Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.
Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD ⊥ AB. Аналогично получаем, что BC ⊥ AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
б) Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.
Треугольники BKC и AKD подобны, 
Пусть 
тогда 
У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, 
то есть SAKB = 4S. Аналогично, SCKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.
Вычислим площадь трапеции ABCD. Заметим, что 
Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1: 
Тогда 
Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и SAKB = 4S = 3,2.
Приведем вариант решения п. б) предложенный Рамилем Багавиевым.
Из первого решения известно, что 
Из подобия треугольников AKD и AKB следует 
таким образом AK = 2BK. Напишем теорему Пифагора для треугольника AKB 
Теперь несложно вычислить 
Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 3
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
а) Другими словами, в пункте (а) надо доказать, что точка D лежит на прямой , а точка C — на прямой .
— прямоугольная трапеция, поскольку (как радиусы, проведенные в точку касания), .
Если , то (как односторонние углы),
Тогда — диаметр первой окружности; — диаметр второй окружности, так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
AK — высота в , где
Рассмотрев прямоугольную трапецию , где , найдем, что .
Две окружности касаются внешним образом в точке K (рис. 345). Прямая AB — их общая внешняя касательная, где A и B — точки касания
Ваш ответ
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,283
- гуманитарные 33,619
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,073
- разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.