Хорды окружности делят друг друга

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Хорды окружности делят друг другаОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Хорды окружности делят друг другаСвойства хорд и дуг окружности
Хорды окружности делят друг другаТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Хорды окружности делят друг другаДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Хорды окружности делят друг другаТеорема о бабочке

Хорды окружности делят друг друга

Видео:Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьХорды окружности делят друг друга
КругХорды окружности делят друг друга
РадиусХорды окружности делят друг друга
ХордаХорды окружности делят друг друга
ДиаметрХорды окружности делят друг друга
КасательнаяХорды окружности делят друг друга
СекущаяХорды окружности делят друг друга
Окружность
Хорды окружности делят друг друга

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругХорды окружности делят друг друга

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусХорды окружности делят друг друга

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаХорды окружности делят друг друга

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрХорды окружности делят друг друга

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяХорды окружности делят друг друга

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяХорды окружности делят друг друга

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеХорды окружности делят друг другаДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыХорды окружности делят друг другаЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныХорды окружности делят друг другаБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиХорды окружности делят друг другаУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыХорды окружности делят друг другаДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Хорды окружности делят друг друга

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыХорды окружности делят друг друга

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыХорды окружности делят друг друга

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиХорды окружности делят друг друга

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныХорды окружности делят друг друга

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиХорды окружности делят друг друга

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыХорды окружности делят друг друга

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)Скачать

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Хорды окружности делят друг друга

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыХорды окружности делят друг друга
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиХорды окружности делят друг друга
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиХорды окружности делят друг друга
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаХорды окружности делят друг друга

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Хорды окружности делят друг друга

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Пересекающиеся хорды
Хорды окружности делят друг друга
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Хорды окружности делят друг друга
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Хорды окружности делят друг друга
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Хорды окружности делят друг друга
Пересекающиеся хорды
Хорды окружности делят друг друга

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Хорды окружности делят друг друга

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Тогда справедливо равенство

Хорды окружности делят друг друга

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Хорды окружности делят друг друга

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Хорды окружности делят друг друга

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Хорды окружности делят друг друга

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Хорды окружности делят друг друга

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Хорды окружности делят друг друга

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Хорды окружности делят друг друга

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Хорды окружности делят друг друга

Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.

а) Докажите, что эти хорды равны.

б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E, F последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен Хорды окружности делят друг друга

а) Пусть две хорды равны 3x и 3y. По теореме о произведении пересекающихся хорд 2x · x = 2y · y. Отсюда находим, что x = y, значит, эти хорды равны. Аналогично докажем, что третья хорда равна каждой из первых двух.

б) Равные хорды равноудалены от центра окружности, поэтому центр равностороннего треугольника с вершинами в точках попарного пересечения хорд совпадает с центром данной окружности. Пусть хорды BE и CF пересекают хорду AD в точках P и Q соответственно, хорды BE и FC пересекаются в точке T, а H — проекция центра O на хорду AD. Тогда H — общая середина отрезков AD и PQ, а OH — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника PQT со стороной PQ.

Через точку T проведём прямую, параллельную AD, через точку P — прямую, параллельную CF, а через точку Q — прямую, параллельную BE. Эти прямые и хорды AD, BE и CF разбивают шестиугольник ABCDEF на 13 одинаковых равносторонних треугольников.

Обозначим PQ = 2a. Тогда

Хорды окружности делят друг друга

Отсюда находим, что a = 3, значит, PQ = 2a = 6, Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Ответ: Хорды окружности делят друг друга

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Две хорды окружности делят друг друга пополам Доказать что точка их пересечения – центр окружности

Хорды окружности делят друг друга

Хорды окружности делят друг друга

Вначале рассмотрим непосредственно понятие треугольника.

Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершин, а также три стороны.
Введем следующую теорему.
Эта теорема имеет обратную теорему. Сформулируем и докажем ее.
Из этих двух теорем можно вывести два следствия. Приведем их также в виде теорем и докажем.
Отметим, что последняя теорема также называется признаком равнобедренного треугольника.
Приве.

Периметр любой плоской геометрической фигур на плоскости определяется как сумма длин всех его сторон. Исключением из этого не является и треугольник. Сначала приведем понятие треугольника, а также виды треугольников в зависимости от сторон.

Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершины, а также три стороны.
В зависимости от отношении сторон друг к другу, треугольники делятся на разносторонни.

. Возьмем в пространстве какую-либо точку O

и отложим от нее векторы overline=overline

🔥 Видео

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Деление окружности на равные части. Внимание!!! В таблице имеются ошибки. ПОЛЬЗУЙТЕСЬ ФОРМУЛОЙ!!!Скачать

Деление окружности на равные части. Внимание!!! В таблице имеются ошибки. ПОЛЬЗУЙТЕСЬ ФОРМУЛОЙ!!!

Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хордыСкачать

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хорды

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый

Пересекающиеся хорды окружности. Решишь задачу?Скачать

Пересекающиеся хорды окружности. Решишь задачу?

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Три окружности касаются прямой и друг друга внешним образомСкачать

Три окружности касаются прямой и друг друга внешним образом

Геометрия Концы хорды AB делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 3:7Скачать

Геометрия Концы хорды AB делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 3:7

12.43.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать

12.43.1. Планиметрия. Гордин Р.К.
Поделиться или сохранить к себе: