Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Содержание
  1. Геометрия. 7 класс
  2. ГДЗ самостоятельные и контрольные работы по геометрии 7 класс Иченская, Атанасян Просвещение
  3. Для кого онлайн справочник является незаменимым помощником?
  4. Доводы в защиту сборников готовых заданий
  5. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  6. Определения параллельных прямых
  7. Признаки параллельности двух прямых
  8. Аксиома параллельных прямых
  9. Обратные теоремы
  10. Пример №1
  11. Параллельность прямых на плоскости
  12. Две прямые, перпендикулярные третьей
  13. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  14. Признаки параллельности прямых
  15. Пример №2
  16. Пример №3
  17. Пример №4
  18. Аксиома параллельных прямых
  19. Пример №5
  20. Пример №6
  21. Свойства параллельных прямых
  22. Пример №7
  23. Пример №8
  24. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  25. Расстояние между параллельными прямыми
  26. Пример №9
  27. Пример №10
  28. Справочный материал по параллельным прямым
  29. Перпендикулярные и параллельные прямые
  30. 📹 Видео

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Формулировка определения параллельных прямых.
  • Изображение параллельных прямых различными методами.
  • Как распознать на чертежах параллельные прямые?
  • Нахождение на рисунке пары накрест лежащих односторонних углов.

Параллельные прямые – две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Параллельные отрезки – два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Параллельные лучи – два луча называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже знаете, что на плоскости бывают пересекающиеся и непересекающиеся прямые, вы знаете, как их строить на чертеже. Теперь давайте рассмотрим прямые, которые называются параллельными, и научимся их строить различными способами.

Для начала дадим определение параллельным прямым.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Параллельные прямые имеют своё обозначение: a ║ b.

Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные прямой c. Ранее мы выяснили, что такие прямые не пересекаются, следовательно, прямые а и b параллельны.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Очень часто рассматриваются не только параллельные прямые, но и параллельные отрезки.

Дадим им определение.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Два луча называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Рассмотрим прямую с, пересекающую прямые а и b.

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Как видно из рисунка, при пересечении прямых а и b секущей c образуются 8 углов. Пронумеруем полученные углы.

Оказывается, некоторые пары образованных углов имеют свои названия.

Так, например, углы 3 и 5, 4 и 6 ‑ называются накрест лежащие углы.

Углы 4 и 5 или 3 и 6 ‑ называются односторонними углами.

А пары углов 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6 или 3 и 7 ‑ называются соответственными углами.

Как же можно построить параллельные прямые?

Для построения параллельных прямых существует несколько способов построения с помощью различных чертёжных инструментов. Рассмотрим построение параллельных прямых с помощью чертёжного угольника и линейки.

Построим прямую b, проходящую через точку M и параллельную данной прямой а.

Приложим чертёжный угольник к прямой а, к нему приложим линейку. Теперь передвинем угольник вдоль линейки так, чтобы точка M оказалась на стороне угольника, остается провести прямую b. Прямые а и b будут параллельны, на основе признаков параллельности двух прямых, которые будут изучены позднее.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Материал для углублённого изучения темы

Другие способы построения параллельных прямых.

Рассмотрим ещё два способа построения параллельных прямых с помощью чертёжных инструментов.

В чертёжной практике очень часто используется способ построения параллельных прямых с помощью рейсшины.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

При выполнении столярных работ, для разметки параллельных прямых используется ещё один инструмент – малка, который представляет собой две планки, скреплённые шарниром.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

При нанесении параллельных рисок можно использовать рейсмус, который представляет собой деревянную заготовку с двумя регулируемыми брусками, на концах который прикреплены для нанесения рисок иглы или гвозди.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Один из односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей на 40º меньше другого. Найдите меньший угол, если известно, что сумма односторонних углов равна 180°.

Пусть х – меньший из односторонних углов, тогда больший равен х + 40. Т. к. сумма односторонних углов по условию равна 180°, составим уравнение.

х = 70° – градусная мера меньшего угла.

№ 2. Через параллельные прямые а и m проведены секущие АК и КР так, как показано на рисунке. КО = ВК = АК, при этом АК = КР = 9 см, отрезок ВО =АР, АР = 6 см. На сколько сантиметров периметр ∆ВОК меньше периметра ∆АКР?

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Решение: найдём периметр ∆АКР.

Р∆АКР = АК + КР + АР = 9 + 9 + 6 = 24 см

Найдём периметр ∆КВО. Для этого вычислим длины сторон треугольника КВО, исходя из условия задачи.

КО = ВК =АК = 9 = 6 см.

Р∆КВО = ВК + КО + ВО = 6 + 6 + 4 = 16 см

Вычислим, на сколько периметр ∆ВОК меньше периметра ∆АКР.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

ГДЗ самостоятельные и контрольные работы по геометрии 7 класс Иченская, Атанасян Просвещение

С началом изучения геометрии у семиклассников возникают сложности, так как предмет довольно объемный и сложный. Часто проблема возникает с пониманием геометрических терминов, теорем и аксиом. Но тяжелее всего детям выполнять геометрические задачи. Благодаря хорошему учебнику эта проблема не возникнет. Практическое пособие Иченской М.А. получило хороший отклик у преподавателей и экспертов. А с помощью гдз по геометрии самостоятельные и контрольные работы за 7 класс Иченская освоить материалы пособия станет еще легче. Ребенок сможет понять не только принцип решения упражнения, но и правильность оформления ответа.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Для кого онлайн справочник является незаменимым помощником?

Больше всего к помощи онлайн решений к самостоятельным и контрольным работам по геометрии 7 класс Иченской, Атанасяна прибегают такие группы людей:

  • ученики, которые испытывают трудности в изучении точных наук. Многие дети обладают гуманитарным складом ума и осваивать математические предметы им довольно сложно. Благодаря ГДЗ станет на одну проблему меньше, возникнет понимание предмета, и вся нужная информация усвоится;
  • дети, которые вынуждены часто пропускать занятия, так как часто болеют или выезжают на различные внешкольные мероприятия. После систематических пропусков возникает пробел в знаниях, а это влечет за собой риск получения плохих оценок. Геометрия сложный предмет, для изучения которого важная регулярность. С помощью решебника ребенок без труда наверстает упущенное и не будет чувствовать себя неуверенно во время написания итоговых работ;
  • преподаватели, которые обучают детей геометрии в седьмом класса. На них лежит большая нагрузка в виде большого количества письменных заданий и упражнений школьников, которые нужно регулярно проверять. Очень часто после проведенных занятий не хватает времени на оперативную проверку и контроль. Использование ГДЗ поможет решить эту проблему, быстрая и качественная проверка гарантирована;
  • родители, которым нужно постоянно следить за уровнем полученных знаний ребенка. Важно всегда быть на чеку и регулярно проверять, как ребенок осваивает курс школьной программы по ГДЗ. С применением решебника не потребуется много времени и сил, чтобы дать оперативную оценку ситуации.

Видео:7 класс, 26 урок, Практические способы построения параллельных прямыхСкачать

7 класс, 26 урок, Практические способы построения параллельных прямых

Доводы в защиту сборников готовых заданий

Среди значительных плюсов сборника ответов к самостоятельным и контрольным работам по геометрии 7 класс авторы Иченская, Атанасян можно выделить:

  • быстрый и доступный поиск нужных заданий и решений;
  • отсутствие материальных затрат на дополнительные занятия с репетитором;
  • оформление всех ответов в полном соответствии с действующими образовательными стандартами;
  • возможность прибегнуть к помощи пособия в любой день и любое время;
  • постоянный самоконтроль выполненных домашних заданий, перед тем как сдать работу на проверку.

Ребенок, который занимается с решебником на еуроки ГДЗ, научится понимать материал, грамотно записывать условия и решения, научиться строить геометрические чертежи и выделять основную информацию из справочного пособия.

Видео:Геометрия 7 класса в одной задаче. Геометрия 7 класс кратко | МатематикаСкачать

Геометрия 7 класса в одной задаче. Геометрия 7 класс кратко | Математика

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. §13 геометрия 7 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. §13 геометрия 7 класс

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, но не принадлежит прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые. Говорят, что прямые Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыепересекаются в точке М.
Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Это можно записать так: Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые— знак принадлежности точки прямой, «Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыепараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеперпендикулярны (рис. 12), то пишут Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеb.
  2. Если Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 = 90°, то а Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеАВ и b Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеb.
  3. Если Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеОFА = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2). Из равенства этих треугольников следует, что Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеЗ = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые4 и Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые5 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые6.
  6. Так как Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые5 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые6 следует, что Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые6 = 90°. Получаем, что а Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеFF1 и b Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеFF1, а аКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые
2) Заметим, что Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 и Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3 следует, что Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеAOF = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 + Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3 + Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеl + Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 = 180° и Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3 + Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 = 180° следует, что Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеF и Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3. Кроме того, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3 и Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3 следует, что Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые4 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеBAF. Действительно, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые4 и Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеFAC равны как соответственные углы, a Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеFAC = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 + Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 = 180° (рис. 97, а).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 + Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3= 180°.

4) Из равенств Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые= Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3 и Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 + Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3 = 180° следует, что Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 + Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеBAF + Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Так как Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 = 90°, то и Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 = 90°, а, значит, сКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыепараллельны, то есть Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, лучи АВ и КМ.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, то Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые(рис. 161).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, перпендикулярную прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи строят другую перпендикулярную прямую Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, затем — третью прямую Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи т. д. Поскольку прямые Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеперпендикулярны одной прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, то из указанной теоремы следует, что Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, параллельной прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, то Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыетретьей прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3 иКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые5,Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые4 иКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 иКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые8,Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 иКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 иКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые6,Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3 иКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые7,Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 иКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые5,Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые4 иКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые8 — соответственные углы;
  • Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3 иКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые6,Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые4 иКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые5 — внутренние односторонние углы;
  • Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 иКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые7,Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 иКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые— данные прямые, АВ — секущая, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 (рис. 166).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Доказать: Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи продлим его до пересечения с прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыев точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 по условию, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеBMK =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеANM =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеBKM = 90°. Тогда прямые Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 (рис. 167).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Доказать: Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи секущей Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеl +Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 = 180° (рис. 168).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Доказать: Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи секущей Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеAOB = Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеBAO=Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеBAK = 26°, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеBAC = 2 •Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеADK +Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1=Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2. Так как Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые||Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые.

Реальная геометрия

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыепроходит через точку М и параллельна прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыев некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые||Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые(рис. 187).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Доказать: Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые||Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые.

Доказательство:

Предположим, что прямые Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыене параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, параллельные третьей прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые||Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2,Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3 =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые4. Доказать, что Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыепо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые. Так как Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, то Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыепо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, которая параллельна прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыепо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыене пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, которые параллельны прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыепересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, АВ — секущая,Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 иКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Доказать: Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2.

Доказательство:

Предположим, чтоКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыепо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, параллельные прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые— секущая,Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 иКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 — соответственные (рис. 196).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Доказать:Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые— секущая,Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 иКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Доказать:Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеl +Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 +Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3 = 180°. По свойству параллельных прямыхКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеl =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3 как накрест лежащие. Следовательно,Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеl +Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, т. е.Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 = 90°. Согласно следствию Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, т. е.Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 = 90°.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеАОВ =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеABD =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеADB =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыепараллельны, то пишут: Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые(рис. 211).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2 =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые3. Значит,Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые1 =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые2.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи АВКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, то расстояние между прямыми Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, А Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, С Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, АВКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, CDКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеCAD =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеравны (см. рис. 285). Прямая Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, проходящая через точку А параллельно прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, которая параллельна прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыебудет перпендикуляром и к прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеBAD +Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Тогда Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, параллельную прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Тогда Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые|| Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеравноудалены от прямых Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыена расстояние Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, то есть расстояние от точки М до прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеравно Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые. Но через точку К проходит единственная прямая Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, параллельная Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые. Значит, точка М принадлежит прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые.

Таким образом, все точки прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеравноудалены от прямых Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые. Прямая Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеКласс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые— параллельны.

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеи Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямыеесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Класс ответы 7 класс геометрия параллельные прямые

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📹 Видео

Параллельные прямые - геометрия 7 классСкачать

Параллельные прямые - геометрия 7 класс

Функция у=х² и у=х³ и их графики. Алгебра, 7 классСкачать

Функция у=х² и у=х³ и их графики. Алгебра, 7 класс

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ 7 класс геометрия АтанасянСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ 7 класс геометрия Атанасян

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

МЕРЗЛЯК-7 ГЕОМЕТРИЯ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. ПАРАГРАФ-13Скачать

МЕРЗЛЯК-7 ГЕОМЕТРИЯ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. ПАРАГРАФ-13

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямыхСкачать

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямых

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессора

Бестселлер Все правила по геометрии за 7 классСкачать

Бестселлер Все правила по геометрии за 7 класс

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямых

Контрольная работа по теме: "Параллельные прямые" | Геометрия 7 классСкачать

Контрольная работа по теме: "Параллельные прямые" | Геометрия 7 класс
Поделиться или сохранить к себе: