В математике и физике студентам и школьникам зачастую попадаются задачи на векторные величины и на выполнение различных операций над ними. В чём же отличие векторных величин от привычных нам скалярных, единственная характеристика которых — это численное значение? В том, что они обладают направлением.
[block >
- Определения векторной математики
- Аналитический метод
- Вычисление разности графически
- Решение задач
- Как найти координаты вектора
- Предварительные сведения
- Готовые работы на аналогичную тему
- Координаты вектора
- Линейные операции над векторами
- Пример задачи на нахождение координат вектора
- Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение
- Сложение двух векторов
- Сложение нескольких векторов
- Умножение вектора на число
- Свойства операций над векторами
- 💡 Видео
Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать
Определения векторной математики
Введём главные определения, используемые при выполнении линейных операций.
- Вектором называют направленный (имеющий точку начала и точку конца) отрезок.
- Длина (модуль) — это длина направленного отрезка.
- Коллинеарными называют такие два вектора, которые либо параллельны одной и той же прямой, либо одновременно лежат на ней.
- Противоположно направленными векторами называют коллинеарные и при этом направленные в разные стороны. Если же их направление совпадает, то они являются сонаправленными.
- Вектора являются равными, когда они сонаправлены и одинаковы по модулю.
- Суммой двух векторов a и b является такой вектор c, начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом второго при условии, что b начинается в той же точке, в которой заканчивается a.
- Разностью векторов a и b называют сумму a и (—b), где (—b) — противоположно направленный к вектору b. Также определение разности двух векторов может быть дано следующее: разностью c пары векторов a и b называют такой c, который при сложении с вычитаемым b образует уменьшаемое a.
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Аналитический метод
Аналитический способ подразумевает получение координат разности по формуле без построения. Возможно выполнить вычисление для плоского (двухмерного), объёмного (трёхмерного) или же n-мерного пространства.
Для двухмерного пространства и векторных величин a <a₁; a₂> и b <b₁; b₂> расчёты будут иметь следующий вид: c <c₁; c₂> = <a₁ — b₁; a₂ — b₂>.
В случае с добавлением третьей координаты расчёт будет проводиться аналогично, и для a <a₁; a₂; a₃> и b <b₁; b₂; b₃> координаты разности будут также получены попарным вычитанием: c <c₁; c₂; c₃> = <a₁ — b₁; a₂ — b₂; a₃ — b₃>.
Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать
Вычисление разности графически
Для того чтобы построить разность графическим способом, следует воспользоваться правилом треугольника. Для этого необходимо выполнить следующую последовательность действий:
- По заданным координатам построить векторы, для которых нужно найти разность.
- Совместить их концы (т. е. построить два направленных отрезка, равных заданным, которые будут оканчиваться в одной и той же точке).
- Соединить начала обоих направленных отрезков и указать направление; результирующий будет начинаться в той же точке, где начинался вектор, являющийся уменьшаемым, и заканчиваться в точке начала вычитаемого.
[block > Результат операции вычитания показан на рисунке ниже.
Также существует метод построения разности, незначительно отличающийся от предыдущего. Его суть заключается в применении теоремы о разности векторов, которая формулируется следующим образом: для того чтобы найти разность пары направленных отрезков, достаточно найти сумму первого из них с отрезком, противоположно направленным ко второму. Алгоритм построения будет иметь следующий вид:
- Построить исходные направленные отрезки.
- Тот, что является вычитаемым, необходимо отразить, т. е. построить противоположно направленный и равный ему отрезок; затем совместить его начало с уменьшаемым.
- Построить сумму: соединить начало первого отрезка с концом второго.
Результат такого решения изображён на рисунке:
Видео:Геометрия 9 класс (Урок№7 - Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора.)Скачать
Решение задач
Для закрепления навыка разберём несколько заданий, в которых требуется рассчитать разность аналитически или графически.
Задача 1. На плоскости заданы 4 точки: A (1; —3), B (0; 4), C (5; 8), D (—3; 2). Определить координаты вектора q = AB — CD, а также рассчитать его длину.
Решение. Вначале следует найти координаты AB и CD. Для этого из координат конечных точек вычтем координаты начальных. Для AB началом является A (1; —3), а концом — B (0; 4). Рассчитаем координаты направленного отрезка:
Аналогичный расчёт выполняется для CD:
Теперь, зная координаты, можно найти разность векторов. Формула для аналитического решения плоских задач была рассмотрена ранее: для c = a — b координаты имеют вид <c₁; c₂> = <a₁ — b₁; a₂ — b₂>. Для конкретного случая можно записать:
Чтобы найти длину q, воспользуемся формулой | q | = √(q₁² + q₂²) = √((— 9)² + (— 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.
[block > Задача 2. На рисунке изображены векторы m, n и p.
Необходимо построить для них разности: p — n; m — n; m — n — p. Выяснить, какая из них обладает наименьшим модулем.
Решение. В задаче требуется выполнить три построения. Рассмотрим каждую часть задания более подробно.
Часть 1. Для того чтобы изобразить p — n, воспользуемся правилом треугольника. Для этого при помощи параллельного переноса соединим отрезки так, чтобы совпала их конечная точка. Теперь соединим начальные точки и определим направление. В нашем случае вектор разности начинается там же, где и вычитаемый n.
Часть 2. Изобразим m — n. Теперь для решения воспользуемся теоремой о разности векторов. Для этого следует построить вектор, противоположный n, а затем найти его сумму с m. Полученный результат будет выглядеть так:
[block > Часть 3. Для того чтобы найти разность m — n — p, следует разбить выражение на два действия. Поскольку в векторной алгебре действуют законы аналогичные законам арифметики, то возможны варианты:
- m — (n + p): в этом случае вначале строится сумма n + p, которая затем вычитается из m;
- (m — n) — p: здесь сначала нужно найти m — n, а затем отнять от этой разности p;
- (m — p) — n: первым действием определяется m — p, после чего из полученного результата нужно вычесть n.
Так как в предыдущей части задачи мы уже нашли разность m — n, нам остаётся лишь вычесть из неё p. Построим разность двух данных векторов при помощи теоремы о разности. Ответ показан на изображении ниже (красным цветом обозначен промежуточный результат, а зелёным — окончательный).
Остаётся определить, модуль какого из отрезков является наименьшим. Вспомним, что понятия длины и модуля в векторной математике являются идентичными. Оценим визуально длины p — n, m — n и m — n — p. Очевидно, что самым коротким и обладающим наименьшим модулем является ответ в последней части задачи, а именно m — n — p.
[block > [block >
Видео:Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Как найти координаты вектора
Вы будете перенаправлены на Автор24
Видео:Стереометрия с нуля до уровня ЕГЭ. Координатно-векторный метод. Задачи на доказательствоСкачать
Предварительные сведения
Здесь мы ограничимся двумерным случаем. Введение понятия для трехмерного случая проводится аналогично. Для того, чтобы ввести понятие координат вектора сначала введем и докажем следующие лемму и теорему.
Доказательство.
Возможны два случая:
Из этого всего следует, что $overrightarrow=koverrightarrow$.
Из этого всего следует, что $overrightarrow=koverrightarrow$.
Лемма доказана.
Любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом:
Доказательство.
Существование: Докажем, что такое разложение имеет место. Здесь возможны два случая:
Вектор $overrightarrow$ коллинеарен (к примеру) вектору $overrightarrow$.
По лемме 1, будем иметь
Значит, если число $m=0$, то получим
Вектор $overrightarrow$ не коллинеарен векторам $overrightarrow$ и $overrightarrow$.
Возьмем произвольную точку $O$ и отложим от нее векторы $overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow$ и $overrightarrow=overrightarrow$. Пусть Проведем прямую $CD||OB$ (рис. 1)
Рисунок 1. Иллюстрация теоремы 1
По правилу треугольника для сложения векторов, получим
Готовые работы на аналогичную тему
Следовательно, разложение единственно.
Теорема доказана.
Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать
Координаты вектора
Рассмотрим далее систему координат. От начала координат $O$ в направлении оси $Ox$ отложим вектор $overrightarrow$, а в направлении оси $Oy$ отложим вектор $overrightarrow$, длины которых равны единице.
Векторы $overrightarrow$ и $overrightarrow$ называются координатными векторами.
Так как векторы $overrightarrow$ и $overrightarrow$ не коллинеарны то, по теореме 1, любой вектор можно разложить в виде $overrightarrow=moverrightarrow+noverrightarrow$.
Коэффициенты разложения вектора $overrightarrow=moverrightarrow+noverrightarrow$ называются координатами данного вектора в данной системе координат, то есть
Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать
Линейные операции над векторами
Теорема о сумме векторов: Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов.
Доказательство.
Докажем теорему для двух векторов. Теорема для большего количества векторов доказывается аналогично. Пусть $overrightarrow=left$, $overrightarrow=$, тогда
Теорема доказана.
Теорема о разности векторов: Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат этих векторов.
Доказательство.
Докажем теорему для двух векторов. Теорема для большего количества векторов доказывается аналогично. Пусть $overrightarrow=left$, $overrightarrow=$, тогда
Теорема доказана.
Теорема о произведении вектора на число: Координаты произведения вектора на число равны произведению соответствующих координат это число.
Доказательство.
Теорема доказана.
Видео:Коллинеарность векторовСкачать
Пример задачи на нахождение координат вектора
Решение.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 05 04 2022
Видео:Геометрия, 9 класс, Правила нахождения координат суммы, разности векторов, произведенияСкачать
Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение
Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.
Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.
Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.
Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.
Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.
Видео:Геометрия 9 класс (Урок№8 - Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.)Скачать
Сложение двух векторов
Исходные данные: векторы a → и b → . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки отложить вектор A B → , равный вектору а → ; из полученной точки undefined – вектор В С → , равный вектору b → . Соединив точки undefined и C , получаем отрезок (вектор) А С → , который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.
Геометрически сложение векторов выглядит так:
— для неколлинеарных векторов:
— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
Сложение нескольких векторов
Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.
Исходные данные: векторы a → , b → , c → , d → . Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a → ; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b → ; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B , а полученный отрезок (вектор) A B → – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .
Геометрически оно выглядит следующим образом:
Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a → и b → есть сумма векторов a → и — b → .
Видео:9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать
Умножение вектора на число
Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k , необходимо учитывать следующие правила:
— если k > 1 , то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
— если 0 k 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k раз;
— если k 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
— если k = 1 , то вектор остается прежним;
— если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.
Исходные данные:
1) вектор a → и число k = 2 ;
2) вектор b → и число k = — 1 3 .
Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:
Видео:9 класс, 3 урок, Связь между координатами вектора и координатами его начала и концаСкачать
Свойства операций над векторами
Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.
Исходные данные: векторы a → , b → , c → и произвольные действительные числа λ и μ .
- Свойство коммутативности: a ⇀ + b → = b → + a → .
- Свойство ассоциативности: ( a → + b → ) + c → = a → + ( b → + c → ) .
- Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0 → ⃗). Это очевидное свойство: a → + 0 → = a →
- Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1 · a → = a → . Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
- Любой ненулевой вектор a → имеет противоположный вектор — a → и верным является равенство: a → + ( — a → ) = 0 → . Указанное свойство — очевидное.
- Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a → = λ · ( µ · a → ) . Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
- Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a → = λ · a → + µ · a → .
- Второе распределительное свойство: λ · ( a → + b → ) = λ · a → + λ · b → .
Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.
Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.
Задача: упростить выражение a → — 2 · ( b → + 3 · a → )
Решение
— используя второе распределительное свойство, получим: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → )
— задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → ) = a → — 2 · b → — ( 2 · 3 ) · a → = a → — 2 · b → — 6 · a →
— используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые: a → — 2 · b → — 6 · a → = a → — 6 · a → — 2 · b →
— затем по первому распределительному свойству получаем: a → — 6 · a → — 2 · b → = ( 1 — 6 ) · a → — 2 · b → = — 5 · a → — 2 · b → Краткая запись решения будет выглядеть так: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · 3 · a → = 5 · a → — 2 · b →
Ответ: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = — 5 · a → — 2 · b →
💡 Видео
Когнитивная наука как конвергентное знание. Татьяна ЧерниговскаяСкачать
Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать
90. Координаты вектораСкачать
Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать
Координаты вектора | Геометрия 7-9 класс #86 | ИнфоурокСкачать
Скалярное произведение векторов через координаты. 9 класс.Скачать