Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Углы, связанные с окружностью
Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаВписанные и центральные углы
Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью
Содержание
  1. Вписанные и центральные углы
  2. Теоремы о вписанных и центральных углах
  3. Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
  4. Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
  5. Центральные и вписанные углы
  6. Центральный угол и вписанный угол
  7. Свойства центральных и вписанных углов
  8. Примеры решения задач
  9. Когда вписанный в окружность угол равен 25
  10. В окружности вписанный угол = 25 опирается на дугу АВ ?
  11. Помогите пожалуйста, завтра сдавать?
  12. Выписанный в окружность вписанный в окружность угол ВАС , равный 45 градусов, опирается на дугу ВМ?
  13. Определить радиус окружности, если вписанный в неё угол со сторонами a и b опирается на дугу y?
  14. Центральный угол на 38° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности?
  15. Найдите вписанный угол опирающийся на дугу которая составляет 10% окружности?
  16. Центральный угол на 45 градусов больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности?
  17. Вписанный угол окружности длиной 36пи см равен 35градусов?
  18. Найдите площадь сектора, ограниченного дугой AB, если радиус окружности равен 4, а величина вписанного угла, опирающегося на AB, равна 30 градусов?
  19. Дана окружность радиуса 1?
  20. Центральный угол на 45 градусов больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности?
  21. Углы, связанные с окружностью
  22. Вписанные и центральные углы
  23. Теоремы о вписанных и центральных углах
  24. Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
  25. Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
  26. Центральные и вписанные углы
  27. Центральный угол и вписанный угол
  28. Свойства центральных и вписанных углов
  29. Примеры решения задач

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга
Вписанный уголКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Видео:ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 25.Найдите уголСкачать

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 25.Найдите угол

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга
Угол, образованный касательной и секущейКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга
Угол, образованный двумя касательными к окружностиКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга
Формула: Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга
Формула: Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:ОГЭ без рекламы математика 17 вариант задача 25Скачать

ОГЭ без рекламы  математика 17 вариант задача 25

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

В этом случае справедливы равенства

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

В этом случае справедливы равенства

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Центральные и вписанные углы

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

О чем эта статья:

Видео:Все виды №25 из банка ФИПИ ОГЭ по математикеСкачать

Все виды №25 из банка ФИПИ ОГЭ по математике

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Задание 25 ОкружностьСкачать

Задание 25  Окружность

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Когда вписанный в окружность угол равен 25

Видео:Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105

В окружности вписанный угол = 25 опирается на дугу АВ ?

Геометрия | 10 — 11 классы

В окружности вписанный угол = 25 опирается на дугу АВ .

Площадь сектора с дугой АВ = 5п см в квадрате.

Найдите радиус окружности (см).

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Написал все во вложении.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Видео:Решение задания №25 варианта 1 из ОГЭ по математике Ященко 36 вариантов ФИПИ 2023 Ответы ГДЗСкачать

Решение задания №25 варианта 1 из ОГЭ по математике Ященко 36 вариантов ФИПИ 2023 Ответы ГДЗ

Помогите пожалуйста, завтра сдавать?

Помогите пожалуйста, завтра сдавать.

Вписанный угол окружности длиной 36 Пи см равен 35 градусов.

Найдите : а)длину дуги на которую опирается этот угол б)площадь сектора, ограниченного этой дугой.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Видео:Задача 6 №27876 ЕГЭ по математике. Урок 117Скачать

Задача 6 №27876 ЕГЭ по математике. Урок 117

Выписанный в окружность вписанный в окружность угол ВАС , равный 45 градусов, опирается на дугу ВМ?

Выписанный в окружность вписанный в окружность угол ВАС , равный 45 градусов, опирается на дугу ВМ.

Радиус окружности равен 6 см.

Найти площадь треугольника ВОС(О — центр окружности).

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Видео:Решение задачи 25 из ОГЭ по математике 9 классСкачать

Решение задачи 25 из ОГЭ по математике 9 класс

Определить радиус окружности, если вписанный в неё угол со сторонами a и b опирается на дугу y?

Определить радиус окружности, если вписанный в неё угол со сторонами a и b опирается на дугу y.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Видео:Диагностическая работа-1 в формате ОГЭ. Задача-25Скачать

Диагностическая работа-1 в формате ОГЭ. Задача-25

Центральный угол на 38° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности?

Центральный угол на 38° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

Найдите вписанный угол.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Видео:2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABCСкачать

2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABC

Найдите вписанный угол опирающийся на дугу которая составляет 10% окружности?

Найдите вписанный угол опирающийся на дугу которая составляет 10% окружности.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Центральный угол на 45 градусов больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности?

Центральный угол на 45 градусов больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

Найдите вписанный угол.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Видео:ОГЭ Задание 25 Вписанный уголСкачать

ОГЭ Задание 25 Вписанный угол

Вписанный угол окружности длиной 36пи см равен 35градусов?

Вписанный угол окружности длиной 36пи см равен 35градусов.

Найдите : а)длину дуги, на которую опирается этот угол ; б)площадь сектора, ограниченного этой дугой.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Видео:Найти вписанные в окружность углы (bezbotvy)Скачать

Найти вписанные в окружность углы (bezbotvy)

Найдите площадь сектора, ограниченного дугой AB, если радиус окружности равен 4, а величина вписанного угла, опирающегося на AB, равна 30 градусов?

Найдите площадь сектора, ограниченного дугой AB, если радиус окружности равен 4, а величина вписанного угла, опирающегося на AB, равна 30 градусов.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Видео:ОГЭ Задание 25 Условие принадлежности четырёх точек одной окружностиСкачать

ОГЭ Задание 25 Условие принадлежности четырёх точек одной окружности

Дана окружность радиуса 1?

Дана окружность радиуса 1.

Найдите длину дуги соответствующей сектору площадью.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Видео:Задание 25 Вписанная и описанная окружностиСкачать

Задание 25 Вписанная и описанная окружности

Центральный угол на 45 градусов больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности?

Центральный угол на 45 градусов больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

Найдите вписанный угол.

Вы открыли страницу вопроса В окружности вписанный угол = 25 опирается на дугу АВ ?. Он относится к категории Геометрия. Уровень сложности вопроса – для учащихся 10 — 11 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Геометрия, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

Углы, связанные с окружностью

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаВписанные и центральные углы
Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Теоремы о вписанных и центральных углах

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанный уголКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника
ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаУгол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаУгол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаУгол, образованный касательной и секущейКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дугаУгол, образованный двумя касательными к окружностиКогда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

В этом случае справедливы равенства

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

В этом случае справедливы равенства

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Центральные и вписанные углы

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

О чем эта статья:

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Поделиться или сохранить к себе:
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга
Формула: Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга
Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга
Формула: Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга
Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Когда вписанный в окружность угол равен 25 то дуга