Какой угол называется вписанным в окружность

Углы, связанные с окружностью
Какой угол называется вписанным в окружностьВписанные и центральные углы
Какой угол называется вписанным в окружностьУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Какой угол называется вписанным в окружностьДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Какой угол называется вписанным в окружность

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Какой угол называется вписанным в окружность

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголКакой угол называется вписанным в окружность
Вписанный уголКакой угол называется вписанным в окружностьВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголКакой угол называется вписанным в окружностьВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголКакой угол называется вписанным в окружностьДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголКакой угол называется вписанным в окружностьВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаКакой угол называется вписанным в окружность

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Какой угол называется вписанным в окружность

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Какой угол называется вписанным в окружность

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Какой угол называется вписанным в окружность

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Какой угол называется вписанным в окружность

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Какой угол называется вписанным в окружность

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Какой угол называется вписанным в окружность

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиКакой угол называется вписанным в окружностьКакой угол называется вписанным в окружность
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаКакой угол называется вписанным в окружностьКакой угол называется вписанным в окружность
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияКакой угол называется вписанным в окружностьКакой угол называется вписанным в окружность
Угол, образованный касательной и секущейКакой угол называется вписанным в окружностьКакой угол называется вписанным в окружность
Угол, образованный двумя касательными к окружностиКакой угол называется вписанным в окружностьКакой угол называется вписанным в окружность

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Какой угол называется вписанным в окружность

Какой угол называется вписанным в окружность

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Какой угол называется вписанным в окружность

Какой угол называется вписанным в окружность

Какой угол называется вписанным в окружность

Какой угол называется вписанным в окружность

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Какой угол называется вписанным в окружность
Формула: Какой угол называется вписанным в окружность
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Какой угол называется вписанным в окружность

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Какой угол называется вписанным в окружность
Формула: Какой угол называется вписанным в окружность
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Какой угол называется вписанным в окружность

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Какой угол называется вписанным в окружность

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Какой угол называется вписанным в окружность

Какой угол называется вписанным в окружность

Какой угол называется вписанным в окружность

Какой угол называется вписанным в окружность

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Какой угол называется вписанным в окружность

В этом случае справедливы равенства

Какой угол называется вписанным в окружность

Какой угол называется вписанным в окружность

Какой угол называется вписанным в окружность

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Какой угол называется вписанным в окружность

В этом случае справедливы равенства

Какой угол называется вписанным в окружность

Какой угол называется вписанным в окружность

Какой угол называется вписанным в окружность

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Какой угол называется вписанным в окружность

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Какой угол называется вписанным в окружность

Какой угол называется вписанным в окружность

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Какой угол называется вписанным в окружность

Какой угол называется вписанным в окружность

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Какой угол называется вписанным в окружность

Какой угол называется вписанным в окружность

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Какой угол называется вписанным в окружность

Какой угол называется вписанным в окружность

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Какой угол называется вписанным в окружность

Какой угол называется вписанным в окружность

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Какой угол называется вписанным в окружность

Какой угол называется вписанным в окружность

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Какой угол называется вписанным в окружность

Какой угол называется вписанным в окружность

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Какой угол называется вписанным в окружность

Какой угол называется вписанным в окружность

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Угол, вписанный в окружность. Теорема о величине вписанного в окружность угла. Геометрия 8-9 классСкачать

Угол, вписанный в окружность. Теорема о величине вписанного в окружность угла. Геометрия 8-9 класс

Центральные и вписанные углы

Какой угол называется вписанным в окружность

О чем эта статья:

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Какой угол называется вписанным в окружность

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Какой угол называется вписанным в окружность

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Вписанные и центральные углыСкачать

Вписанные и центральные углы

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Какой угол называется вписанным в окружность

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Какой угол называется вписанным в окружность

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Какой угол называется вписанным в окружность

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Какой угол называется вписанным в окружность

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Какой угол называется вписанным в окружность

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Какой угол называется вписанным в окружность

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Какой угол называется вписанным в окружность

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Какой угол называется вписанным в окружность

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Какой угол называется вписанным в окружность

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№27 - Теорема о вписанном угле.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№27 - Теорема о вписанном угле.)

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Какой угол называется вписанным в окружность

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Какой угол называется вписанным в окружность

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Какой угол называется вписанным в окружность

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс Атанасян

Вписанный угол окружности

Вписанный угол окружности — это угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки, то есть вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности.

Какой угол называется вписанным в окружность

Угол ABC — вписанный угол. ∠ABC опирается на дугу AC, заключённую между его сторонами.

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Теорема о вписанном угле

Теорема:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Это следует понимать так: вписанный угол содержит в два раза меньше градусов, чем дуга, на которую он опирается:

Какой угол называется вписанным в окружность

∠ABC =1Какой угол называется вписанным в окружностьAC.
2

При доказательстве этой теоремы следует рассмотреть три возможных случая расположения вписанного угла относительно центра окружности.

Первый случай. Сторона вписанного угла проходит через центр окружности.

Какой угол называется вписанным в окружность

Соединим точку A с центром круга (точкой O). Получим равнобедренный треугольник AOB, в котором AO = OB, как радиусы одной окружности. Следовательно, ∠A = ∠B, как углы при основании равнобедренного треугольника.

Какой угол называется вписанным в окружность

Так как ∠AOC — внешний угол равнобедренного треугольника, то:

а так как углы A и B равны, то

∠B =1∠AOC.
2

Но ∠AOC — центральный угол, значит ∠AOC = Какой угол называется вписанным в окружностьAC, следовательно ∠B измеряется половиной дуги AC:

∠ABC = ∠B =1Какой угол называется вписанным в окружностьAC.
2

Второй случай. Центр окружности лежит между сторонами вписанного угла.

Какой угол называется вписанным в окружность

Проведём диаметр BD. Угол ABC разбился на два угла: 1 и 2.

Какой угол называется вписанным в окружность

Точка D разделяет дугу AC на две дуги: Какой угол называется вписанным в окружностьAD и Какой угол называется вписанным в окружностьDC. По доказательству, рассмотренному в первом случае:

1 =1Какой угол называется вписанным в окружностьAD и 2 =1Какой угол называется вписанным в окружностьDC.
22

Следовательно, весь угол ABC будет измеряться половиной дуги AC:

1 + 2 =1Какой угол называется вписанным в окружностьAD +1Какой угол называется вписанным в окружностьDC
22
∠ABC =1Какой угол называется вписанным в окружностьAC.
2

Третий случай. Центр окружности лежит вне вписанного угла.

Какой угол называется вписанным в окружность

Проведём диаметр BD.

Какой угол называется вписанным в окружность

Но ∠ABD измеряется половиной дуги AD , а ∠CBD измеряется половиной дуги CD. Следовательно,

∠ABC =1(Какой угол называется вписанным в окружностьADКакой угол называется вписанным в окружностьCD),
2
∠ABC =1Какой угол называется вписанным в окружностьAC.
2

Видео:Вписанный угол - 1Скачать

Вписанный угол - 1

Следствия из теоремы

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.

Какой угол называется вписанным в окружность

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, так как он опирается на половину окружности.

Половина окружности содержит 180°, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90°.

🎦 Видео

Угол, вписанный в окружностьСкачать

Угол, вписанный в окружность

Центральный и вписанный углыСкачать

Центральный и вписанный углы

9 класс. Геометрия. Вписанный угол и его свойства. 15.05.2020.Скачать

9 класс. Геометрия. Вписанный угол и его свойства. 15.05.2020.

Центральный и вписанный в окружность углы Часть 1Скачать

Центральный и вписанный в окружность углы Часть 1

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Вписанные углы | Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 классыСкачать

Вписанные углы | Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 классы

Геометрия. ОкружностьСкачать

Геометрия. Окружность

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 классСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 класс

Задачи на ОкружностьСкачать

Задачи на Окружность
Поделиться или сохранить к себе: