Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям
Касательная к 2 пересекающимся окружностямВзаимное расположение двух окружностей
Касательная к 2 пересекающимся окружностямОбщие касательные к двум окружностям
Касательная к 2 пересекающимся окружностямФормулы для длин общих касательных и общей хорды
Касательная к 2 пересекающимся окружностямДоказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Видео:Внешняя касательная к двум окружностямСкачать

Внешняя касательная к двум окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

ФигураРисунокСвойства
Две окружности на плоскостиКасательная к 2 пересекающимся окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другойКасательная к 2 пересекающимся окружностям
Внешнее касание двух окружностейКасательная к 2 пересекающимся окружностям
Внутреннее касание двух окружностейКасательная к 2 пересекающимся окружностям
Окружности пересекаются в двух точкахКасательная к 2 пересекающимся окружностямКасательная к 2 пересекающимся окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другой
Касательная к 2 пересекающимся окружностям
Внешнее касание двух окружностей
Касательная к 2 пересекающимся окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Касательная к 2 пересекающимся окружностям
Окружности пересекаются в двух точках
Касательная к 2 пересекающимся окружностям
Касательная к 2 пересекающимся окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другой
Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей
Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Внутренняя касательная к двум окружностямКасательная к 2 пересекающимся окружностям
Внутреннее касание двух окружностейКасательная к 2 пересекающимся окружностям
Окружности пересекаются в двух точкахКасательная к 2 пересекающимся окружностям
Внешнее касание двух окружностейКасательная к 2 пересекающимся окружностям
Касательная к 2 пересекающимся окружностям
Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям
Касательная к 2 пересекающимся окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Касательная к 2 пересекающимся окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Касательная к 2 пересекающимся окружностям
Окружности пересекаются в двух точках
Касательная к 2 пересекающимся окружностям
Внешнее касание двух окружностей
Касательная к 2 пересекающимся окружностям
Касательная к 2 пересекающимся окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другой
Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Видео:Касательные к окружностиСкачать

Касательные к окружности

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей
Каждая из окружностей лежит вне другой

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

ФигураРисунокФормула
Внешняя касательная к двум окружностямКасательная к 2 пересекающимся окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностямКасательная к 2 пересекающимся окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностейКасательная к 2 пересекающимся окружностям

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Внешняя касательная к двум окружностям
Касательная к 2 пересекающимся окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Касательная к 2 пересекающимся окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Видео:Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1

Общие касательные

Выясним сколько общих касательных имеют две окружности и как эти общие касательные могут быть расположены.

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Если две окружности не пересекаются и окружность меньшего радиуса лежит внутри окружности большего радиуса, то они не имеют общих касательных.

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

В другом случае не пересекающиеся окружности имеют четыре общие касательные.

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

внешние общие касательные

При этом, если обе окружности лежат по одну сторону от касательной (в одной полуплоскости), то такая касательная называется внешней.

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

внутренние общие касательные

Если окружности лежат по разные стороны от общей касательной (в разных полуплоскостях), то такая касательная называется внутренней.

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Если две окружности имеют внутреннее касание, то у них есть одна общая касательная.

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

При внешнем касании две окружности имеют три общие касательные.

Касательная к 2 пересекающимся окружностям

Две пересекающиеся окружности имеют две общие касательные.

Видео:Внутренняя касательная к двум окружностямСкачать

Внутренняя касательная к двум окружностям

Примеры выполнения контрольной работы

Построение касательных к двум окружностям

При вычерчивании контуров предметов сравнительно часто приходится строить общие касательные к двум дугам окружностей. Общая касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон касательной.

Построение общей внешней касательной к двум окружностям радиусов R и r (рис. 180). Из центра окружности большего радиуса – точки O1 описывают окружность радиусом R – r (рис 180 а). Находят середину отрезка O2O1 – точку O3 и из нее проводят вспомогательную окружность радиусом O3O2 или O3O1. Обе проведенные окружности пересекаются в точках A и В. Точки O1 и B соединяют прямой и в пересечении ее с окружностью радиуса R определяют точку касания D (рис. 180 б). Из точки O2 параллельно прямой O1D проводят линию до пересечения с окружностью радиуса r и получают вторую точку касания C. Прямая CD является искомой касательной. Так же строится вторая общая внешняя касательная к этим окружностям (прямая EF).

Построение общей внутренней касательной к двум окружностями радиусов R и r (рис. 48). Из центра любой окружности, например: точки O1, описывают окружность радиусом R + r (рис. 181 а). Разделив отрезок O2O1 пополам, получают точку O3. Из точки O3, как из центра, описывают вторую вспомогательную окружность радиусом O3O2 = O3О1 и отмечают точки A и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив прямой точки A и O1 (рис. 181 б), в пересечении ее с окружностью радиуса R получают точку касания D. Через центр окружности радиуса r проводят прямую, параллельную прямой O1D, и в пересечении ее с заданной окружностью определяют вторую точку касания С. Прямая CD – внутренняя касательная к заданным окружностям. Аналогично строится и вторая касательная EF.

СОПРЯЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДУГИ ОКРУЖНОСТИ

Сопряжение двух прямых дугой окружности

Все задачи на сопряжение дугой могут быть сведены к двум видам. Сопряжение осуществляется либо заданным радиусом сопрягающей дуги, либо через точку, заданную на одной из сопрягаемых линий. В том и другом случае необходимо построить центр сопрягающей дуги.

Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса Rc (рис. 182 а). Так как сопрягающая дуга должна касаться заданных прямых, то центр ее должен быть удален от каждой прямой на величину равную радиусу Rc. Сопряжение строят так. Проводят две прямые, параллельные заданным и удаленные от них на величину радиуса Rc и в пересечении этих прямых отмечают точку O – центр сопрягающей дуги. Из точки О опускают перпендикуляр на каждую из заданных прямых. Основания перпендикуляров – точки A и B – являются точками касания сопрягающей дуги. Такое построение сопряжения справедливо для двух пересекающихся прямых, составляющих любой угол. Для сопряжения сторон прямого угла можно воспользоваться также способом указанным на рисунке 182 б.

Сопряжение двух пересекающихся прямых, на одной из которых задана точка касания А сопрягающей дуги (рис. 183). Известно, что геометрическим местом центров дуг, сопрягающих две пересекающиеся прямые, является биссектриса угла, образованного этими прямыми. Поэтому построив биссектрису угла, из точки касания A восставляют перпендикуляр к прямой до пересечения его с биссектрисой и отмечают точку O – центр сопрягающей дуги. Опустив из точки О перпендикуляр на другую: прямую, получают вторую точку касания В и радиусом Rc = OA = OB осуществляют сопряжение двух прямых, на одной из которых была задана точка касания.

Сопряжение двух параллельных прямых дугой, проходящей через заданную точку касания А (рис. 183). Из точки A восставляют перпендикуляр к заданным прямым и на пересечении его со второй прямой отмечают точку B. Отрезок AB делят пополам и получают точку О – центр сопрягающей дуги радиуса .

Рис. 183 Рис. 184

Сопряжение дуги и прямой дугой окружности заданного радиуса

Могут встретиться два случая такого сопряжения: внешнее касание сопрягающей дуги с заданной и внутреннее касание. В обоих случаях задача сводится к определению центра сопрягающей дуги и точек касания.

При внешнем касании (рис. 185 а) из центра заданной дуги – точки O1 проводят вспомогательную дугу радиусом R + Rс. На расстоянии, равном радиусу Rc сопрягающей дуги, параллельно заданной прямой проводят прямую. Точка О пересечения вспомогательной дуги и прямой есть центр сопрягающей дуги. На пересечении прямой, соединяющей точки О и O1 с заданной дугой, отмечают точку касания A. Вторую точку касания В определяют как точку пересечения заданной прямой с перпендикуляром, опущенным на нее из точки О.

При внутреннем касании (рис. 185 б) определение центра сопрягающей дуги и точек касания аналогичны предыдущему случаю с той лишь разницей, что радиус вспомогательной дуги равен Rc – R,

Сопряжение двух дуг дугой окружности заданного радиуса

Различают три вида такого сопряжения:

1) внешнее сопряжение при внешнем касании сопрягающей дуги с двумя заданными;

2) внутреннее сопряжение при внутреннем касании сопрягающей дуги с двумя заданными;

3) смешанное сопряжение при внешнем касании сопрягающей дуги с одной заданной и внутреннем касании с другой.

При внешнем сопряжении (рис. 186 а) центр сопрягающей дуги точка O располагается в точке пересечения вспомогательных дуг радиусов r + Rc и R + Rc, проведенных соответственно из центров сопрягаемых дуг – точек O2 и O1. Точки касания A и B определяются как точки пересечения заданных дуг с прямыми OO1 и OO2.

Внутреннее сопряжение дуг радиусов r и R дугой радиус Rc показано на рисунке 186 б. Для определения центра сопрягающей дуги – точки О проводят вспомогательные дуги радиусами Rc – r и Rc – R соответственно из центров заданных дуг – точек O2 и O1. Точка О пересечения этих дуг и явится центром сопрягающей дуги. Из точки О через точки O1 и O2 проводят прямые до пересечения с заданными дугами и получают соответственно две точки касания – A и B.

При смешанном сопряжении центр сопрягающей дуги – точка О определяется как точка пересечения двух вспомогательных дуг радиусов Rc + R и Rс – r (рис. 186 в) или Rс – R и Rс + r, проведенных соответственно из центров заданных дуг – точек O1 и O2. Для определения точек касания сопрягающей дуги с заданными проводят две прямые: одну через точки О и O1, другую через точки О и O2. Точки пересечения каждой из них с заданными дугами дают искомые точки касания A и B.

Сопряжения Очертания многих предметов представляют собой сочетание ряда: линий, в большинстве своем плавно переходящих одна в другую. Примером плавных переходов могут служить контуры различных видов художественных изделий, посуды, рисунки орнаментов и т.п.

Вычерчивание контуров деталей Последовательность вычерчивания контуров деталей, в основном, зависит от их формы. Поэтому можно указать только на некоторые общие положения, справедливые для всех случаев.

Плоские кривые Кривые, у которых все точки расположены в одной плоскости, называют плоскими. Часть плоских кривых, состоящих из дуг окружностей, образует группу циркульных кривых. Дуги циркульных кривых касаются друг друга, поэтому построение их основано на правилах сопряжения и выполняется при помощи циркуля.

📺 Видео

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Построение касательной к окружностиСкачать

Построение касательной к окружности

8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИСкачать

Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ

Построение касательной к окружности.Скачать

Построение касательной к окружности.

Касательные к двум окружностям.Скачать

Касательные к двум окружностям.

Секущая и касательная. 9 класс.Скачать

Секущая и касательная. 9 класс.

Касательная к окружности и её свойстваСкачать

Касательная к окружности и её свойства

Теорема о числе точек пересечения двух окружностейСкачать

Теорема о числе точек пересечения двух окружностей

1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

1 2 4  сопряжение окружностей

Сопряжение двух пересекающихся прямых. Урок 9. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Сопряжение двух пересекающихся прямых. Урок 9. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Построение внешней касательной к двум дугам окружностей. Урок11.(Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Построение внешней касательной к двум дугам окружностей. Урок11.(Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Свойства касательной, секущей и пересекающихся хорд окружностиСкачать

Свойства касательной, секущей и пересекающихся хорд  окружности

Построение касательной к окружностиСкачать

Построение касательной к окружности

Касательная к двум окружностям разного диаметра.Скачать

Касательная к двум окружностям разного диаметра.
Поделиться или сохранить к себе: