Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус электроснабжения.
В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися – переменными – токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, усложняя их анализ.
Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, — периодом Т. Для периодического тока имеем
, | (1) |
Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герцах (Гц):
, | (2) |
Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01 ¸ 10 Гц – в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) – до сверхвысоких (3000 ¸ 300000 МГц – миллиметровые волны: радиолокация, радиоастрономия). В РФ промышленная частота f = 50Гц .
Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать строчной буквой:
i — мгновенное значение тока ;
u – мгновенное значение напряжения ;
е — мгновенное значение ЭДС ;
р — мгновенное значение мощности .
Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой (ее принято обозначать заглавной буквой с индексом m ) .
— амплитуда тока;
— амплитуда напряжения;
— амплитуда ЭДС.
Действующее значение переменного тока
Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект, что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока:
, | (3) |
Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения.
Синусоидально изменяющийся ток
Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального тока является ключом к пониманию теории других цепей.
Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов на плоскости декартовых координат
Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами.
Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е1 и е2 соответствуют уравнения:
.
Значения аргументов синусоидальных функций и называются фазами синусоид, а значение фазы в начальный момент времени ( t =0): и — начальной фазой ( ).
Величину , характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на рад., то угловая частота есть , где f– частота.
При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз.
Для синусоидальных ЭДС е1 и е2 угол сдвига фаз:
.
Векторное изображение синусоидально
изменяющихся величин
На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной w . Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е1 и е2 (рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени ( t =0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w . Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.
Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток равен сумме токов и двух ветвей:
.
Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением
и .
Результирующий ток также будет синусоидален:
.
Определение амплитуды и начальной фазы этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы.
На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t =0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным .
Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:
.
Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения и из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения путем формального учета угловой частоты: .
Представление синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов комплексными числами
Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.
Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :
показательной
тригонометрической или
алгебраической — формах.
Например, ЭДС , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число
.
Фазовый угол определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как
.
В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:
, | (4) |
Комплексное число удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:
, | (5) |
Параметр , соответствующий положению вектора для t =0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: , а параметр — комплексом мгновенного значения.
Параметр является оператором поворота вектора на угол w t относительно начального положения вектора.
Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота есть его поворот относительно первоначального положения на угол ± a .
Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды и оператора поворота :
.
Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:
, | (6) |
Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:
,
— то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу , т.е. угол, который образует вектор с положительной полуосью +1:
.
Тогда мгновенное значение напряжения:
,
где .
При записи выражения для определенности было принято, что , т.е. что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если , то при (второй квадрант)
, | (7) |
а при (третий квадрант)
(8) |
(9) |
Если задано мгновенное значение тока в виде , то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:
.
Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.
Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока по рис. 5 получим:
где ;
.
Действующее значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов
В соответствии с выражением (3) для действующего значения синусоидального тока запишем:
.
Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Таким образом, действующие значения синусоидальных тока, ЭДС и напряжения меньше своих амплитудных значений в раз:
. | (10) |
Поскольку, как будет показано далее, энергетический расчет цепей переменного тока обычно проводится с использованием действующих значений величин, по аналогии с предыдущим введем понятие комплекса действующего значения
.
1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
Контрольные вопросы и задачи
1. Какой практический смысл имеет изображение синусоидальных величин с помощью векторов?
2. Какой практический смысл имеет представление синусоидальных величин с использованием комплексных чисел?
3. В чем заключаются преимущества изображения синусоидальных величин с помощью комплексов по сравнению с их векторным представлением?
4. Для заданных синусоидальных функций ЭДС и тока записать соответствующие им комплексы амплитуд и действующих значений, а также комплексы мгновенных значений.
5. На рис. 5 , а . Определить .
Ответ: .
- Комплексные числа
- Алгебраическая форма записи комплексных чисел
- Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
- Комплексно сопряженные числа
- Модуль комплексного числа
- Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
- Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости
- Аргумент комплексного числа
- Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
- Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
- Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
- Комплексная форма записи вектора
- 🌟 Видео
Видео:Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать
Комплексные числа
Алгебраическая форма записи комплексных чисел |
Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме |
Комплексно сопряженные числа |
Модуль комплексного числа |
Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме |
Изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости |
Аргумент комплексного числа |
Тригонометрическая форма записи комплексного числа |
Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа |
Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме |
Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа |
Видео:10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числаСкачать
Алгебраическая форма записи комплексных чисел
Пусть x и y — произвольные вещественные числа.
Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.
Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0) .
Комплексные числа, заданные парами (0, y) , называют чисто мнимыми числами .
Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .
Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y) , записывается в виде
z = x + i y . | (1) |
где использован символ i , называемый мнимой единицей .
Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z .
Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z .
Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами .
Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами .
Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.
Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать
Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Умножение комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:
i 2 = – 1 . | (2) |
По этой причине
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Комплексно сопряженные числа
Два комплексных числа z = x + iy и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами .
Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения , обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:
Видео:Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать
Модуль комплексного числа
Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле
Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:
а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:
Замечание . Если z — вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.
Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать
Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле
Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:
Деление на нуль запрещено.
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости
Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.
Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью , и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).
Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью , а ось ординат Oy – мнимой осью .
При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.
Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать
Аргумент комплексного числа
Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z .
Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z .
Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).
Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.
Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента , обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:
Тогда оказывается справедливым равенство:
Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам
(3) |
Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле
(4) |
а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.
Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.
Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y
Расположение числа z | Знаки x и y | Главное значение аргумента | Аргумент | Примеры |
Положительная вещественная полуось | 0 | φ = 2kπ | ||
Первый квадрант | ||||
Положительная мнимая полуось | ||||
Второй квадрант | ||||
Отрицательная вещественная полуось | Положительная вещественная полуось | |||
Знаки x и y | ||||
Главное значение аргумента | 0 | |||
Аргумент | φ = 2kπ | |||
Примеры |
Расположение числа z | Первый квадрант |
Знаки x и y | |
Главное значение аргумента | |
Аргумент | |
Примеры |
Расположение числа z | Положительная мнимая полуось |
Знаки x и y | |
Главное значение аргумента | |
Аргумент | |
Примеры |
Расположение числа z | Второй квадрант |
Знаки x и y | |
Главное значение аргумента | |
Аргумент | |
Примеры |
Расположение числа z | Отрицательная вещественная полуось | ||||||||||
Знаки x и y | Третий квадрант | ||||||||||
Знаки x и y | Отрицательная мнимая полуось | ||||||||||
Знаки x и y | Четвёртый квадрант | ||||||||||
Знаки x и y | |||||||||||
z = r (cos φ + i sin φ) , | (5) |
где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .
Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа .
Видео:4. Показательная форма комплексного числаСкачать
Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :
cos φ + i sin φ = e iφ . | (6) |
Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде
z = r e iφ , | (7) |
где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .
Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа .
Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:
а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа
или, что то же самое, числа e iφ , при любом значении φ равен 1.
Видео:1.2 Комплексные числа и их представление векторами на комплексной плоскостиСкачать
Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.
Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел и записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам
Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле
Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать
Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.
Корнем n — ой степени из числа z0 , где называют такое комплексное число z = r e iφ , которое является решением уравнения
z n = z0 . | (8) |
Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде
и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ , где k — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства
следствием которых являются равенства
(9) |
Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней
(10) |
причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов zk при k = 0 , . , n – 1 располагаются в вершинах правильного n — угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.
Замечание . В случае n = 2 уравнение (8) имеет два различных корня z1 и z2 , отличающихся знаком:
Пример 1 . Найти все корни уравнения
то по формуле (10) получаем:
Пример 2 . Решить уравнение
Решение . Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:
Видео:Экспоненциальная запись комплексного числаСкачать
Комплексная форма записи вектора
Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy , (7.1)
где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы
Если x =0, то число 0+ iy = iy называется чисто мнимым; если y =0, то число x + i ∙0= x отождествляется с действительным числом x , а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных чисел, то есть .
Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re z , а y – мнимой частью комплексного числа z и обозначается y = Im z .
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.
Числа z = x + iy и называются комплексно сопряженными.
Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой M ( x ; y ) плоскости x 0 y такой, что x = Re z , y = Im z . Верно и обратное: каждую точку M ( x ; y ) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + iy (рис. 7.1).
Комплексное число z = x + iy можно задавать с помощью радиус-вектора . Длина вектора , изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается | z | или r . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором называется аргументом комплексного числа, обозначается Arg z или φ.
Для комплексного числа z =0 аргумент не определен. Аргумент комплексного числа – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2π k ( k =0;–1;1;–2;2…): , где arg z – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (–π;π). Иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π).
Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.
Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотношений сторон в прямоугольном треугольнике получаем
Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле
Аргумент определяется из формул:
При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное значение аргумента комплексного числа z , то есть считать φ= arg z . Знаки полученных значений cos φ и sin φ по формулам (7.5), дают возможность определить, какой координатной четверти принадлежит угол φ.
Используя формулу Эйлера
комплексное число можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме
где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол ( k =0;–1;1;–2;2…).
Функция e i φ – периодическая с основным периодом 2 π, поэтому для записи комплексного числа в показательной форме по формуле 7.7 достаточно найти главное значение его аргумента, то есть считать φ = arg z .
Пример 7.1. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.
Решение. Для z 1 имеем . Поэтому .
Для действительного числа . Поэтому
На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.
Из равенства (7.9) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. При этом число z = z 1 – z 2 изображается вектором, соединяющим концы векторов , и исходящим из конца вычитаемого в конец уменьшаемого (см. рис. 7.2). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости:
Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,
Найдем произведение комплексных чисел и . Производя все необходимые выкладки согласно формуле (7.11), получим формулу произведения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме :
Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:
(7.13) называется первой формулой Муавра.
Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
4. Частным двух комплексных чисел z 1 и называется комплексное число z , которое, будучи умноженным на z 2, дает число z 1, то есть , если .
Пусть , тогда с использованием этого определения получаем:
На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.
Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:
Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.
Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
Пример 7.2. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел .
Решение. По формуле (7.8) сумма заданных чисел равна .
Согласно формуле (7.9) разность заданных чисел равна .
Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение
На основании формулы (7.14) вычислим их частное
Пример 7.3. Найти произведение и частное комплексных чисел , представив их в тригонометрической и показательной форме.
Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:
Аналогично, для z 2 можно записать:
По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:
Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:
5. Извлечение корня n -ой степени – операция, обратная возведению
в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).
Корнем n -ой степени из комплексного числа z называется комплексное число ω, удовлетворяющее равенству ω n = z , то есть , если ω n = z .
Пусть , тогда по данному определению и формуле (7.13) Муавра можно записать: . Сравнивания части этого равенства, получим: . Отсюда (корень арифметический). Окончательно получаем:
(7.18) называется второй формулой Муавра.
Видно, что для любого корень n -ой степени из комплексного числа z имеет равно n различных значений.
Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.
Решение. Запишем уравнение в виде z 4 =–16+0∙ i . Отсюда по формуле (7.18) получим:
Сформулируем несколько иначе основную теорему алгебры 3.2 над полем комплексных чисел .
Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами
Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.
Теорема 7.2. Если многочлен Pn ( x ) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень a + ib , то он имеет и сопряженный корень a – ib
В разложение многочлена комплексные корни входят сопряженными парами. Пусть корни многочлена x 1 = a + ib и x 2 = a – ib . Перемножив линейные множители разложения , получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами x 2 + px + q и отрицательным дискриминантом. Действительно,
Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.
🌟 Видео
Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать
Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать
Математика это не ИсламСкачать
2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числаСкачать
➡️ КАК ВЫЧИТАТЬ ВЕКТОРЫ?Скачать
Показательная форма комплексного числаСкачать
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать
Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать