Конец радиуса вектора задающего комплексное число z 5 2i

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №39. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  1. изображение комплексного числа на плоскости- точками;
  2. изображение комплексного числа на плоскости- векторами;

3) определение модуля комплексного числа.

Глоссарий по теме:

а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b)

б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке

Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число z=a+bi, называется модулем этого комплексного числа.

Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чисел равны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.

Модуль вычисляется по формуле:

Конец радиуса вектора задающего комплексное число z 5 2i

То есть модуль есть сумма квадратов действительной и мнимой частей заданного числа.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Геометрическое изображение комплексных чисел.

а) Комплексные числа изображаются точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b) (рис.1).

Конец радиуса вектора задающего комплексное число z 5 2i

б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).

Конец радиуса вектора задающего комплексное число z 5 2i

Пример. Постройте точки, изображающие комплексные числа: 1; — i; — 1 + i; 2 – 3i (рис.3).

Конец радиуса вектора задающего комплексное число z 5 2i

Модуль комплексного числа

Как отмечалось выше, комплексное число также можно изображать радиус-вектором Конец радиуса вектора задающего комплексное число z 5 2i(рис. 4).

Конец радиуса вектора задающего комплексное число z 5 2i

Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число z=a+bi, называется модулем этого комплексного числа.

Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чисел равны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.

Модуль вычисляется по формуле:

Конец радиуса вектора задающего комплексное число z 5 2i

То есть модуль есть сумма квадратов действительной и мнимой частей заданного числа.

Иногда еще модуль комплексного числа обозначается как r или ρ.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: единичный выбор

Найдите модуль комплексного числа z=5-3i

  1. Конец радиуса вектора задающего комплексное число z 5 2i
  2. Конец радиуса вектора задающего комплексное число z 5 2i
  3. 4
  4. 5

Решим данное задание, используя определение модуля.

Т.к. Re z=5, Im z= -3, то искомое значение

Конец радиуса вектора задающего комплексное число z 5 2i

Верный ответ: 2. Конец радиуса вектора задающего комплексное число z 5 2i

№2. Тип задания: рисование.

Изобразите вектором на комплексной плоскости точку z=2+3i

Разобьем z=2+3i на две части: z1=2 и z2= 3i. Отметим на плоскости точки О и А, соединим их:

Видео:Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать

Тригонометрическая форма комплексного числа

Конец радиуса вектора задающего комплексное число z 5 2i

Квадратный корень из комплексного числа

Корни четвертой и пятой степени

Возведение в степень

Мнимая и действительная часть

Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2.5j):

Правила ввода выражений и функций

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТ

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Видео:Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать

Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.

Комплексные числа

Калькулятор отображает комплексное число на комплексной плоскости, отображает число в различных формах, вычисляет модуль, главный аргумент и сопряженное число для заданного комплексного числа.

Начиная с 16 века математики столкнулись с необходимостью введения комплексных чисел, то есть чисел вида a+bi, где a,b — вещественные числа, i — мнимая единица — число, для которого выполняется равенство: i 2 =-1.

Интересно проследить, как менялось представление о комплексных числах с течением времени. Вот некоторые цитаты из древних трудов:

  • XVI век : Эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны. 1
  • XVII век : Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием. 2
  • XVIII век : Квадратные корни из отрицательных чисел не равны нулю, не меньше нуля и не больше нуля. Из сего видно, что квадратные корни из отрицательных чисел не могут находиться среди возможных чисел. Поэтому, нам не остается ничего другого, как признать их невозможными числами. Это ведет нас к понятию таких чисел, которые по своей природе невозможны и обычно называются мнимыми или воображаемыми, потому что их только в уме представить можно. 3
  • XIX век Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств. 4

Известно три способа записи комплексного числа z:

Алгебраическая запись комплексного числа

,
где a и b — вещественные числа, i — мнимая единица. a — действительная часть, bi — мнимая часть.

Тригонометрическая запись комплексного числа

,
где r — модуль комплексного числа:

, который соответствует расстоянию от точки на комплексной плоскости до начала координат, а φ — угол наклона вектора 0-z к оси действительных значений или аргумент комплексного числа.

Показательная запись комплексного числа

была введена Леонардом Эйлером для сокращения тригонометрической записи.

📺 Видео

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числаСкачать

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Найдите все значения корня из комплексного числа ∛-125i ★ Извлечение корня из комплексного числаСкачать

Найдите все значения корня из комплексного числа ∛-125i ★ Извлечение корня из комплексного числа

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.

Высшая математика. Комплексные числа: продолжение. Возведение в степень и извлечение корняСкачать

Высшая математика. Комплексные числа: продолжение. Возведение в степень и извлечение корня

Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷Скачать

Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷

Комплексные числа. Сложение, умножение, деление, модуль комплексного числаСкачать

Комплексные числа. Сложение, умножение, деление, модуль комплексного числа

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.

10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числаСкачать

10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Высшая математика. Комплексные числаСкачать

Высшая математика. Комплексные числа

Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной #040 | Борис Трушин !Скачать

Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной #040 | Борис Трушин !

Комплексные числа: алгебраическая форма и действия над ними | Высшая математикаСкачать

Комплексные числа: алгебраическая форма и действия над ними | Высшая математика

Аргумент комплексного числа. Часть 1Скачать

Аргумент комплексного числа.  Часть 1

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел | Высшая математикаСкачать

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел | Высшая математика

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.

Стрим с Борисом Надеждиным, Алексеем Ракшей и Боженой ИвановойСкачать

Стрим с Борисом Надеждиным, Алексеем Ракшей и Боженой Ивановой

Комплексные числа #1Скачать

Комплексные числа #1

Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать

Изобразить область на комплексной плоскости
Поделиться или сохранить к себе: