Комплексная форма записи вектора

Видео:Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать

Комплексная форма записи вектора

Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус электроснабжения.

В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися – переменными – токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, усложняя их анализ.

Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, — периодом Т. Для периодического тока имеем

,

(1)

Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герцах (Гц):

,

(2)

Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01 ¸ 10 Гц – в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) – до сверхвысоких (3000 ¸ 300000 МГц – миллиметровые волны: радиолокация, радиоастрономия). В РФ промышленная частота f = 50Гц .

Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать строчной буквой:

i — мгновенное значение тока ;

u – мгновенное значение напряжения ;

е — мгновенное значение ЭДС ;

р — мгновенное значение мощности .

Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой (ее принято обозначать заглавной буквой с индексом m ) .

— амплитуда тока;

— амплитуда напряжения;

— амплитуда ЭДС.

Действующее значение переменного тока

Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект, что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока:

,

(3)

Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения.

Синусоидально изменяющийся ток

Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального тока является ключом к пониманию теории других цепей.

Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов на плоскости декартовых координат

Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами.

Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е₁ и е₂ соответствуют уравнения:

.

Значения аргументов синусоидальных функций и называются фазами синусоид, а значение фазы в начальный момент времени ( t =0): и — начальной фазой ( ).

Величину , характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на рад., то угловая частота есть , где f– частота.

При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз.

Для синусоидальных ЭДС е₁ и е₂ угол сдвига фаз:

.

Векторное изображение синусоидально
изменяющихся величин

На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной w . Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е₁ и е₂ (рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени ( t =0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w . Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток равен сумме токов и двух ветвей:

.

Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

и .

Результирующий ток также будет синусоидален:

.

Определение амплитуды и начальной фазы этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы.

На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t =0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным .

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

.

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения и из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения путем формального учета угловой частоты: .

Представление синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов комплексными числами

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

показательной

тригонометрической или

алгебраической — формах.

Например, ЭДС , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

.

Фазовый угол определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

.

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

,

(4)

Комплексное число удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:

,

(5)

Параметр , соответствующий положению вектора для t =0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: , а параметр — комплексом мгновенного значения.

Параметр является оператором поворота вектора на угол w t относительно начального положения вектора.

Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота есть его поворот относительно первоначального положения на угол ± a .

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды и оператора поворота :

.

Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

,

(6)

Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:

,

— то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу , т.е. угол, который образует вектор с положительной полуосью +1:

.

Тогда мгновенное значение напряжения:

,

где .

При записи выражения для определенности было принято, что , т.е. что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если , то при (второй квадрант)

,

(7)

а при (третий квадрант)

(8)

(9)

Если задано мгновенное значение тока в виде , то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:

.

Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.

Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока по рис. 5 получим:

_где ;

.

Действующее значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов

В соответствии с выражением (3) для действующего значения синусоидального тока запишем:

.

Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Таким образом, действующие значения синусоидальных тока, ЭДС и напряжения меньше своих амплитудных значений в раз:

.

(10)

Поскольку, как будет показано далее, энергетический расчет цепей переменного тока обычно проводится с использованием действующих значений величин, по аналогии с предыдущим введем понятие комплекса действующего значения

.

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Какой практический смысл имеет изображение синусоидальных величин с помощью векторов?

2. Какой практический смысл имеет представление синусоидальных величин с использованием комплексных чисел?

3. В чем заключаются преимущества изображения синусоидальных величин с помощью комплексов по сравнению с их векторным представлением?

4. Для заданных синусоидальных функций ЭДС и тока записать соответствующие им комплексы амплитуд и действующих значений, а также комплексы мгновенных значений.

5. На рис. 5 , а . Определить .

Ответ: .

Видео:10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числаСкачать

Комплексные числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости

Аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Пусть x и y — произвольные вещественные числа.

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0) .

Комплексные числа, заданные парами (0, y) , называют чисто мнимыми числами .

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .

Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y) , записывается в виде

где использован символ i , называемый мнимой единицей .

Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z .

Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z .

Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами .

Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами .

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Видео:Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Умножение комплексных чисел z₁ = x₁ + i y₁ и z₂ = x₂ + i y₂ , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

По этой причине

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа z = x + iy и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами .

Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения , обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел z₁ и z₂ справедливы неравенства:

Замечание . Если z — вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z₁ = x₁ + i y₁ на отличное от нуля комплексное число z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по формуле

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Деление на нуль запрещено.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью , и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).

Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью , а ось ординат Oy – мнимой осью .

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Видео:Экспоненциальная запись комплексного числаСкачать

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z .

Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z .

Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента , обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Тогда оказывается справедливым равенство:

Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

(3)

Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение числа z	Знаки x и y	Главное значение аргумента	Аргумент	Примеры
Положительная вещественная полуось	0	φ = 2kπ
Первый квадрант
Положительная мнимая полуось
Второй квадрант
Отрицательная вещественная полуось	Положительная вещественная полуось
Знаки x и y
Главное значение аргумента	0
Аргумент	φ = 2kπ
Примеры

Расположение числа z	Первый квадрант
Знаки x и y
Главное значение аргумента
Аргумент
Примеры

Расположение числа z	Положительная мнимая полуось
Знаки x и y
Главное значение аргумента
Аргумент
Примеры

Расположение числа z	Второй квадрант
Знаки x и y
Главное значение аргумента
Аргумент
Примеры

x z

x z

y z

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа .

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа .

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

или, что то же самое, числа e iφ , при любом значении φ равен 1.

Видео:4. Показательная форма комплексного числаСкачать

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел и записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Видео:Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Корнем n — ой степени из числа z₀ , где называют такое комплексное число z = r e iφ , которое является решением уравнения

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ , где k — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

следствием которых являются равенства

(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

(10)

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов z_k при k = 0 , . , n – 1 располагаются в вершинах правильного n — угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Замечание . В случае n = 2 уравнение (8) имеет два различных корня z₁ и z₂ , отличающихся знаком:

Пример 1 . Найти все корни уравнения

то по формуле (10) получаем:

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

Видео:1.2 Комплексные числа и их представление векторами на комплексной плоскостиСкачать

Комплексная форма записи вектора

Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy , (7.1)

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Если x =0, то число 0+ iy = iy называется чисто мнимым; если y =0, то число x + i ∙0= x отождествляется с действительным числом x , а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных чисел, то есть .

Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re z , а y – мнимой частью комплексного числа z и обозначается y = Im z .

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и называются комплексно сопряженными.

Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой M ( x ; y ) плоскости x 0 y такой, что x = Re z , y = Im z . Верно и обратное: каждую точку M ( x ; y ) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + iy (рис. 7.1).

Комплексное число z = x + iy можно задавать с помощью радиус-вектора . Длина вектора , изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается | z | или r . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором называется аргументом комплексного числа, обозначается Arg z или φ.

Для комплексного числа z =0 аргумент не определен. Аргумент комплексного числа – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2π k ( k =0;–1;1;–2;2…): , где arg z – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (–π;π). Иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π).

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное значение аргумента комплексного числа z , то есть считать φ= arg z . Знаки полученных значений cos φ и sin φ по формулам (7.5), дают возможность определить, какой координатной четверти принадлежит угол φ.

Используя формулу Эйлера

комплексное число можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол ( k =0;–1;1;–2;2…).

Функция e i φ – периодическая с основным пери­одом 2 π, поэтому для записи комплексного числа в показательной форме по формуле 7.7 достаточно найти главное значение его аргумента, то есть считать φ = arg z .

Пример 7.1. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.

Решение. Для z ₁ имеем . Поэтому .

Для действительного числа . Поэтому

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

Из равенства (7.9) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. При этом число z = z ₁ – z ₂ изображается вектором, соединяющим концы векторов , и исходящим из конца вычитаемого в конец уменьшаемого (см. рис. 7.2). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости:

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,

Найдем произведение комплексных чисел и . Производя все необходимые выкладки согласно формуле (7.11), получим формулу произведения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме :

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

4. Частным двух комплексных чисел z ₁ и называется комплексное число z , которое, будучи умноженным на z ₂, дает число z ₁, то есть , если .

Пусть , тогда с использованием этого определения получаем:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пример 7.2. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел .

Решение. По формуле (7.8) сумма заданных чисел равна .

Согласно формуле (7.9) разность заданных чисел равна .

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

Пример 7.3. Найти произведение и частное комплексных чисел , представив их в тригонометрической и показательной форме.

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z ₂ можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

5. Извлечение корня n -ой степени – операция, обратная возведению

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

Корнем n -ой степени из комплексного числа z называется комплексное число ω, удовлетворяющее равенству ω n = z , то есть , если ω n = z .

Пусть , тогда по данному определению и формуле (7.13) Муавра можно записать: . Сравнивания части этого равенства, получим: . Отсюда (корень арифметический). Окончательно получаем:

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Видно, что для любого корень n -ой степени из комплексного числа z имеет равно n различных значений.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

Решение. Запишем уравнение в виде z 4 =–16+0∙ i . Отсюда по формуле (7.18) получим:

Сформулируем несколько иначе основную теорему алгебры 3.2 над полем комплексных чисел .

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

Теорема 7.2. Если многочлен P_n ( x ) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень a + ib , то он имеет и сопряженный корень a – ib

В разложение многочлена комплексные корни входят сопряженными парами. Пусть корни многочлена x 1 = a + ib и x 2 = a – ib . Перемножив линейные множители разложения , получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами x 2 + px + q и отрицательным дискриминантом. Действительно,

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

📺 Видео

Показательная форма комплексного числаСкачать

Математика это не ИсламСкачать

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числаСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

➡️ КАК ВЫЧИТАТЬ ВЕКТОРЫ?Скачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать