Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №39. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
- изображение комплексного числа на плоскости- точками;
- изображение комплексного числа на плоскости- векторами;
3) определение модуля комплексного числа.
Глоссарий по теме:
а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b)
б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке
Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число z=a+bi, называется модулем этого комплексного числа.
Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чисел равны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.
Модуль вычисляется по формуле:
То есть модуль есть сумма квадратов действительной и мнимой частей заданного числа.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Геометрическое изображение комплексных чисел.
а) Комплексные числа изображаются точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b) (рис.1).
б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).
Пример. Постройте точки, изображающие комплексные числа: 1; — i; — 1 + i; 2 – 3i (рис.3).
Модуль комплексного числа
Как отмечалось выше, комплексное число также можно изображать радиус-вектором 
(рис. 4).
Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число z=a+bi, называется модулем этого комплексного числа.
Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чисел равны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.
Модуль вычисляется по формуле:
То есть модуль есть сумма квадратов действительной и мнимой частей заданного числа.
Иногда еще модуль комплексного числа обозначается как r или ρ.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: единичный выбор
Найдите модуль комплексного числа z=5-3i
- 4
- 5
Решим данное задание, используя определение модуля.
Т.к. Re z=5, Im z= -3, то искомое значение
Верный ответ: 2. 
№2. Тип задания: рисование.
Изобразите вектором на комплексной плоскости точку z=2+3i
Разобьем z=2+3i на две части: z1=2 и z2= 3i. Отметим на плоскости точки О и А, соединим их:
Конец радиуса вектора задающего комплексное число z 5 2i
Квадратный корень из комплексного числа
Корни четвертой и пятой степени
Возведение в степень
Мнимая и действительная часть
Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2.5j):
Правила ввода выражений и функций
3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно
2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Где учитесь?
Для правильного составления решения, укажите:
Комплексные числа
Калькулятор отображает комплексное число на комплексной плоскости, отображает число в различных формах, вычисляет модуль, главный аргумент и сопряженное число для заданного комплексного числа.
Начиная с 16 века математики столкнулись с необходимостью введения комплексных чисел, то есть чисел вида a+bi, где a,b — вещественные числа, i — мнимая единица — число, для которого выполняется равенство: i 2 =-1.
Интересно проследить, как менялось представление о комплексных числах с течением времени. Вот некоторые цитаты из древних трудов:
- XVI век : Эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны. 1
- XVII век : Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием. 2
- XVIII век : Квадратные корни из отрицательных чисел не равны нулю, не меньше нуля и не больше нуля. Из сего видно, что квадратные корни из отрицательных чисел не могут находиться среди возможных чисел. Поэтому, нам не остается ничего другого, как признать их невозможными числами. Это ведет нас к понятию таких чисел, которые по своей природе невозможны и обычно называются мнимыми или воображаемыми, потому что их только в уме представить можно. 3
- XIX век Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств. 4
Известно три способа записи комплексного числа z:
Алгебраическая запись комплексного числа
,
где a и b — вещественные числа, i — мнимая единица. a — действительная часть, bi — мнимая часть.
Тригонометрическая запись комплексного числа
,
где r — модуль комплексного числа:
, который соответствует расстоянию от точки на комплексной плоскости до начала координат, а φ — угол наклона вектора 0-z к оси действительных значений или аргумент комплексного числа.
Показательная запись комплексного числа
была введена Леонардом Эйлером для сокращения тригонометрической записи.