Комплексная форма записи вектора

Комплексная форма записи вектора

Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус электроснабжения.

В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися – переменными – токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, усложняя их анализ.

Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, — периодом Т. Для периодического тока имеем

Комплексная форма записи вектора,(1)

Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герцах (Гц):

Комплексная форма записи вектора,(2)

Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01 ¸ 10 Гц – в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) – до сверхвысоких (3000 ¸ 300000 МГц – миллиметровые волны: радиолокация, радиоастрономия). В РФ промышленная частота f = 50Гц .

Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать строчной буквой:

i — мгновенное значение тока Комплексная форма записи вектора ;

u – мгновенное значение напряжения Комплексная форма записи вектора ;

е — мгновенное значение ЭДС Комплексная форма записи вектора ;

р — мгновенное значение мощности Комплексная форма записи вектора .

Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой (ее принято обозначать заглавной буквой с индексом m ) .

Комплексная форма записи вектора — амплитуда тока;

Комплексная форма записи вектора — амплитуда напряжения;

Комплексная форма записи вектора — амплитуда ЭДС.

Действующее значение переменного тока

Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект, что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока:

Комплексная форма записи вектора,(3)

Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения.

Синусоидально изменяющийся ток

Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального тока является ключом к пониманию теории других цепей.

Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов на плоскости декартовых координат

Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами.

Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е1 и е2 соответствуют уравнения:

Комплексная форма записи вектора Комплексная форма записи вектора .

Комплексная форма записи вектора
Значения аргументов синусоидальных функций Комплексная форма записи вектора и Комплексная форма записи вектора называются фазами синусоид, а значение фазы в начальный момент времени ( t =0): Комплексная форма записи вектора и Комплексная форма записи вектора начальной фазой ( Комплексная форма записи вектора Комплексная форма записи вектора ).

Величину Комплексная форма записи вектора , характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на Комплексная форма записи вектора рад., то угловая частота есть Комплексная форма записи вектора , где f– частота.

При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз.

Для синусоидальных ЭДС е1 и е2 угол сдвига фаз:

Комплексная форма записи вектора .

Векторное изображение синусоидально
изменяющихся величин

На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной w . Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е1 и е2 (рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени ( t =0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w . Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

Комплексная форма записи вектора

Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток Комплексная форма записи вектора равен сумме токов Комплексная форма записи вектора и Комплексная форма записи вектора двух ветвей:

Комплексная форма записи вектора

Комплексная форма записи вектора.

Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

Комплексная форма записи вектораи Комплексная форма записи вектора.

Результирующий ток также будет синусоидален:

Комплексная форма записи вектора.

Определение амплитуды Комплексная форма записи вектораи начальной фазы Комплексная форма записи вектораэтого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы.

Комплексная форма записи вектора

На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t =0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным Комплексная форма записи вектора .

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

Комплексная форма записи вектора .

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения Комплексная форма записи вектора и Комплексная форма записи вектора из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения Комплексная форма записи вектора путем формального учета угловой частоты: Комплексная форма записи вектора .

Представление синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов комплексными числами

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Комплексная форма записи вектора

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

показательной Комплексная форма записи вектора

тригонометрической Комплексная форма записи вектора или

алгебраической Комплексная форма записи вектораформах.

Например, ЭДС Комплексная форма записи вектора , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

Комплексная форма записи вектора .

Фазовый угол Комплексная форма записи вектора определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

Комплексная форма записи вектора .

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

Комплексная форма записи вектора,(4)

Комплексное число Комплексная форма записи вектора удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:

Комплексная форма записи вектора,(5)

Параметр Комплексная форма записи вектора , соответствующий положению вектора для t =0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: Комплексная форма записи вектора , а параметр Комплексная форма записи векторакомплексом мгновенного значения.

Параметр Комплексная форма записи вектора является оператором поворота вектора на угол w t относительно начального положения вектора.

Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота Комплексная форма записи вектораесть его поворот относительно первоначального положения на угол ± a .

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды Комплексная форма записи вектора и оператора поворота Комплексная форма записи вектора :

Комплексная форма записи вектора .

Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

Комплексная форма записи вектора,(6)

Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:

Комплексная форма записи вектора ,

— то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу Комплексная форма записи вектора , т.е. угол, который образует вектор Комплексная форма записи вектора с положительной полуосью +1:

Комплексная форма записи вектора .

Тогда мгновенное значение напряжения:

Комплексная форма записи вектора ,

где Комплексная форма записи вектора .

При записи выражения для определенности было принято, что Комплексная форма записи вектора , т.е. что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если Комплексная форма записи вектора , то при Комплексная форма записи вектора (второй квадрант)

Комплексная форма записи вектора,(7)

а при Комплексная форма записи вектора (третий квадрант)

Комплексная форма записи вектора(8)
Комплексная форма записи вектора(9)

Если задано мгновенное значение тока в виде Комплексная форма записи вектора , то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:

Комплексная форма записи вектора .

Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.

Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока Комплексная форма записи вектора по рис. 5 получим:

Комплексная форма записи вектора
где Комплексная форма записи вектора
;

Комплексная форма записи вектора .

Действующее значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов

В соответствии с выражением (3) для действующего значения синусоидального тока запишем:

Комплексная форма записи вектора .

Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Таким образом, действующие значения синусоидальных тока, ЭДС и напряжения меньше своих амплитудных значений в Комплексная форма записи вектора раз:

Комплексная форма записи вектора.(10)

Поскольку, как будет показано далее, энергетический расчет цепей переменного тока обычно проводится с использованием действующих значений величин, по аналогии с предыдущим введем понятие комплекса действующего значения

Комплексная форма записи вектора .

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Какой практический смысл имеет изображение синусоидальных величин с помощью векторов?

2. Какой практический смысл имеет представление синусоидальных величин с использованием комплексных чисел?

3. В чем заключаются преимущества изображения синусоидальных величин с помощью комплексов по сравнению с их векторным представлением?

4. Для заданных синусоидальных функций ЭДС и тока Комплексная форма записи вектора записать соответствующие им комплексы амплитуд и действующих значений, а также комплексы мгновенных значений.

5. На рис. 5 Комплексная форма записи вектора , а Комплексная форма записи вектора . Определить Комплексная форма записи вектора .

Ответ: Комплексная форма записи вектора .

Видео:Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать

Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексные числа

Комплексная форма записи вектораАлгебраическая форма записи комплексных чисел
Комплексная форма записи вектораСложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Комплексная форма записи вектораКомплексно сопряженные числа
Комплексная форма записи вектораМодуль комплексного числа
Комплексная форма записи вектораДеление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Комплексная форма записи вектораИзображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости
Комплексная форма записи вектораАргумент комплексного числа
Комплексная форма записи вектораТригонометрическая форма записи комплексного числа
Комплексная форма записи вектораФормула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
Комплексная форма записи вектораУмножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
Комплексная форма записи вектораИзвлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Комплексная форма записи вектора

Видео:10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числаСкачать

10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Пусть x и y — произвольные вещественные числа.

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0) .

Комплексные числа, заданные парами (0, y) , называют чисто мнимыми числами .

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .

Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y) , записывается в виде

z = x + i y .(1)

где использован символ i , называемый мнимой единицей .

Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z .

Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z .

Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами .

Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами .

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Умножение комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

i 2 = – 1 .(2)

По этой причине

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа z = x + iy и Комплексная форма записи векторау которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами .

Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения , обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Комплексная форма записи вектораКомплексная форма записи вектора
Комплексная форма записи вектораКомплексная форма записи вектора
Комплексная форма записи вектораКомплексная форма записи вектора
Комплексная форма записи вектораКомплексная форма записи вектора
Комплексная форма записи вектораКомплексная форма записи вектора

Видео:Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать

Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Комплексная форма записи вектора

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

Комплексная форма записи вектора

а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:

Комплексная форма записи вектораКомплексная форма записи вектора
Комплексная форма записи вектораКомплексная форма записи вектора
Комплексная форма записи вектораКомплексная форма записи вектора
Комплексная форма записи вектораКомплексная форма записи вектора

Замечание . Если z — вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле

Комплексная форма записи вектора

Комплексная форма записи вектора

Комплексная форма записи вектора

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Комплексная форма записи вектора

Деление на нуль запрещено.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью , и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).

Комплексная форма записи вектора

Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью , а ось ординат Oy – мнимой осью .

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТ

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z .

Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z .

Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Комплексная форма записи вектора

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента , обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Комплексная форма записи вектора

Тогда оказывается справедливым равенство:

Комплексная форма записи вектора

Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

Комплексная форма записи вектора(3)

Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

Комплексная форма записи вектора(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение
числа z
Знаки x и yГлавное значение аргументаАргументПримеры
Положительная
вещественная
полуось
0φ = 2kπКомплексная форма записи вектора
Первый
квадрант
Комплексная форма записи вектораКомплексная форма записи вектораКомплексная форма записи вектора
Положительная
мнимая
полуось
Комплексная форма записи вектораКомплексная форма записи вектораКомплексная форма записи вектора
Второй
квадрант
Комплексная форма записи вектораКомплексная форма записи вектораКомплексная форма записи вектора
Отрицательная
вещественная
полуось
Положительная
вещественная
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
0
Аргументφ = 2kπ
ПримерыКомплексная форма записи вектора
Расположение
числа z
Первый
квадрант
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Комплексная форма записи вектора
АргументКомплексная форма записи вектора
ПримерыКомплексная форма записи вектора
Расположение
числа z
Положительная
мнимая
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Комплексная форма записи вектора
АргументКомплексная форма записи вектора
ПримерыКомплексная форма записи вектора
Расположение
числа z
Второй
квадрант
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Комплексная форма записи вектора
АргументКомплексная форма записи вектора
ПримерыКомплексная форма записи вектора

x z

x z

y z

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

Комплексная форма записи вектора

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Комплексная форма записи вектора

Комплексная форма записи вектора

Комплексная форма записи вектора

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

Комплексная форма записи вектора

Комплексная форма записи вектора

Комплексная форма записи вектора

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Комплексная форма записи вектора

Комплексная форма записи вектора

Комплексная форма записи вектора

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Расположение
числа z
Отрицательная
вещественная
полуось
Знаки x и yТретий
квадрант
Знаки x и yОтрицательная
мнимая
полуось
Знаки x и yЧетвёртый
квадрант
Знаки x и y
z = r (cos φ + i sin φ) ,(5)

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа .

Видео:4. Показательная форма комплексного числаСкачать

4. Показательная форма комплексного числа

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

cos φ + i sin φ = e iφ .(6)

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

z = r e iφ ,(7)

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа .

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

Комплексная форма записи вектора

Комплексная форма записи вектора

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

или, что то же самое, числа e iφ , при любом значении φ равен 1.

Видео:1.2 Комплексные числа и их представление векторами на комплексной плоскостиСкачать

1.2 Комплексные числа и их представление векторами на комплексной плоскости

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел Комплексная форма записи вектораи Комплексная форма записи векторазаписанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Комплексная форма записи вектора

Комплексная форма записи вектора

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Комплексная форма записи вектора

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть Комплексная форма записи вектора— произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Корнем n — ой степени из числа z0 , где Комплексная форма записи вектораназывают такое комплексное число z = r e iφ , которое является решением уравнения

z n = z0 .(8)

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

Комплексная форма записи вектора

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ , где k — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

Комплексная форма записи вектора

следствием которых являются равенства

Комплексная форма записи вектора(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

Комплексная форма записи вектора(10)

Комплексная форма записи вектора

Комплексная форма записи вектора

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов zk при k = 0 , . , n – 1 располагаются в вершинах правильного n — угольника, вписанного в окружность радиуса Комплексная форма записи векторас центром в начале координат.

Замечание . В случае n = 2 уравнение (8) имеет два различных корня z1 и z2 , отличающихся знаком:

Пример 1 . Найти все корни уравнения

Комплексная форма записи вектора

то по формуле (10) получаем:

Комплексная форма записи вектора

Комплексная форма записи вектора

Комплексная форма записи вектора

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

Видео:Экспоненциальная запись комплексного числаСкачать

Экспоненциальная запись комплексного числа

Комплексная форма записи вектора

Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy , (7.1)

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Если x =0, то число 0+ iy = iy называется чисто мнимым; если y =0, то число x + i 0= x отождествляется с действительным числом x , а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных чисел, то есть Комплексная форма записи вектора .

Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re z , а yмнимой частью комплексного числа z и обозначается y = Im z .

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и Комплексная форма записи вектора называются комплексно сопряженными.

Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой M ( x ; y ) плоскости x 0 y такой, что x = Re z , y = Im z . Верно и обратное: каждую точку M ( x ; y ) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + iy (рис. 7.1).

Комплексная форма записи вектора

Комплексное число z = x + iy можно задавать с помощью радиус-вектора Комплексная форма записи вектора . Длина вектора Комплексная форма записи вектора , изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается | z | или r . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Комплексная форма записи вектора называется аргументом комплексного числа, обозначается Arg z или φ.

Для комплексного числа z =0 аргумент не определен. Аргумент комплексного числа Комплексная форма записи вектора – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого k ( k =0;1;1;2;2…): Комплексная форма записи вектора , где arg zглавное значение аргумента, заключенное в промежутке (–π;π). Иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π).

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора Комплексная форма записи вектора , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное значение аргумента комплексного числа z , то есть считать φ= arg z . Знаки полученных значений cos φ и sin φ по формулам (7.5), дают возможность определить, какой координатной четверти принадлежит угол φ.

Используя формулу Эйлера

комплексное число Комплексная форма записи вектора можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол Комплексная форма записи вектора ( k =0;1;1;2;2…).

Функция e i φ – периодическая с основным пери­одом 2 π, поэтому для записи комплексного числа в показательной форме по формуле 7.7 достаточно найти главное значение его аргумента, то есть считать φ = arg z .

Пример 7.1. Записать комплексные числа Комплексная форма записи вектора в тригонометрической и показательной формах.

Решение. Для z 1 имеем Комплексная форма записи вектора . Поэтому Комплексная форма записи вектора .

Для действительного числа Комплексная форма записи вектора . Поэтому

Комплексная форма записи вектора

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

Комплексная форма записи вектора

Из равенства (7.9) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. При этом число z = z 1 z 2 изображается вектором, соединяющим концы векторов Комплексная форма записи вектора , и исходящим из конца вычитаемого Комплексная форма записи вектора в конец уменьшаемого Комплексная форма записи вектора (см. рис. 7.2). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости:

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = 1. Действительно,

Найдем произведение комплексных чисел Комплексная форма записи вектора и Комплексная форма записи вектора . Производя все необходимые выкладки согласно формуле (7.11), получим формулу произведения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме :

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

4. Частным двух комплексных чисел z 1 и Комплексная форма записи вектора называется комплексное число z , которое, будучи умноженным на z 2, дает число z 1, то есть Комплексная форма записи вектора , если Комплексная форма записи вектора .

Пусть Комплексная форма записи вектора , тогда с использованием этого определения получаем:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби Комплексная форма записи вектора на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = 1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пример 7.2. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел Комплексная форма записи вектора .

Решение. По формуле (7.8) сумма заданных чисел равна Комплексная форма записи вектора .

Согласно формуле (7.9) разность заданных чисел равна Комплексная форма записи вектора .

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

Комплексная форма записи вектора

Пример 7.3. Найти произведение и частное комплексных чисел Комплексная форма записи вектора , представив их в тригонометрической и показательной форме.

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z 2 можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

Комплексная форма записи вектора

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

Комплексная форма записи вектора

5. Извлечение корня n -ой степени – операция, обратная возведению

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

Корнем n -ой степени из комплексного числа z называется комплексное число ω, удовлетворяющее равенству ω n = z , то есть Комплексная форма записи вектора , если ω n = z .

Пусть Комплексная форма записи вектора , тогда по данному определению и формуле (7.13) Муавра можно записать: Комплексная форма записи вектора . Сравнивания части этого равенства, получим: Комплексная форма записи вектора . Отсюда Комплексная форма записи вектора (корень арифметический). Окончательно получаем:

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Видно, что для любого Комплексная форма записи вектора корень n -ой степени из комплексного числа z имеет равно n различных значений.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

Решение. Запишем уравнение в виде z 4 =–16+0∙ i . Отсюда по формуле (7.18) получим:

Комплексная форма записи вектора

Сформулируем несколько иначе основную теорему алгебры 3.2 над полем комплексных чисел .

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

Теорема 7.2. Если многочлен Pn ( x ) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень a + ib , то он имеет и сопряженный корень a ib Комплексная форма записи вектора

В разложение многочлена Комплексная форма записи вектора комплексные корни входят сопряженными парами. Пусть корни многочлена x 1 = a + ib и x 2 = a – ib . Перемножив линейные множители разложения Комплексная форма записи вектора , получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами x 2 + px + q и отрицательным дискриминантом. Действительно,

Комплексная форма записи вектора

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

🌟 Видео

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числаСкачать

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

➡️ КАК ВЫЧИТАТЬ ВЕКТОРЫ?Скачать

➡️ КАК ВЫЧИТАТЬ ВЕКТОРЫ?

Показательная форма комплексного числаСкачать

Показательная форма комплексного числа

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy
Поделиться или сохранить к себе: