Равносторонний треугольник вписана окружность

Окружность, вписанная в правильный треугольник

Окружность, вписанная в правильный треугольник, помимо свойств вписанной в произвольный треугольник окружности, обладает своими собственными свойствами.

1) Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

Поскольку в равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают, то центр вписанной в правильный треугольник окружности является точкой пересечения не только его биссектрис, но также медиан и высот.

Равносторонний треугольник вписана окружностьНапример, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр вписанной окружности.

AK, BF и CD — биссектрисы, медианы и высоты треугольника ABC.

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

2) Расстояние от центра вписанной окружности до точки касания её со стороной треугольника равно радиусу. Так как центр вписанной в правильный треугольник окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной третьей длины медианы:

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

Таким образом, формула для радиуса вписанной в правильный треугольник окружности

Равносторонний треугольник вписана окружность

Обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Равносторонний треугольник вписана окружность

3) Так как формула для нахождения площади равностороннего треугольника через сторону

Равносторонний треугольник вписана окружность

можем найти площадь через r:

Равносторонний треугольник вписана окружность

Таким образом, формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности —

Равносторонний треугольник вписана окружность

3) Все отрезки, на которые стороны равностороннего треугольника делятся точками касания вписанной окружности, равны половине его стороны:

Равносторонний треугольник вписана окружность

4) Центр вписанной в правильный треугольник окружности является также центром описанной около него окружности.

5) Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

Видео:Построение равностронего треугольника.Скачать

Построение равностронего треугольника.

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Равносторонний треугольник вписана окружность

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Видео:Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Равносторонний треугольник вписана окружность

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

Равносторонний треугольник вписана окружность

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Равносторонний треугольник вписана окружность

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Равносторонний треугольник вписана окружность

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Равносторонний треугольник вписана окружность

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:
Равносторонний треугольник вписана окружность

2. Радиус вписанной окружности:
Равносторонний треугольник вписана окружность

3. Радиус описанной окружности:
Равносторонний треугольник вписана окружность

4. Периметр:
Равносторонний треугольник вписана окружность

5. Площадь:
Равносторонний треугольник вписана окружность

Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать

Равносторонний треугольник в окружности

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Равносторонний треугольник вписана окружностьСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Равносторонний треугольник вписана окружностьФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Равносторонний треугольник вписана окружностьВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Равносторонний треугольник вписана окружность

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Равносторонний треугольник вписана окружность

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Равносторонний треугольник вписана окружность

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Равносторонний треугольник вписана окружность

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Равносторонний треугольник вписана окружность

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Равносторонний треугольник вписана окружность

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Равносторонний треугольник вписана окружность

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Равносторонний треугольник вписана окружность.

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Равносторонний треугольник вписана окружность

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникРавносторонний треугольник вписана окружность
Равнобедренный треугольникРавносторонний треугольник вписана окружность
Равносторонний треугольникРавносторонний треугольник вписана окружность
Прямоугольный треугольникРавносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Равносторонний треугольник вписана окружность.

Равносторонний треугольник вписана окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Равносторонний треугольник вписана окружность.

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Равносторонний треугольник вписана окружность

Произвольный треугольник
Равносторонний треугольник вписана окружность
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник вписана окружность
Равносторонний треугольник
Равносторонний треугольник вписана окружность
Прямоугольный треугольник
Равносторонний треугольник вписана окружность
Произвольный треугольник
Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Равносторонний треугольник вписана окружность.

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Равносторонний треугольник вписана окружность.

Равнобедренный треугольникРавносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольникРавносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникРавносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Равносторонний треугольник вписана окружность

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Равносторонний треугольник вписана окружность– полупериметр (рис. 6).

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

с помощью формулы Герона получаем:

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Равносторонний треугольник вписана окружность

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Равносторонний треугольник вписана окружность

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Равносторонний треугольник вписана окружность

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Равносторонний треугольник вписана окружность

Равносторонний треугольник вписана окружность

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

🎥 Видео

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружностьСкачать

Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружность

Вписанная окружность в равностороннем треугольникеСкачать

Вписанная окружность  в равностороннем треугольнике

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в равносторонний треугольник.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в  равносторонний  треугольник.

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.

Геометрия Равносторонний треугольникСкачать

Геометрия  Равносторонний треугольник

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

№693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника,Скачать

№693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника,
Поделиться или сохранить к себе: