Определение
Существующие треугольники — это такие треугольники,
существование которых можно доказать с помощью неравенств.
Например существование треугольника, изображенного на рисунке 1,
можно доказать с помощью неравенств: AB + BC > AC, AC + BC > AB, AB + AC > BC
Если эти три неравенства истинны значит треугольник существует,
иначе он не существует.
Также существование того или иного треугольника можно проверить с
помощью одного условия: Если большая сторона треугольника меньше
суммы двух других сторон, значит треугольник существует,
иначе он не существует.
Теорема
Для доказательства того, о чем мы говорили существует теорема под названием неравенство треугольника. Формулировка теоремы:
каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Докажем, что каждая сторона треугольника, изображенного на рисунке 2, меньше суммы двух других сторон:
Доказательство теоремы
- Проведем отрезок CD равный отрезку CB.
- △BCD — равнобедренный, значит ∠ CBD=∠CDB.
- Рассмотрим △ABD: ∠ ABD >∠ CBD, следовательно ∠ ABD >∠ CDB, то AB
Видео:1713 сторона треугольника равна 18 А высота проведённая к этой стороне равна 17Скачать
Каждая сторона треугольника равна
Какие из следующих утверждений верны?
1) Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон.
2) В равнобедренном треугольнике имеется не более двух равных углов.
3) Если сторона и угол одного треугольника соответственно равны стороне и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
4) В треугольнике ABC, для которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, угол C наименьший.
Проверим каждое из утверждений:
1)«Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон.» — неверно, так как если 
имеем, что 
2) «В равнобедренном треугольнике имеется не более двух равных углов.» — неверно, в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, но они также могут быть равны и углу напротив основания.
3)«Если сторона и угол одного треугольника соответственно равны стороне и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.» — неверно, равенство определяется по трем элементам.
4)«В треугольнике ABC, для которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, угол C наименьший.» — верно, в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Видео:Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Установление соотношений между сторонами и углами треугольника.
- Формулирование неравенства треугольника.
- Теоремы о сравнении сторон и углов треугольника, их применение при решении задач.
- Проведение исследования о существовании треугольника с заданными элементами.
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Против большего угла лежит большая сторона.
- Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
- Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
- Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
- Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Ранее, на уроках геометрии, вы познакомились с различными фигурами, в том числе и с треугольником.
Сегодня мы продолжим изучать треугольники и рассмотрим соотношение между его элементами.
Теорема: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Отложим на стороне AB отрезок, равный стороне AC.
Угол 2 – внешний угол треугольника BDC, поэтому ∠2 > ∠B (по свойству внешнего угла треугольника).
∠1 = ∠2 как углы при основании равнобедренного ∆ADC (по свойству равнобедренного треугольника).
Справедлива и теорема, обратная данной. Против большего угла лежит большая сторона.
Предположим, что АВ = АС или АВ ∠ В.
Поэтому наше предположение неверное → AB > AC.
Докажем два следствия из этих теорем.
1 следствие. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Дано: ∆АВС – прямоугольный.
Доказательство: ∠В > ∠А, т. к. ∠В = 90° ( по условию), ∠А –острый → АС > СВ (по обратной теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника: против большего угла лежит большая сторона).
Что и требовалось доказать.
Докажем второе следствие из этих теорем.
Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Это следствие называется признак равнобедренного треугольника.
Доказать: ∆АВС – равнобедренный
Докажем, что АВ = ВС.
Пусть АВ > ВС →∠С > ∠А (по теореме доказанной выше: против большей стороны лежит больший угол), противоречит условию, т. к. ∠А = ∠С . → АВ = ВС →∆АВС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника).
Что и требовалось доказать.
Докажем теорему по соотношению между сторонами треугольника.
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Доказать: АВ ∠1 (так как угол 1 часть угла АВD), →∠ABD > ∠2 (так как ∠1 = ∠2).
Так как против большего угла лежит большая сторона (по теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника) → AB ВН (по обратной теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника).
Рассмотрим ещё случай АВ = ВС → ∆АВС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника). То ВМ = ВН (по свойству равнобедренного треуголника, высота и медиана совпадают, если проведены к его основанию)→ ВМ ≥ ВН.
Что и требовалось доказать.
Разбор заданий тренировочного модуля.
1 Дано: ABC, равнобедренный, вычислите чему равна третья сторона треугольника, если две других равны 8 см и 4 см?
Объяснение: По определению равнобедренного треугольника, две его боковые стороны равны, следовательно это будет сторона равная 4 см или 8см.
Сторона 4см не может быть, т. к. 8см = 4 см + 4 см., что противоречит теореме о соотношениях между сторонами треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Предположим, что боковые стороны равны 8 см. Тогда, по теореме о соотношениях между сторонами треугольника, каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, получим следующее соотношение между сторонами треугольника:
🎥 Видео
Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5Скачать
Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Неравенство треугольника ★ Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторонСкачать
Почему каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон?Скачать
По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать
Лайфхак для школьников\Теорема: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторонСкачать
Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать
ОГЭ 16🔴Скачать
№251. Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.Скачать
Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать
Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128Скачать
Площади треугольников с равным углом.Скачать
Задание 9 ОГЭ от ФИПИСкачать
№206. Стороны треугольника равны 17 см, 15 см и 8 см. Через вершину A меньшего угла треугольника проСкачать
№91. Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другиеСкачать
7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать
№143. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 смСкачать
7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать
