27501. На рисунке изображен график у=f′(x)— производной функции f(x), определенной на интервале (–10;2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у= –2х–11 или совпадает с ней.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Так как касательная параллельна прямой у= –2х–11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2.
Значит необходимо найти количество точек, в которых у′(х0)= –2.
Геометрически это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой у= –2.
Видео:10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать
Уравнение касательной к графику функции
п.1. Уравнение касательной
Рассмотрим кривую (y=f(x)).
Выберем на ней точку A с координатами ((x_0,y_0)), проведем касательную AB в этой точке.
Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке (x_0): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: ((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)).
Для (A(x_0,y_0), B(x,y)) получаем: begin (y-y_0)=k(x-x_0)\ y=k(x-x_0)+y_0\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) end
Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде (y=kx+b), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=underbrace_x+underbrace_ $$
п.2. Алгоритм построения касательной
На входе: уравнение кривой (y=f(x)), абсцисса точки касания (x_0).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания (f(x_0))
Шаг 2. Найти общее уравнение производной (f’ (x))
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания (f'(x_0 ))
Шаг 4. Записать уравнение касательной (y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)), привести его к виду (y=kx+b)
На выходе: уравнение касательной в виде (y=kx+b)
 | Пусть (f(x)=x^2+3). Найдем касательную к этой параболе в точке (x_0=1). |
(f(x_0)=1^2+3=4 )
(f'(x)=2x )
(f'(x_0)=2cdot 1=2)
Уравнение касательной: $$ y=2(x-1)+4=2x-2+4=2x+2 $$ Ответ: (y=2x+2)
п.3. Вертикальная касательная
Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода (x_0notin D), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку (x_0in D), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку ((x_0,y_0)).
Вертикальные касательные характерны для радикалов вида (y=sqrt[n]).
 | Пусть (f(x)=sqrt[5]+1). Найдем касательную к этой кривой в точке (x_0=1). |
(f(x_0)=sqrt[5]+1=1)
(f'(x)=frac15(x-1)^+0=frac15(x-1)^=frac<5(x-1)^> )
(f'(x_0)=frac<5(1-1)^>=frac10=+infty)
В точке (x_0) проходит вертикальная касательная.
Её уравнение: (x=1)
Ответ: (y=2x+2)
п.4. Примеры
Пример 1. Для функции (f(x)=2x^2+4x)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.
 | Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0Rightarrow 2x(x+2)=0Rightarrow left[ begin x=0\ x=-2 end right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0). Касательная в точке (x_0=0): begin f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot 0+4=4\ y=4(x-0)+0=4x end Касательная в точке (x_0=-2): begin f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot (-2)+4=-4\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 end |
б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.
 | Общее уравнение касательной: (f'(x)=4x+4) По условию (f'(x_0)=tgalpha=tg45^circ=1) Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1Rightarrow 4x_0=-3Rightarrow x_0=-frac34 $$ Точка касания (x_0=-frac34) begin f(x_0)=2cdotleft(-frac34right)^2+4cdotleft(-frac34right)=frac98-3=-frac end Уравнение касательной: begin y=1cdotleft(x+frac34right)-frac=x-frac98 end |
в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой (2x+y-6=0). Напишите уравнение этой касательной.
 | Найдем угловой коэффициент заданной прямой: (y=-2x+6Rightarrow k=-2). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже (k=-2). Получаем уравнение: begin f'(x_0)=-2\ 4x_0+4=-2Rightarrow 4x_0=-6Rightarrow x_0=-frac32 end Точка касания (x_0=-frac32) begin f(x_0)=2cdotleft(-frac32right)^2+4cdotleft(-frac32right)=\ =frac92-6=-frac32 end Уравнение касательной: begin y=-2cdotleft(x+frac32right)-frac32=-2x-frac92 end Или, в каноническом виде: begin 2x+y+frac92=0 end |
г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.
 | У горизонтальной прямой (k=0). Получаем уравнение: (f'(x_0)=0). begin 4x_0+4=0Rightarrow 4x_0=-4Rightarrow x_0=-1 end Точка касания (x_0=-1) begin f(x_0)=2cdot(-1)^2+4cdot(-1)=-2 end Уравнение касательной: begin y=0cdot(x+1)-2=-2 end |
Ответ: а) (y=4x) и (y=-4x-8); б) (y=x-frac98); в) (2x+y+frac92=0); г) (y=-2)
Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции (f(x)=frac-x) перпендикулярна прямой (y=11x+3). Напишите уравнение этой касательной.
Угловой коэффициент данной прямой (k_1=11).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой (k_2=-frac=-frac) begin f'(x)=left(fracright)’-x’=frac-1=frac=\ =frac=- frac end В точке касания: begin f'(x_0)=k_2Rightarrow=-frac=-fracRightarrow (x+3)^2=121Rightarrow (x+3)^2-11^2=0Rightarrow\ Rightarrow (x+14)(x+8)=0Rightarrow left[ begin x=-14\ x=8 end right. end 
Уравнение касательной при (x_0=-14) begin f(x_0)=frac+14=frac+14=-18+14=-4\ y=-frac(x+14)-4=-frac end Уравнение касательной при (x_0=8) begin f(x_0)=frac-8=frac-8=-2\ y=-frac(x-8)-2=-frac end
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение (y=-frac)
и точка касания (8;-2), уравнение (-frac)
Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам (y=x^2-5x+6) и (y=x^2+x+1). Укажите точки касания.
Найдем производные функций: begin f_1′(x)=2x-5, f_2′(x)=2x+1 end Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b — для второй.
Запишем уравнения касательных (g_1(x)) и (g_2(x)) через эти переменные. begin g_1(x)=f_1′(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\ \ g_2(x)=f_2′(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) end Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: begin begin 2a-5=2b+1\ 6-a^2=1-b^2 end Rightarrow begin 2(a-b)=6\ a^2-b^2=5 end Rightarrow begin a-b=3\ (a-b)(a+b)=5 end Rightarrow begin a-b=3\ a+b=frac53 end Rightarrow \ Rightarrow begin 2a=3+frac53\ 2b=frac53-3 end Rightarrow begin a=frac73\ b=-frac23 end end Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2cdotfrac73-5=-frac13, b=6-a^2=6-frac=frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-frac x3+frac59 $$ 
Точки касания: begin a=frac73, f_1(a)=left(frac73right)^2-5cdotfrac73+6=frac-frac+6=frac=-frac29\ b=-frac23, f_2(b)=left(-frac23right)^2-frac23+1=frac49-frac23+1frac=frac79 end
Ответ: касательная (y=-frac x3+frac59); точки касания (left(frac73;-frac29right)) и (left(-frac23;frac79right))
Пример 5*. Докажите, что кривая (y=x^4+3x^2+2x) не пересекается с прямой (y=2x-1), и найдите расстояние между их ближайшими точками.
Решим уравнение: (x^4+3x^2+2x=2x-1) begin x^4+3x^2+1=0Rightarrow D=3^2-4=5Rightarrow x^2=frac<-3pmsqrt> end Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
Значит, (xinvarnothing) — решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.
Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом (k=2), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой (y=2x-1).
Строим уравнение касательной. По условию: (f'(x)=4x^3+6x+2=2) begin 4x^3+6x=0Rightarrow 2x(2x^2+3)=0Rightarrow left[ begin x=0\ 2x^2+3=0 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ x^2=-frac32 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ xinvarnothing end right. Rightarrow x=0 end Точка касания (x_0=0, y_0=0^4+3cdot 0^2+2cdot 0=0).
Уравнение касательной: (y=2(x-0)+0=2x)
 | Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: (y=2x) и (y=2x-1). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую (y=2x-1) имеет угловой коэффициент (k=-frac12), его уравнение: (y=-frac12 x+b). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и (b=0). |
Уравнение перпендикуляра: (y=-frac x2).
Находим точку пересечения прямой (y=2x-1) и перпендикуляра (y=-frac x2): begin 2x-1=-frac x2Rightarrow 2,5x=1Rightarrow x=0,4; y=-frac=-0,2 end Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние (OA=sqrt=0,2sqrt=frac<sqrt>)
Ответ: (frac<sqrt>)
Видео:Задание 7 ЕГЭ по математикеСкачать
Касательная к графику функции параллельна прямой 2х 11
Задание 8 (Пробник — 2015, профильный уровень)
На рисунке изображен график функции y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) перпендикулярна прямой y = -2x-11.
Пусть уравнение касательной к графику функции f(x) имеет вид : y = kx+b.
Если эта касательная перпендикулярна прямой y = -2x-11, то k = -1/-2 = 1/2.
Найдем на графике производной f'(x), в скольких точках, производная функции равна 1/2:
Получаем на интервале (-10;2) всего 3 точки. Значит, на данном интервале касательная к графику функции f(x) перпендикулярна прямой y = -2x-11 в 3 точках.
Задание 8 (Подготовка к ЕГЭ — 2015, профильный уровень, типовые варианты)
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке (x_0). Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции (y = 4 f(x)-3) в точке (x_0).
Найдем производную функции (y = 4 f(x)-3)в точке (x_0):
Так как уравнение касательной к функции f(x) в точке (x_0) имеет вид: y = -3/4x+6,5, то (f'(x_0) = -3/4).
Тогда искомая производная равна:
Задание 8 (Подготовка к ЕГЭ — 2015, профильный уровень, типовые варианты)
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-3;10). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Производная функции равна 0 в точках экстремума этой функции, т.е. нужно посчитать количество «бугорков» на заданном интервале.
Получаем всего 10 точек.
Задание 8 (Подготовка к ЕГЭ — 2015, профильный уровень, типовые варианты))
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-1;13). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Производная функции равна 0 в точках экстремума этой функции, т.е. нужно посчитать количество «бугорков» на заданном интервале.
💥 Видео
Прямая y=8x+11 параллельна касательной к графику функции y=x^2+7x-7. Найдите абсциссу точки касания.Скачать
Задача 7 ЕГЭ по математике #5Скачать
№ 40130 РешуЕгэ найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна прямойСкачать
ЕГЭ 2017 Профильный №7 найти точки, в которых касательная параллельна прямой #7Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать
Касательная к графику функции в точке. 10 класс.Скачать
Прямая y=-4x-11 является касательной к графику функции y=x^3+7x^2+7x-6Найдите абсциссу точки касанияСкачать
Дан график производной Найти абсциссу точки в которой касательная к графику функции парал-на оси ХСкачать
Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать
Задача 7 ЕГЭ по математике #2Скачать
ЗАДАНИЕ 7| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Прямая y=8x+11 параллельна касательной к графику функции y= x^2+7x-7. НайдитСкачать
Урок 13. Уравнение касательной, проходящей параллельно прямой. Производные. Алгебра 10, 11 класс.Скачать
Прямая y=7x-5 параллельна касательной к графику функции y=x^2+6x-8 Найдите абсциссу точки касания.Скачать
Задача 7 ЕГЭ по математикеСкачать
Касательная параллельна прямой 7 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать
Прямая y = - 4x - 11 параллельна касательной к графику функцииСкачать
Геометрический смысл производной | КасательнаяСкачать
ОГЭ номер 11 найти а по графику функции y=ax^2+bx+c парабола РешуОГЭ 193099, дистанционный урокСкачать
