собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

откуда AD + ВС = AB + CD.
Теорема доказана.

Следствие:

Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Теорема (признак описанного четырехугольника).
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(1)
Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонкоторый касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(2)

Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОкружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторончто противоречит неравенству треугольника.
Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоре­чию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

Следствия.

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
Докажите эти следствия самостоятельно.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Для описанного многоугольника справедлива формула Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, где S — его площадь, р — полупериметр, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— радиус вписанной окружности.

Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Решение:

Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонТак как у ромба все стороны равны , то Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(см).
Из прямоугольного треугольника АВК находим. что Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других стороноткуда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонИскомый радиус вписанной окружности Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(см).
Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других стороннайдем площадь данного ромба: Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонС другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонПоскольку Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(см), то Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОтсюда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОкружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(см).

Ответ: Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонсм.

Пример:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонделит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).
Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Решение:

Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонНеобходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонтрапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем вы­соту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямо­угольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонТогда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонПо свойству описанного четырехугольника Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОтсюда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонТак как Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонкак внутренние односторонние углы при Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони секущей CD, то Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(рис. 131). Тогда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— прямоугольный, радиус Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонявляется его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэто­му Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонили Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонВысота Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонописанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонТак как по свой­ству описанного четырехугольника Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонто Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон
Ответ: 18.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

Пример:

Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОкружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонНайти величину угла ВАС (рис. 132, а).
Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Решение:

Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонкак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонВ прямоугольном треугольнике ABM Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других стороноткуда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность, вписанная в треугольник

Пример:

Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Решение:

Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
Тогда, если Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонто Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОкружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонТак как АВ = AM + МВ, то Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других стороноткуда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонт. е. Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон. После преобразований получим: Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонАналогично: Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОкружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон
Ответ: Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОкружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОкружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Замечание. Если Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(рис. 141), то Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОкружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— частный случай результата задачи 1.

Описанная трапеция

Пример:

Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основа­ниями а и Ь.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Решение:

Площадь трапеции можно найти по формуле Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонПусть в трапеции ABCD основания Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— боковые стороны, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Известно, что в равнобедренной трапеции Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОкружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОтсюда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОтвет: Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон
Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

Полезно запомнить!

Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонбоковой стороной с, высотой h, средней линией Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони радиусом Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонвписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Теорема.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Рис. 143
Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонкак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонто около него можно описать окружность.
Опишем около треугольника ABD окружность.
В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

«Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон» . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

Обобщенная теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонпроведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(рис. 148). Тогда теорема Пифагора Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонможет звучать так: сумма квадратов гипотенуз Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонтреугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— соответствующие линейные элемен­ты Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонто можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:
Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Действительно, из подобия указанных треугольников Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других стороноткуда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Пример:

Пусть Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(см. рис. 148). Найдем Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонПо обобщенной теореме Пифагора Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонотсюда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон
Ответ: Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон= 39.

Формула Эйлера для окружностей

Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, и Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). ТогдаОкружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонгде b — боковая сторона, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонРадиус вписанной окружности Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонТак как Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонто Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонИскомое расстояние Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон
А теперь найдем d по формуле Эйлера: Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других стороноткуда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонКак видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

Запомнить:

  1. Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
  2. Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
  3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон
  4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон
  5. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противополож­ных углов равны 180°. И обратно.
  6. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противопо­ложных сторон равны между собой. И обратно.
  7. Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонгде Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— полупериметр, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— радиус вписанной окружности.

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— центр окружности, описанной около треугольника Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, поэтому Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонсуществует точка Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонбудет центром описанной окружности, а отрезки Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— ее радиусами.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

На рисунке 299 изображен произвольный треугольник Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Проведем серединные перпендикуляры Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонсторон Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонсоответственно. Пусть точка Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— точка пересечения этих прямых. Поскольку точка Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонпринадлежит серединному перпендикуляру Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, то Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Так как точка Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонпринадлежит серединному перпендикуляру Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, то Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Значит, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонОкружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, т. е. точка Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонравноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, отрезки Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— радиусы, проведенные в точки касания, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонсуществует точка Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонбудет центром окружности радиуса г, которая касается сторон Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

На рисунке 301 изображен произвольный треугольник Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Проведем биссектрисы углов Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— точка их пересечения. Так как точка Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонпринадлежит биссектрисе угла Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, то она равноудалена от сторон Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(теорема 19.2). Аналогично, так как точка Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонпринадлежит биссектрисе угла Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, то она равноудалена от сторон Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Следовательно, точка Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонравноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, где Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— радиус вписанной окружности, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— катеты, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— гипотенуза.

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Решение:

В треугольнике Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон(рис. 302) Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, точка Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— центр вписанной окружности, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— точки касания вписанной окружности со сторонами Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторонсоответственно.

Отрезок Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

Так как точка Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— центр вписанной окружности, то Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— биссектриса угла Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторони Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Тогда Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон— равнобедренный прямоугольный, Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположение точек и прямых
  • Сравнение и измерение отрезков и углов
  • Первый признак равенства треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📽️ Видео

ОГЭ Задание 25 Демонстрационный вариант 2022, математикаСкачать

ОГЭ Задание 25 Демонстрационный вариант 2022, математика

3 способа решения гроба №16 из досрока ЕГЭ 2022 по математике. Вневписанная окружностьСкачать

3 способа решения гроба №16 из досрока ЕГЭ 2022 по математике. Вневписанная окружность

Решение планиметрических задач повышенного уровня сложностиСкачать

Решение планиметрических задач повышенного уровня сложности

Четыре окружности Трудная задача на доказательствоСкачать

Четыре окружности Трудная задача на доказательство

Планиметрия | Вся теория!Скачать

Планиметрия | Вся теория!

Вневписанная окружность треугольникаСкачать

Вневписанная окружность треугольника

Егэ c4. Вневписанная окружностьСкачать

Егэ c4. Вневписанная окружность

[11] Окружности с нуля для ЕГЭ по математике. Вневписанная окружность Теория и практика 13 задач.Скачать

[11] Окружности с нуля для ЕГЭ по математике. Вневписанная окружность Теория и практика 13 задач.

Вневписанная окружность | Теоремы об окружностях - 3Скачать

Вневписанная окружность | Теоремы об окружностях - 3

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Неравенство треугольника ★ Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторонСкачать

Неравенство треугольника ★ Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон
Поделиться или сохранить к себе: