Какова сумма углов прямоугольного треугольника (4 видео)

Сумма углов прямоугольного треугольника

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 186.

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 186.

Сумма углов любого треугольника – величина устойчивая. Но прямоугольный треугольник выделяется среди прочих набором специфических свойств. Сумма углов не является исключением, поэтому стоит поговорить об этом свойстве прямоугольных треугольников, чтобы не возникало вопросов в дальнейшем изучении.

Содержание

Треугольник
Сумма углов треугольника
Прямоугольный треугольник
Что мы узнали?
Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника
Виды по величине углов
Свойства
Теорема о сумме углов треугольника
Следствие
Свойство внешних углов
Прямоугольный треугольник
Сумма углов равнобедренного треугольника
Равносторонний треугольник
Тупоугольный треугольник
Геометрия. 7 класс
🎬 Видео

Видео:№256. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетовСкачать

Треугольник

Несмотря на свою обособленность от прочих фигур, треугольник является таким же многоугольником, как и прямоугольник, квадрат или ромб. Все отличие только в количестве углов. Существует формула, по которой определяется сумма углов любого многоугольника в зависимости от количества сторон, поговорим о ней немного позже.

Итак, треугольник это фигура, имеющая три стороны и три угла. Традиционно, одна из сторон считается основанием, а две другие стороны зовутся боковыми. Обозначение не является принципиальным, поэтому любая из сторон треугольника принимается за условное основание. Такое обозначение нужно только для облегчения понимания чертежа.

Треугольник в математике считается минимально возможно фигурой. Любая из возможных фигур может быть разбита на треугольники. Это свойство иногда используется при решении задач.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника

Есть два варианта нахождения общей суммы углов треугольника:

Математический анализ. За столь страшными словами кроется обычная простая формула:

180*(n-2)- где n – количество сторон многоугольника.

Второй способ – геометрический. Именно таким образом было в первый раз выведено утверждение о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Рассмотрим его подробнее.

Рис. 2. Рисунок к задаче

Пусть треугольник АВС – произвольный треугольник с основанием АС. Тогда построим прямую ВD, проходящую через точку В, параллельно основанию. Тогда получается две параллельные прямые: АС и ВD с двумя секущими АВ и ВС.

Рассмотрим углы при секущих прямых. Сумма трех углов при вершине В будет равна 180 градусам, так как они представляют собой развернутый угол. Тогда внутренние углы треугольника будут равные накрест лежащим наружным углам. То есть сумма углов треугольника равняется градусной мере развернутого угла и равняется 180 градусам.

Важно понимать, что наружные углы нельзя называть внешними углами треугольника, так как внешние углы получаются с помощью продолжения одной из сторон треугольника, а прямая ВD продолжением стороны треугольника не является.

Общая формула суммы углов многоугольника получается с помощью разбиения фигуры на треугольники и подсчета сумм углов получившихся малых фигур.

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник содержит угол в 90 градусов. Такой угол зовут прямым, отсюда и название фигуры. Чему равна сумма углов прямоугольного треугольника? Так же,как и в любом другом треугольнике – 180 градусам. Но если один из углов определен и равен 90 градусам, то можно определить сумму двух оставшихся:

180-90=90 – то есть сумма непрямых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Но непрямые углы это нематематическое определение. Может ли в прямоугольном треугольнике еще один угол быть прямым? Если бы такой угол мог существовать, то он был бы равен 90 градусам. То есть оставшийся третий угол:

90-90=0 – и третий угол в этом случае был бы нулевым, что невозможно. Так же, как и невозможно существование тупого угла в прямоугольном треугольнике. Потому что тупой угол всегда больше 90 градусов.

Значит, можно сделать вывод о том, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусам.

Рис. 3. Острые углы прямоугольного треугольника

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

Что мы узнали?

Мы поговорили о формуле суммы углов прямоугольного треугольника. Вывели ее геометрическим способом и определили аналитический способ вывода, который вытекает из геометрического. Рассказали, почему невозможно существование тупоугольного прямоугольного треугольника.

Видео:Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника

Треугольник представляет собой многоугольник, имеющий три стороны (три угла). Чаще всего стороны обозначают маленькими буквами, соответствующими заглавным буквам, которыми обозначают противоположные вершины. В данной статье мы ознакомимся с видами этих геометрических фигур, теоремой, которая определяет, чему равняется сумма углов треугольника.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать

Виды по величине углов

Различают следующие виды многоугольника с тремя вершинами:

остроугольный, у которого все углы острые;
прямоугольный, имеющий один прямой угол, при этом стороны, его образующие, называют катетами, а сторона, которая размещена противоположно прямому углу, именуется гипотенузой;
тупоугольный, когда один угол тупой;
равнобедренный, у которого две стороны равные, и называются они боковыми, а третья – основанием треугольника;
равносторонний, имеющий все три равные стороны.

Видео:Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Свойства

Выделяют основные свойства, которые характерны для каждого вида треугольника:

напротив большей стороны всегда располагается больший угол, и наоборот;
напротив равных по величине сторон находятся равные углы, и наоборот;
у любого треугольника есть два острых угла;
внешний угол больше по сравнению с любым внутренним углом, не смежным с ним;
сумма каких-либо двух углов всегда меньше 180 градусов;
внешний угол равняется сумме остальных двух углов, которые не межуют с ним.

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема утверждает, что если сложить все углы данной геометрической фигуры, которая расположена на евклидовой плоскости, то их сумма будет составлять 180 градусов. Попробуем доказать данную теорему.

Пускай у нас есть произвольный треугольник с вершинами КМН.

Видео:ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольникСкачать

Следствие

Из выше доказанной теоремы вытекает следующее следствие: любой треугольник имеет два острых угла. Чтобы это доказать, допустим, что данная геометрическая фигура имеет всего один острый угол. Также можно предположить, что ни один из углов не является острым. В этом случае должно быть как минимум два угла, величина которых равна или больше 90 градусов. Но тогда сумма углов будет больше, чем 180 градусов. А такого быть не может, поскольку согласно теореме сумма углов треугольника равна 180° — не больше и не меньше. Вот это и нужно было доказать.

Видео:Сумма углов треугольникаСкачать

Свойство внешних углов

Чему равна сумма углов треугольника, которые являются внешними? Ответ на этот вопрос можно получить, применив один из двух способов. Первый заключается в том, что необходимо найти сумму углов, которые взяты по одному при каждой вершине, то есть трех углов. Второй подразумевает, что нужно найти сумму всех шести углов при вершинах. Для начала разберемся с первым вариантом. Итак, треугольник содержит шесть внешних углов – при каждой вершине по два.

Кроме этого, известно, что внешний угол у треугольника равняется сумме двух внутренних, которые не межуются с ним. Следовательно,

∟1 = ∟А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = ∟В + ∟С.

Из этого получается, что сумма внешних углов, которые взяты по одному возле каждой вершины, будет равна:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟А + ∟С + ∟А + ∟В + ∟В + ∟С = 2 х (∟А + ∟В + ∟С).

С учетом того, что сумма углов равняется 180 градусам, можно утверждать, что ∟А + ∟В + ∟С = 180°. А это значит, что ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 х 180° = 360°. Если же применяется второй вариант, то сумма шести углов будет, соответственно, большей в два раза. То есть сумма внешних углов треугольника будет составлять:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 х (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

Видео:Геометрия 7 класс. Сумма углов треугольникаСкачать

Прямоугольный треугольник

Чему равняется сумма углов прямоугольного треугольника, являющихся острыми? Ответ на этот вопрос, опять же, вытекает из теоремы, которая утверждает, что углы в треугольнике в сумме составляют 180 градусов. А звучит наше утверждение (свойство) так: в прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают 90 градусов. Докажем его правдивость.

Итак, согласно теореме о сумме углов ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. В нашем условии сказано, что ∟Н = 90°. Вот и получается, ∟К + ∟М + 90° = 180°. То есть ∟К + ∟М = 180° — 90° = 90°. Именно это нам и следовало доказать.

В дополнение к вышеописанным свойствам прямоугольного треугольника, можно добавить и такие:

углы, которые лежат против катетов, являются острыми;
гипотенуза треугольна больше любого из катетов;
сумма катетов больше гипотенузы;
катет треугольника, который лежит напротив угла 30 градусов, в два раза меньше гипотенузы, то есть равняется ее половине.

Как еще одно свойство данной геометрической фигуры можно выделить теорему Пифагора. Она утверждает, что в треугольнике с углом 90 градусов (прямоугольном) сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы.

Видео:Как найти величины углов всех треугольников. Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Сумма углов равнобедренного треугольника

Ранее мы говорили, что равнобедренным называют многоугольник с тремя вершинами, содержащий две равные стороны. Известно такое свойство данной геометрической фигуры: углы при его основании равны. Докажем это.

Возьмем треугольник КМН, который является равнобедренным, КН – его основание.

Но нас интересует, какова сумма углов треугольника (равнобедренного). Поскольку в этом отношении у него нет своих особенностей, будем отталкиваться от теоремы, рассмотренной ранее. То есть мы можем утверждать, что ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, или 2 х ∟К + ∟М = 180° (поскольку ∟К = ∟Н). Данное свойство доказывать не будем, поскольку сама теорема о сумме углов треугольника была доказана ранее.

Кроме рассмотренных свойств об углах треугольника, имеют место и такие немаловажные утверждения:

в равнобедренном треугольнике высота, которая была опущена на основание, является одновременно медианой, биссектрисой угла, который находится между равными сторонами, а также осью симметрии его основания;
медианы (биссектрисы, высоты), которые проведены к боковым сторонам такой геометрической фигуры, равны.

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Равносторонний треугольник

Его еще называют правильным, это тот треугольник, у которого равны все стороны. А поэтому равны также и углы. Каждый из них составляет 60 градусов. Докажем это свойство.

Допустим, что у нас есть треугольник КМН. Нам известно, что КМ = НМ = КН. А это значит, что согласно свойству углов, расположенных при основании в равнобедренном треугольнике, ∟К = ∟М = ∟Н. Поскольку согласно теореме сумма углов треугольника ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, то 3 х ∟К = 180° или ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟Н = 60°. Таким образом, утверждение доказано.

Существуют еще такие свойства, характерные для равностороннего треугольника:

медиана, биссектриса, высота в такой геометрической фигуре совпадают, а их длина вычисляется как (а х √3) : 2;
если описать вокруг данного многоугольника окружность, то ее радиус будет равен (а х √3) : 3;
если вписать в равносторонний треугольник окружность, то ее радиус будет составлять (а х √3) : 6;
площадь этой геометрической фигуры вычисляется по формуле: (а2 х √3) : 4.

Видео:Чему равна сумма углов выпуклого многоугольникаСкачать

Тупоугольный треугольник

Согласно определению тупоугольного треугольника, один из его углов находится в промежутке от 90 до 180 градусов. Но учитывая то, что два остальных угла данной геометрической фигуры острые, можно сделать вывод, что они не превышают 90 градусов. Следовательно, теорема о сумме углов треугольника работает при расчете суммы углов в тупоугольном треугольнике. Получается, мы смело можем утверждать, опираясь на вышеупомянутую теорему, что сумма углов тупоугольного треугольника равна 180 градусам. Опять-таки, данная теорема не нуждается в повторном доказательстве.

Видео:Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний УголСкачать

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Сумма углов треугольника

Перечень рассматриваемых вопросов:

Формулирование и доказательство теоремы о сумме углов треугольника.
Следствия теоремы о сумме углов треугольника.
Классификация треугольников по видам углов.
Формулирование и доказательство теоремы о свойствах прямоугольного треугольника.
Решение задач с применением пройденного материала;
Угловой отражатель.

Внешний угол треугольника– это угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее, на уроках математики, вы познакомились с различными геометрическими фигурами, в том числе и с треугольниками. При изучении геометрии, вы узнали признаки равенства треугольников, выяснили, что такое медиана, биссектриса и высота треугольника.

Сегодня мы продолжим изучать треугольники и рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии– теорему о сумме углов треугольника.

Сформулируем эту теорему.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Проведем через вершину В прямую а ║АС.

∠1 = ∠4 (по свойству параллельных прямых, т. к. это накрест лежащие углы при пересечении прямых а и АС и секущей АВ), ∠3 = ∠5 (по свойству параллельных прямых, т. к. это – накрест лежащие углы при пересечении прямых а и АС и секущей ВС)→ ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180° (по свойству развёрнутого угла) → ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° → ∠А + ∠В + ∠С = 180°.

Что и требовалось доказать.

Теперь введём ещё одно понятие, связанное с треугольниками –внешний угол треугольника. Это угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

Докажем, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

∠3 + ∠4 = 180° (по свойству развёрнутого угла).

∠3 + (∠2 + ∠1) = 180° (по теореме о сумме углов треугольника) → ∠4 = ∠2 + ∠1.

Что и требовалось доказать.

Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что если один из углов треугольника равен 90 градусам или больше 90 градусов, то остальные два угла будут острые, т.к. их сумма не должна превышать 90 градусов. Поэтому, в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

Исходя из этого, можно классифицировать треугольники по углам.

По углам треугольник может быть:

‑ остроугольным, если все его углы являются острыми (т.е. меньше 90°);

‑ тупоугольным, если один из его углов тупой (т.е. больше 90°);

‑ прямоугольным, если один угол 90° (т.е. прямой).

В прямоугольном треугольнике стороны имеют свои названия.

Сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие – катетами.

Докажем свойство прямоугольного треугольника, которое устанавливается с помощью теоремы о сумме углов треугольника.

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º.

∠А +∠С + ∠В = 180° (по теореме о сумме углов треугольника).

∠В = 90° (по определению прямоугольного треугольника) →∠А + ∠С + 90° = 180°

∠А + ∠С = 180 – 90° = 90°

Что и требовалось доказать.

Докажем, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60 °.

Доказать: ∠А =∠С = ∠В = 60°.

Так как треугольник АВС равносторонний →АС = АВ = ВС (по определению равностороннего треугольника) → если АС = АВ → ∠С = ∠В (по свойству равнобедренного треугольника). Аналогично, если АС = СВ → ∠А = ∠В (по свойству равнобедренного треугольника) → ∠А = ∠С = ∠В.

∠А + ∠С + ∠В = 180° (по теореме о сумме углов треугольника).

∠А = ∠С = ∠В = 180° : 3 = 60°.

Что и требовалось доказать.

Материал для углублённого изучения темы.

Одно из свойств прямоугольного треугольника ‑сумма двух его острых углов равна 90°‑используется в технике, например, в угловом отражателе. Это устройство, которое отражает падающий на него пучок параллельных лучей при любом расположении отражателя по отношению к падающему пучку лучей.

Отражатель, например, устанавливается на заднем крыле велосипеда, для того, чтобы «возвращать назад» свет автомобильных фар, чтобы водитель машины видел велосипедиста ночью.

Ещё угловой отражаетель был установлен на автоматической космической станции, запущенной на Луну( выделен на рисунке кружочком), с целью определения точного расстояния от Земли до Луны.