Когда параллельные прямые пересекаются в бесконечности (6 видео)

Новое в блогах

Содержание

Пересекаются ли параллельные или Что говорил Лобачевский?
Параллельные прямые пересекаются в бесконечности, Миф или реальность?
uCrazy.ru
Навигация
ЛУЧШЕЕ ЗА НЕДЕЛЮ
ОПРОС
СЕЙЧАС НА САЙТЕ
КАЛЕНДАРЬ
Сегодня день рождения
Рекомендуем
Когда пересекаются параллельные прямые
💡 Видео

Видео:Параллельные прямые пересекаются в бесконечности - Трейлер 2016Скачать

Пересекаются ли параллельные или Что говорил Лобачевский?

Недавно в посте на околонаучные темы один из комментаторов завел разговор о геометрии Лобачевского (что он ее не понимает) и даже вроде попросил объяснить. Я тогда ограничилась утверждением, что понимаю. Объяснять эту теорию в ограниченных рамках комментария и одним текстом (без рисунков) показалось мне невозможным.

Однако, подумав, я все же решила попробовать дать небольшой популярный экскурс в эту теорию.

Немного предыстории. Геометрия со времен Евклида стала аксиоматической теорией, в которой большинство утверждений доказывалось на основе нескольких постулатов (аксиом). Считалось, что эти аксиомы «очевидны», т.е. отражают свойства реального (физического) пространства.

Одна из этих аксиом вызывала у ученых подозрение: а нельзя ли ее вывести из остальных постулатов? Современная формулировка этой аксиомы такова:

«Через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной ей». То, что одну-то прямую можно провести, является не аксиомой, а теоремой.

При этом «параллельной» называется прямая, не пересекающая данную. Итак, суть аксиомы в том, что такая прямая – одна!

(Распространенное утверждение «Лобачевский доказал, что параллельные прямые могут и пересекаться» — конечно, является вопиюще неправильным! Ведь это бы противоречило их определению!)

Лобачевский, как и многие до него, решил доказать, что это утверждение можно вывести из других аксиом. Для этого он, как это часто делается в математике, выбрал метод «от противного», т.е. предположил, что прямых, не пересекающих данную, больше одной и попытался вывести из этого противоречие с другими фактами. Но чем дальше он развивал теорию, тем больше убеждался, что никакого противоречия не предвидится! Т.е. получалось, что теория с «неправильным» постулатом тоже имеет право на существование!

Конечно, в первое время его выкладки не признавали, смеялись над ним. Именно поэтому великий Гаусс (который пришел к тем же выводам) не рискнул опубликовать свои результаты. Но со временем пришлось признать, что ЧИСТО ЛОГИЧЕСКИ теория Лобачевского ничем не хуже евклидовой.

Один из остроумных способов убедиться в этом – придумать такие «прямые», которые ведут себя как «прямые» Лобачевского. И математики нашли такой пример, и не один.

Пожалуй, самой простой является модель Пуанкаре. Вы можете сами построить ее нехитрыми приборами.

Начертите не листке бумаги прямую. Возьмите циркуль и, ставя его иглу на эту прямую, нарисуйте полуокружности, находящиеся с одной стороны от прямой. Теперь сотрите прямую (и с ней – концевые точки полуокружностей). Так вот, эти полуокружности «без концов» и будут вести себя, как прямые в геометрии Лобачевского!

Действительно, выделим одну полуокружность и точку вне нее. Есть достаточно много полуокружностей, которые не пересекаются с исходной и все проходят через данную точку. Среди них выделяются две: они касаются нашей исходной «прямой» в концевых точках (которые мы, как Вы помните, стерли) Т.е. реального пересечения не происходит. Эти две окружности задают «границы», между которыми находятся все прямые, не пересекающие данную. Их – бесконечное количество.

Можно заметить, что треугольники в этой модели не такие, как на плоскости (евклидовой): сумма их углов меньше 180 градусов! Впрочем, чем меньше треугольник, тем больше сумма его углов. В «малом», на небольших расстояниях, геометрия Лобачевского практически совпадает с геометрией Евклида. Поэтому, вообще говоря, мы не сможем «экспериментально» отличить одну от другой, если окажется, что доступные нам (космические) расстояния– малы для этой цели.

Впрочем, в наше время ни физики, ни, тем более, математики, не пытаются воспринимать геометрию Лобачевского как модель «реального», физического пространства. Математики поняли, что все, что они могут сказать: если верны такие-то аксиомы, то верны и такие-то теоремы. Ну, а что такое «множества», «точки», «прямые», «углы», «расстояния», и т.п. – этого мы не знаем! Прямо как у Станислава Лема: «Сепульки – это объекты для сепулькирования»

«Говорят, Бертран Рассел определил математику как науку, в которой мы никогда не знаем, о чем говорим, и насколько правильно то, что мы говорим. Известно, что математика широко применяется во многих других областях науки. [ … ] Таким образом, одна из главных функций математического доказательства – создание надежной основы для проникновения в суть вещей.»

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые пересекаются в бесконечности, Миф или реальность?

Одна из самых сложных понятий ассимилироваться в первые классы проективной геометрии является неправильной точки. Un неправильная точка точка в бесконечности и может быть переведено или истолковано как направление.

В то время как метрическая геометрия две линии пересекаются, либо параллельны, В проективной геометрии всегда пересекаются в точке надлежащего или ненадлежащего, что не меняется в любом случае работы с этой геометрической математической модели.

Мои ученики хотели, чтобы выделить этот аспект в своих рабочих мест год, опыт работы в образовательных инноваций, в которых субъект разработана в блогах, предложили эту любопытную статью. Группы “Проектирование-Андо” он отображается его имя:

Параллельные прямые пересекаются в бесконечности, Миф или реальность?

Мы всегда слышали, что две параллельные линии являются те, которые не простираются за не получить, чтобы сократить, но мы также знаем, что концепция две параллельные линии пересекаются в бесконечности. Какое из этих двух утверждений верно? Тогда попробуйте ответить на дилемму, в которой мы.

Евклид это был греческий математик и геометр, который жил около 300 A.c. Он известен как “Отец Геометрия” и был создателем геометрии, которая носит его собственное имя.

La Евклидова геометрия это тот, который изучает свойства плоских и трехмерном пространстве. Презентация это делается через систему аксиом,, из ряда предположений, которые, как предполагается, чтобы быть правдой, и через логические операции, генерирует новые предположения, истинность которых значение также положительные. Пять постулатов Евклида, поднятых в вашей системе:

Учитывая две точки можно нарисовать одну и только одну прямую, соединяющую.
Любой сегмент может быть продлен непрерывно в любом направлении.
Вы можете нарисовать окружность с центром в любой точке и любого радиуса.
Все прямые углы равны. Если линия, за счет сокращения двух, Форма углы, меньшие прямым углом, эти две линии пересекают бесконечно длинной стороны под углами, которые меньше двух.

Последнее предположение, который известен как постулат о параллельных, ФРУ переформулировать:

5. ООН Punto Una вне линии, SE Puede Una trazar только параллельно ей данной прямой.

Евклид asumió SUS постулирует, что все самоочевидные аксиомы Эран у на оба закона, что requerían demostración. Однако, EL пятого постулата, что resultó Bien си-эс-совместимых Otro Con Los Cuatro, ES cierto так Independient. А именно, как эль пятый постулат его как отрицание дель пятый постулат, Сын совместимых Con Los отрос Cuatro постулатов. Лас-геометрии, где нет ES EL пятый постулат не действует Llaman В евклидовой геометрии-.

En El Renaissance Las Nuevas необходимых для Representación Del Arte Y La технику empujan ciertos гуманисты студии PROPIEDADES геометрических. Аль обнаружить ее точки зрения Y La sección, создают необходимость заложить формальной основой, на которой строить новые формы геометрии, что это подразумевает: la Проективная геометрия, принципы, которые появляются в семнадцатом веке:

Две точки определяют линию.
Каждая пара линий пересекаются в точке (когда две линии параллельны мы говорим, что пересекаются в точке бесконечности известный как неправильная точка).

Через эти два принципа мы можем получить ответ на наш вопрос. Разница находится в пятый постулат Евклида (параллельного); говорит: «Через точку вне линии, можно нарисовать одну, параллельную данной линии «. Эта аксиома, в проективном мы видели, что там, Не так, что не существует “Parallels”; все линии секущей, а именно, пересекаются в точке. Поэтому, Дело в том, концепция неправильная (индекс бесконечности; потому что они не представляют собой особое место, как и другие пункты); которые определяли бы “адрес” линии. Все прямые euclideanamente- бы “Parallels”, проективно пересекаются в одной точке неправильного поворота и неправильного определения всех точек плоскости неправильной линии, уникален тем, что плоскость.

Хотя мы как раз заявил,, В заключение ответа на наш вопрос о том, параллельные прямые пересекаются в бесконечности следующие: Параллельные линии С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ГЕОМЕТРИЯ проективные режутся в бесконечном, Но, основываясь на евклидовой геометрии RECTAN не достигают Никогда не режьте.

Видео:Параллельные прямые пересекаются в бесконечности (2015)Скачать

uCrazy.ru

ЛУЧШЕЕ ЗА НЕДЕЛЮ

ОПРОС

СЕЙЧАС НА САЙТЕ

КАЛЕНДАРЬ

Сегодня день рождения

Когда пересекаются параллельные прямые

Из школьного курса геометрии каждому человеку известно, что параллельными именуются прямые, которые не имеют общей точки. Однако это простое утверждение почему-то изредка опровергается различными знакомыми, которые доказывают, что коллинеарные линии могут пересекаться. В реальности, геометрия Евклида, которую преподают в школе не единственный вариант этой науки. При более конкретном исследовании выясняется, что пересечение параллельных прямых зависит от формы поверхности, на которой они проведены. Рассмотрим несколько различных вариантов геометрий, принципиально отличающихся друг от друга.

Это привычная всем геометрия, имеющая историю в не одну тысячу лет. Ее начала были известны еще в Древнем Египте, а аксиомы (постулаты, утверждения) были сформулированы в Древней Греции выдающимся математиком древности Евклидом. Все его утверждения не вызывали сомнений, кроме пятого. Это утверждение показывало, что через точку, лежащую вне прямой, есть возможность провести единственную прямую коллинеарную заданной. Коллинеарные прямые в этом случае не пересекаются. Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам. Однако попытки математически доказать 5 постулат Евклида упирались в порочный круг.

Однако житейский опыт дает возможность не совсем верить в справедливость утверждения, что параллельные прямые не пересекаются — если смотреть на ровное железнодорожное полотно, то будет впечатление, что где-то вдалеке параллельные рельсы сойдутся в одну точку. То же самое касается и лучей идущих от точечного источника — тени от разных предметов параллельны, но оставившие их лучи вышли из одной точки.

Приведенные выше рассуждения дали возможность создать проективную геометрию, которая дополняет привычную Евклидову прямую бесконечно удаленной точкой, а на плоскости появляется прямая бесконечно удаленных точек. Вот на этой прямой и пересекаются все коллинеарные прямые.

В 19 веке Николай Иванович Лобачевский, а также немец Гаусс и венгр Больяи, предложили геометрию, в которой имеются минимум 2 прямые коллинеарные заданной. Эти прямые пересекаются между собой и приближаются к заданной прямой с двух различных направлений. Место их пересечения с заданной прямой находится в бесконечно удаленной точке. Прямые, которые пересекаются с заданной прямой еще дальше, называются сверхпараллельными.

Наглядно это можно представить, если изобразить плоскость, как овал, и провести внутри него прямую. Линия границы овала будет представлять в таком варианте прямую бесконечно удаленных точек. Затем вне данной прямой зафиксируем точку и проведем через нее 2 прямые, пересекающие заданную на границе овала (то есть на прямой бесконечно удаленных точек). Эти 2 прямые и будут называться параллельными. Те же прямые, которые пересекаются с данной прямой за пределами овала окажутся сверхпараллельными.

Согласно последним научным данным, геометрия Лобачевского имеет место в реальной природе вблизи крупных тяготеющих масс, где само пространство перестает быть плоским и получает кривизну. Сумма углов треугольника в этом варианте не достигает 180 градусов.

Сферическая геометрия и геометрия Римана

Тоже в 19 веке немец Риман по-своему проанализировал 5 утверждение Евклида и предположил, что коллинеарных прямых нет в принципе. На основании своего предположения Риман создал геометрию, в которой у всех прямых имеется общая точка, а сумма углов треугольника превышает 180 градусов. Нет в геометрии Римана и понятия, что точка лежит между двумя другими точками. Но это вполне реальная с математической точки зрения геометрия.

Объяснить римановскую геометрию на доступном примере сложно, поэтому имеет смысл обратиться к близкой к ней по множеству характеристик сферической геометрии (правда, здесь параллельные прямые пересекаются сразу в 2 точках).

Рассмотрим в качестве сферы нашу планету Земля. Как одну из прямых возьмем экватор, а в качестве коллинеарных между собой прямых будем считать меридианы. Они коллинеарны друг относительно друга, поскольку пересекают экватор под прямым углом (углом между пересекающимися линиями в математике является угол между их касательными, проведенными в точке пересечения данных линий). Однако известно, что меридианы пересекаются на полюсах.

Общим выводом, ради которого была написана статья, является утверждение, что нельзя достоверно сказать, пересекаются параллельные прямые или нет, если дополнительно не указывать, какой из видов геометрии имеется в виду.